% !TeX spellcheck = ru_RU % !TeX encoding = UTF-8 \documentclass[8pt,pdf,t]{beamer} \usepackage{amsmath,amssymb,theorem,mathtools,cancel,transparent,hyperref} %\usepackage[cm]{fullpage} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[english,russian]{babel} \usepackage[shortcuts]{extdash} %\usepackage[notref,notcite]{showkeys} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{arrows,shapes} \usetikzlibrary{arrows.meta} \usetikzlibrary{decorations.markings} \usetikzlibrary{intersections} \tikzset{>={Stealth[length=2mm]}} \tikzstyle{every picture} += [remember picture] \tikzstyle{na} = [baseline=-.5ex] \usetheme{Warsaw} \usefonttheme{serif} \def\smallskip{\vskip\smallskipamount} \def\medskip{\vskip\medskipamount} \def\bigskip{\vskip\bigskipamount} \let\{=\lbrace \let\}=\rbrace \let\[=\lbracket \let\]=\rbracket \long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}} \long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}} \def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}} \long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}} \def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}} \def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}} \def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}} \def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}} \def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}} \def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}} \def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}} \def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}} \def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}} \def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}} \def\Multline#1$$#2$${\vspace{-\baselineskip}\begin{multline#1}#2\end{multline#1}} \def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}} \def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}} \def\d{\partial} \def\bd{{\bar\d}} \def\bpsi{{\bar\psi}} \def\bvarphi{{\bar\varphi}} \def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits} \def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits} %\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits} %\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits} %\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits} %\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits} \def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits} %\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits} \def\sign{\mathop{\rm sign}\nolimits} \def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}} \def\bJ{{\text{\bfseries\itshape J}}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\cH{{\cal H}} \def\cL{{\cal L}} \def\cM{{\cal M}} \def\cN{{\cal N}} \def\cO{{\cal O}} \def\cS{{\cal S}} \def\bz{{\bar z}} \def\bw{{\bar w}} \def\bw{{\bar w}} \def\tphi{{\tilde\phi}} \def\vq{{\vec q}} \def\vx{{\vec x}} \def\vy{{\vec y}} \def\vJ{{\vec