% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\documentclass[8pt,pdf,t]{beamer}
\usepackage{amsmath,amssymb,theorem,mathtools,cancel,transparent,blkarray,bigstrut,hyperref}
%\usepackage[cm]{fullpage}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[shortcuts]{extdash}

%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows,shapes}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
\usetikzlibrary{decorations.markings}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{calc}
\tikzset{>={Stealth[length=2mm]}}
\tikzstyle{every picture} += [remember picture]
\tikzstyle{na} = [baseline=-.5ex]

\usetheme{Warsaw}
\usefonttheme{serif}


\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}}
\long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}}
\def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}}
\def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}}
\def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}}
\def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}}
\def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}}
\def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}}
\def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}}
\def\Multline#1$$#2$${\vspace{-\baselineskip}\begin{multline#1}#2\end{multline#1}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
%\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
%\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
%\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
%\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
%\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\sign{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\def\spanop{\mathop{\rm span}\nolimits}
\def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}}
\def\bJ{{\text{\bfseries\itshape J}}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\cH{{\cal H}}
\def\cM{{\cal M}}
\def\cN{{\cal N}}
\def\cS{{\cal S}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\eff{{\rm eff}}
\def\const{\mathinner{\rm const}}
\def\i{{\mathord{\rm i}}}

\def\trho{{\tilde\rho}}
\def\ta{{\tilde a}}
\def\phys{{\text{phys}}}
\def\bn{{\boldsymbol n}}
\def\bp{{\boldsymbol p}}
\def\br{{\boldsymbol r}}
\def\bR{{\boldsymbol R}}
\def\bS{{\boldsymbol S}}
\def\bsigma{{\boldsymbol\sigma}}
\def\eF{{\epsilon_F}}
\def\Ech{{E_{\text{ch}}}}
\def\Esp{{E_{\text{sp}}}}
\def\Espel{{E_{\text{sp}}^{\text{el}}}}
\def\Eim{{E_{\text{im}}}}
\def\el{{\text{el}}}
\def\im{{\text{im}}}

\def\aux{{\tilde1}}

\def\lcolon{\mathopen{\,:}}
\def\rcolon{\mathclose{:\,}}

\def\Xint#1{\mathchoice
   {\XXint\displaystyle\textstyle{#1}}%
   {\XXint\textstyle\scriptstyle{#1}}%
   {\XXint\scriptstyle\scriptscriptstyle{#1}}%
   {\XXint\scriptscriptstyle\scriptscriptstyle{#1}}%
   \!\int}
\def\XXint#1#2#3{{\setbox0=\hbox{$#1{#2#3}{\int}$}
     \vcenter{\hbox{$#2#3$}}\kern-.5\wd0}}
\def\ddashint{\Xint=}
\def\dashint{\Xint-}

\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\def\Maketitle{{\def\newpage{}\maketitle}}
\def\emph#1{{\color{blue}#1}}
\def\red{\color{red}}
\def\blue{\color{blue}}
\def\olive{\color{olive}}
\def\black{\color{black}}

\def\unpause{\onslide<+->\relax}
\addtobeamertemplate{frametitle}{}{\vspace{-.5em}}

\begin{document}

\title[Лекция 2. $S$"=матрицы. Теория возмущений]{Лекция 2.\\Двухчастичные $S$"=матрицы. Теория возмущений}
\date{}
\author{Михаил Лашкевич}

\frame{\titlepage}

\begin{frame}
\frametitle{Матрица упругого рассеяния для двух частиц}
\unpause
Рассмотрим процесс рассеяния двух частиц масс $m_1$ и $m_2$ в себя: $1+2\to1+2$. Введем быстроты
$$
\red\boxed{\black
\ve_i=m_i\ch\theta_i,
\quad
p_i=m_i\sh\theta_i.
}
$$
\unpause
Закон сохранения энергии"=импульса
$$
\Aligned{
m_1\ch\theta'_1+m_2\ch\theta'_2
&=m_1\ch\theta_1+m_2\ch\theta_2,
\\
m_1\sh\theta'_1+m_2\sh\theta'_2
&=m_1\sh\theta_1+m_2\sh\theta_2
}
$$
имеет два решения.
\unpause
\begin{enumerate}
\item {\color<+(2)->{red}$\theta'_i=\theta_i$ "--- рассеяние без изменения импульсов;}
\unpause
\item $\theta'_1=2\theta_0-\theta_1$, $\theta'_2=2\theta_0-\theta_2$, где $m_1\sh(\theta_1-\theta_0)+m_2\sh(\theta_2-\theta_0)=0$ "--- отражение.
\end{enumerate}
\unpause
Мы будем рассматривать только первый случай, потому что именно он реализуется в интегрируемых моделях.
\unpause
Матрицу рассеяния можно записать в виде
$$