J}} \def\va{{\vec a}} \def\vb{{\vec b}} \def\ve{\varepsilon} \def\eff{{\rm eff}} \def\const{\mathinner{\rm const}} \def\i{{\mathord{\rm i}}} \def\trho{{\tilde\rho}} \def\ta{{\tilde a}} \def\phys{{\text{phys}}} \def\bn{{\boldsymbol n}} \def\bp{{\boldsymbol p}} \def\br{{\boldsymbol r}} \def\bR{{\boldsymbol R}} \def\bS{{\boldsymbol S}} \def\bsigma{{\boldsymbol\sigma}} \def\eF{{\epsilon_F}} \def\Ech{{E_{\text{ch}}}} \def\Esp{{E_{\text{sp}}}} \def\Espel{{E_{\text{sp}}^{\text{el}}}} \def\Eim{{E_{\text{im}}}} \def\el{{\text{el}}} \def\im{{\text{im}}} \def\crosscolon{\substack{\scriptscriptstyle\times\\\scriptscriptstyle\times}} \def\lcrosscolon{\mathopen{\,\crosscolon}} \def\rcrosscolon{\mathclose{\crosscolon\,}} \def\aux{{\tilde1}} \def\lcolon{\mathopen{\,:}} \def\rcolon{\mathclose{:\,}} \def\Xint#1{\mathchoice {\XXint\displaystyle\textstyle{#1}}% {\XXint\textstyle\scriptstyle{#1}}% {\XXint\scriptstyle\scriptscriptstyle{#1}}% {\XXint\scriptscriptstyle\scriptscriptstyle{#1}}% \!\int} \def\XXint#1#2#3{{\setbox0=\hbox{$#1{#2#3}{\int}$} \vcenter{\hbox{$#2#3$}}\kern-.5\wd0}} \def\ddashint{\Xint=} \def\dashint{\Xint-} \makeatletter \let\over\@@over \let\atop\@@atop \let\above\@@above \let\overwithdelims\@@overwithdelims \let\atopwithdelims\@@atopwithdelims \let\abovewithdelims\@@abovewithdelims \makeatother \def\Maketitle{{\def\newpage{}\maketitle}} \def\emph#1{{\color{blue}#1}} \def\red{\color{red}} \def\blue{\color{blue}} \def\olive{\color{olive}} \def\black{\color{black}} \def\unpause{\onslide<+->\relax} \addtobeamertemplate{frametitle}{}{\vspace{-.5em}} \begin{document} \title[Лекция 4. $O(N)$"=модель: $1/N$"=разложение]{Лекция 4. $O(N)$"=модель: $1/N$"=разложение} \date{} \author{Михаил Лашкевич} \frame{\titlepage} \begin{frame} \frametitle{Функциональный интеграл} \unpause Рассмотрим общую $O(N)$"=модель в пространстве Минковского: \eq$$ S[\bn]={1\over2g}\int d^2x\,(\d_\mu\bn)^2, \qquad \bn^2=1. \label<.>{ONmodel} $$ \unpause Вместо ограничения $\bn^2=1$, введем вспомогательное поле $\omega$: \eq$$ S[\bn,\omega]={1\over2g}\int d^2x\,((\d_\mu\bn)^2-\omega(\bn^2-1)). \label{ONmodelOmega} $$ \unpause Порождающий функционал для корреляционных функций: \eq$$ Z[J]=\int D\omega\,D\bn\,e^{iS[\bn,\omega]+ig^{-1/2}\int d^2x\,\bJ\bn}. $$ \unpause Интеграл по $\bn$ гауссов. Действительно, показатель имеет вид $$ iS[\bn,\omega]+ig^{-1/2}\int d^2x\,\bJ\bn =-{1\over2}\left( {n_i\over g^{1/2}},K(\omega)\delta_{ij}{n_j\over g^{1/2}} \right) +\left(iJ_i,{n_i\over g^{1/2}}\right)+i\int d^2x\,{\omega\over2g}, $$ где $$ K(\omega)=i(\d^2_\mu+\omega). $$ \unpause Таким образом, получаем $$ Z[J]=\int D\omega\, (\det(\d^2_\mu+\omega))^{-N/2} \exp\left(i\int d^2x\,{\omega\over2g} -{1\over2}\int d^2x\,d^2x'\,J_i(x)G(x,x'|\omega)J_i(x') \right), $$ где $G(x,x'|\omega)$ "--- решение уравнения \eq$$ i(\d^2_\mu+\omega(x))G(x,x'|\omega)=\delta(x-x'). \label{Gdef} $$ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Метод перевала при $N\to\infty$} \unpause Перепишем функционал $Z[J]$ в виде \Gather$$ Z[J]=\int D\omega\,\exp\left(iS_\eff[\omega]-{1\over2}\int d^2x\,d^2x'\,J_i(x)G(x,x'|\omega)J_i(x')\right), \label{ZJomega} \\ S_\eff[\omega]=i{N\over2}\tr\log(\d^2_\mu+\omega)+\int d^2x\,{\omega\over2g}. \label{Seff} $$ \unpause Найдем седловую точку при $N\to\infty$. Предположим, что она соответствует $$ \omega(x)=\const=\omega_0. $$ \unpause Тогда \Align$$ \tr\log(\d^2_\mu+\omega_0) &=V\int{d^2k\over(2\pi)^2}\log(\omega_0-k^2-i0)\uncover<+->{{}=iV\int_E {d^2k\over(2\pi)^2}\log(\omega_0+k^2)} \nonumber \\ &\uncover<+->{{}={iV\over2\pi}\int^\Lambda_0dk\,k\log(\omega_0+k^2)} \uncover<+->{{}={iV\over4\pi}\int^{\omega_0+\Lambda^2}_{\omega_0}du\,\log u} \uncover<+->{{}={iV\over4\pi}\left[u\log{u\over e}\right]^{\omega_0+\Lambda^2}_{\omega_0}} \nonumber \\ &\uncover<+->{{}={iV\over4\pi}\left((\omega_0+\Lambda^2)\log{\omega_0+\Lambda^2\over e}-\omega_0\log{\omega_0\over e}\right)} \nonumber \\ &\uncover<+->{{}={iV\over4\pi}\left(\omega_0\log{\Lambda^2\over\omega_0}+\Lambda^2\log{\omega_0+\Lambda^2\over e}\right).} \label{trlogK} $$ где $\Lambda$ "--- параметр ультрафиолетового обрезания. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Метод перевала при $N\to\infty$} \unpause Уравнение стационарной точки имеет вид $$ 0={dS[\omega_0]\over d\omega_0}=V\left(-{N\over8\pi}\log{\Lambda^2\over\omega_0}+{1\over2g}\right), $$ \unpause что приводит к \eq$$ \omega_0=m^2=\Lambda^2\exp\left(-{4\pi\over Ng}\right). \label<.>{omega0} $$ \unpause Параметр $\omega_0=m^2$ \emph{размерный} и \emph{конечный}. Мы увидим, что он дает массу частицы. \unpause Напротив, параметр $g$ зависит от ультрафиолетового обрезания $\Lambda$ и нефизичен. Его зависимость от обрезания можно описать уравнением ренормгруппы: \eq$$ {dg\over d\log\Lambda}=\beta(g)=-{N\over2\pi}g^2. \label<.>{beta} $$ \unpause Это явление называется \emph{динамической генерацией массы} или \emph{размерной трансмутацией}. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Разложение по $1/N$} \unpause Пусть \eq$$ \omega(x)=m^2+(2/N)^{1/2}\rho(x). \label{omega-expansion} $$ \unpause Полагая $G(x,x')=G(x,x'|m^2)$, имеем \Align$$ S_\eff[\omega] &=\const +i{N\over2}\tr\log\left(1+(2/N)^{1/2}\rho(\d^2_\mu+m^2)^{-1}\right) +{1\over(2N)^{1/2}g}\tr\rho \nonumber \\ &\uncover<+->{{}=\const+i{N\over2}\tr\log(1+i(2/N)^{1/2}\rho G)+{1\over(2N)^{1/2}g}\tr\rho} \nonumber \\ &\uncover<+->{{}=\const+{\red\alt<.(1)->{\transparent1}{\transparent0} \xcancel{\black\transparent1\left({1\over(2N)^{1/2}g}\tr\rho-\left(N\over2\right)^{1/2}\tr\rho G\right)}} -i{N\over2}\sum^\infty_{n=2}{(-i)^n(2/N)^{n/2}\over n}\tr(\rho G)^n.} \nonumber $$ \unpause Первая скобка обращается в нуль. \unpause В самом деле, $$ \Aligned{ \tr\rho &=\int d^2x\,\rho(x), \\ \unpause \tr\rho G &=\int d^2x\,\rho(x)G(x,x)\uncover<+->{{}=G(0,0)\int d^2x\,\rho(x)} \uncover<+->{{}=G(0,0)\tr\rho} \\ &\uncover<+->{{}=V\int{d^2k\over(2\pi)^2}{i\over k^2-m^2+i0}\,\tr\rho} \uncover<+->{{}={V\over4\pi}\log{\Lambda^2\over m^2}\,\tr\rho} \uncover<+->{{}=(gN)^{-1}\tr\rho.} } $$ \unpause Окончательно, получаем \eq$$ S_\eff[\omega]=\const-i{N\over2}\sum^\infty_{n=2}{(-i)^n\over n}\left(2\over N\right)^{n/2} \int d^{2n}x\,\rho(x_1)G(x_1,x_2)\ldots\rho(x_n)G(x_n,x_1). \label{Seff-decomp} $$ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Разложение по $1/N$: пропагатор $D$} \unpause Член с $n=2$ является квадратичной формой по $\rho$: $$ {i\over2}\int d^2x_1\,d^2x_2\,\rho(x_1)G(x_1,x_2)\rho(x_2)G(x_2,x_1). $$ \unpause Поэтому мы будем рассматривать ядро $D(x_1,x_2)$, обратное к ядру этого оператора, $$ D^{-1}(x_1,x_2)=G(x_1,x_2)G(x_2,x_1) $$ ка пропагатор поля $\rho(x)$. \unpause В импульсном пространстве \eq$$ D(k)= \ \tikz[baseline=-2pt]{ \draw[dashed] (-.5,0) -- node[anchor=south] {$k$} (.5,0); } \ =-\left( \int{d^2q\over(2\pi)^2}\, {1\over(q^2-m^2+i0)((q+k)^2-m^2+i0)} \right)^{-1}. \label{Dk} $$ \unpause В явном виде имеем \eq$$ D^{-1}(k)={i\over2\pi k^2} {1\over\sqrt{1-{4m^2\over k^2}}} \log{\sqrt{1-{4m^2\over k^2}}+1\over\sqrt{1-{4m^2\over k^2}}-1}. \label{Dkexplicit} $$ \unpause Эта громоздкая формула становится очень простой в подходящей параметризации: \eq$$ D(k)=4\pi im^2\>{\sh\theta\over\theta}, \quad k^2=-4m^2\sh^2{\theta\over2}. \label{Dktheta} $$ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Разложение по $1/N$: пропагатор $G$ и вершина} \unpause Теперь разложим функцию $G(x,x'|\omega)$: \Align$$ G[\omega] &={1\over G^{-1}+i(2/N)^{1/2}\rho}=\sum^\infty_{n=0}(-i)^n{\textstyle\left(2\over N\right)^{n/2}}G(\rho G)^n, \nonumber \\ \uncover<+->{G(x_1,x_2|\omega)} &\uncover<.->{{}=\sum^\infty_{n=0}(-i)^n\left(2\over N\right)^{n/2}\int d^{2n}y\,G(x_1,y_1)\rho(y_1)G(y_1,y_2)\ldots\rho(y_n)G(y_n,x_2).} \nonumber $$ \unpause Таким образом, выражение для $S_\text{eff}$ и для $G[\omega]$ можно записать через пропагатор \eq$$ G_{ij}(p)= \quad \tikz[baseline=-2pt]{ \draw[-] (-1,0) node[anchor=east] {$i$} -- node[anchor=south] {$p$} (1,0) node[anchor=west] {$j$}; } \quad =G(p)\delta_{ij}={i\delta_{ij}\over p^2-m^2+i0} \label{Gp} $$ \unpause и вершину \eq$$ \tikz[baseline=-2pt] { \draw[-] (-.5,0) node[anchor=south] {$i$} -- (.5,0) node[anchor=south] {$j$}; \draw[dashed] (0,0) -- (0,1); } \quad =-i\left(2\over N\right)^{1/2}\delta_{ij}. \label{vertex} $$ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Разложение по $1/N$: фейнмановские правила} \unpause Можно сформулировать фейнмановские правила: \begin{enumerate} \item<+-> Диаграмма состоит из пунктирных линий (\ref{Dk}), сплошных линий (\ref{Gp}) и вершин (\ref{vertex}). \item<+-> Внешние линии диаграммы всегда сплошные и соответствуют массивным частицам $\varphi_i=g^{-1/2}n_i$. \item<+->\label{loops} Замкнутые петли из сплошных линий должны содержать не меньше трех вершин. \end{enumerate} \unpause Связь между $g$, $m$ и $\Lambda$ дается условием $$ \left\langle\sum^N_{i=1}\varphi^2_i(x)\right\rangle={1\over g}. $$ \unpause Например, в первом порядке по $1/N$ можно получить \eq$$ m^2=\Lambda^2\exp\left(-{4\pi\over(N-2)g'}\right), \qquad {1\over g'}={1\over g}+{\Lambda^2\over4\pi m^2\log(\Lambda^2/m^2)}. \label{omega0corr} $$ \unpause Квадратичная расходимость происходит из жесткого условия $\bn^2=1$. Добавление в действие челна $\alpha\int d^2x\,\omega^2$ смягчает расходимость до логарифмической. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Рассеяние двух частиц} \unpause Напомним формулу $$ S^{i'j'}_{ij}(\theta_1-\theta_2) =\delta^{i'}_i\delta^{j'}_j+{\cM^{i'j'}_{ij}(\theta_1-\theta_2)\over4m^2\sh(\theta_1-\theta_2)}. $$ \unpause Согласованность с $O(N)$"=симметрией дает \eq$$ S^{i'j'}_{ij}(\theta)=\delta_{i'j'}\delta_{ij}S_1(\theta)+\delta_{i'i}\delta_{j'j}S_2(\theta)+\delta_{j'i}\delta_{i'j}S_3(\theta). \label{S1S2S3} $$ %\end{frame} %\begin{frame} %\frametitle{Two\-/particle scattering: $1/N$ contribution} %\unpause Вычислим $S$"=матрицу в порядке $1/N$. Используем формулу \eq$$ D(k)=4\pi im^2\>{\sh\vartheta\over\vartheta}, \quad k^2=-4m^2\sh^2{\vartheta\over2}. \tag{\ref{Dktheta}} $$ \unpause Имеем \vspace{-1em} \Align$$ 4m^2\sh\theta\,S_1(\theta) &=\quad \tikz[baseline=-2pt]{ \draw[-] (-1.0,0.5) node[anchor=east] {$p_1$} -- (-0.5,0.0); \draw[-] (-1.0,-0.5) node[anchor=east] {$p_2$} -- (-0.5,0.0); \draw[-] (0.5,0.0) -- (1.0,0.5) node[anchor=west] {$p_1$}; \draw[-] (0.5,0.0) -- (1.0,-0.5) node[anchor=west] {$p_2$}; \draw[dashed] (-0.5,0.0) -- node[above=3pt] {$\vartheta=i\pi-\theta$} (0.5,0.0); } \quad, &S_1(\theta) &=-{2\pi i\over N(i\pi-\theta)}, \nonumber \\ \uncover<+->{4m^2\sh\theta\,(S_2(\theta)-1) &=\quad \tikz[baseline=-2pt] { \draw[-] (-1,.5) node[anchor=east] {$p_1$} -- (1,.5) node[anchor=west] {$p_1$}; \draw[-] (-1,-.5) node[anchor=east] {$p_2$} -- (1,-.5) node[anchor=west] {$p_2$}; \draw[dashed] (0,-.5) -- node[right] {$\vartheta=0$} (0,.5); } \quad, &S_2(\theta) &=1-{2\pi i\over N\sh\theta},} \nonumber \\ \uncover<+->{4m^2\sh\theta\,S_3(\theta) &= \quad \tikz[baseline=-2pt] { \draw[-] (-1,.5) node[anchor=east] {$p_1$} -- (1,.5) node[anchor=west] {$p_2$}; \draw[-] (-1,-.5) node[anchor=east] {$p_2$} -- (1,-.5) node[anchor=west] {$p_1$}; \draw[dashed] (0,-.5) -- node[right] {$\vartheta=\theta$} (0,.5); } \quad, &S_3(\theta) &=-{2\pi i\over N\theta}.} \nonumber $$ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Семинар. Пример высшего интеграла движения в возмущенной конформной теории поля} \unpause В конформной теории поля рассмотрим разложения \Align*$$ T(z')T(z) &={c/2\over(z'-z)^4}+{2T(z)\over(z'-z)^2}+{\d T(z)\over z'-z}+\lcrosscolon T^2(z)\rcrosscolon+O(z'-z), \\ T(z')\Phi_\Delta(z,\bz) &={\Delta\Phi_\Delta(z,\bz)\over(z'-z)^2}+{\d\Phi_\Delta(z)\over z'-z}+\cL_{-2}\Phi_\Delta(z,\bz) +(z'-z)\cL_{-3}\Phi_\Delta(z,\bz)+\cdots. $$ \unpause Здесь $$ \cL_k\cO(z,\bz)=\oint{dw\over2\pi i}\,(w-z)^{n+1}T(w)\cO(z,\bz). $$ \unpause Рассмотрим возмущенную конформную модель. $$ S=S_0+S_1=S_0+\lambda\int d^2x\,\Phi_\Delta(x). $$ \unpause Найдем, в каких случаях оператор $T_4=\lcrosscolon T^2(z)\rcrosscolon$ является компонентой сохраняющегося тока, то есть существует оператор $\Theta_2(x)$, такой что $$ \bd T_4(x)=\d\Theta_2(x), $$ и имеется сохраняющийся ток $$ I_3=\int dz\,T_4(x)+\int d\bz\,\Theta_2(x). $$ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Семинар. Пример высшего интеграла движения в возмущенной конформной теории поля} \unpause Из разложения для $T(z')T(z)$ имеем $$ \lcrosscolon T^2(z)\rcrosscolon =\lim_{\delta\to0}\left(T(z+\delta)T(z)-{c/2\over\delta^4}-{2T(z)\over\delta^2}-{\d T(z)\over\delta}\right). $$ \unpause \emph{Задача.} Найдите в виде предела $\lim_{\delta\to0}(\cdots)$ интеграл \Multline*$$ \int d^2x'\,\bd\lcrosscolon T^2(z)\rcrosscolon\Phi_\Delta(z',\bz') \\ \uncover<+->{ =\pi(1-\Delta)\lim_{\delta\to0}\left(\d\Phi_\Delta(z+\delta,\bz)\,T(z)+T(z+\delta)\,\d\Phi_\Delta(z,\bz) -{2\d\Phi_\Delta(z,\bz)\over\delta^2}-{\d^2\Phi_\Delta(z,\bz)\over\delta}\right)} \\ \uncover<+->{ =\pi(1-\Delta)\lim_{\delta\to0}\biggl(\d\bigl(\Phi_\Delta(z+\delta,\bz)T(z)\bigr)+\d\bigl(T(z+\delta)\Phi_\Delta(z,\bz)\bigr)} \\ \uncover<.->{ -\Phi_\Delta(z+\delta,\bz)\,\d T(z)-\d T(z+\delta)\,\Phi_\Delta(z,\bz) -{2\d\Phi_\Delta(z,\bz)\over\delta^2}-{\d^2\Phi_\Delta(z,\bz)\over\delta}\biggr).} $$ \unpause \emph{Задача.} Возьмите в этом выражении предел. \unpause {\red Ответ:} $$ \int d^2x'\,\bd\lcrosscolon T^2(z)\rcrosscolon\Phi_\Delta(z',\bz') =\pi(1-\Delta)\left(-2\cL_{-3}+2\cL_{-1}\cL_{-2}+{\Delta-3\over6}\cL_{-1}^3\right)\Phi(z,\bz). \label{PhiT2-int} $$ \unpause Второе и третье слагаемые имеют вид $\cL_{-1}(\cdots)=\d(\cdots)$, но первое не имеет такого вида. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Семинар. Пример высшего интеграла движения в возмущенной конформной теории поля} \unpause \emph{Вопрос.} При каком условии первое слагаемое можно выразить в виде $\cL_{-1}(\cdots)$? \unpause {\red Ответ:} Если имеется нуль"=вектор на третьем уровне. В минимальных конформных моделях, если $\Delta=\Delta_{13}$ или $\Delta=\Delta_{31}$: $$ \left(\cL_{-3}+{2\over\Delta+2}\cL_{-1}\cL_{-2}+{1\over(\Delta+1)(\Delta+2)}\cL_{-1}^3\right)\Phi_\Delta=0. $$ \unpause Тогда $$ \Theta_2(z)=-\pi(1-\Delta)\lambda\left(2{\Delta+4\over\Delta+2}\cL_{-2} +{(\Delta-1)(\Delta-2)(\Delta-3)\over6(\Delta+1)(\Delta+2)}\cL_{-1}^2\right). $$ \unpause Так как $\Delta_{31}>1$, так что единственным \emph{релевантным} возмущением, допускающим дополнительный интеграл движения $I_3$ является возмущение с $\Delta=\Delta_{13}$. \end{frame} \end{document}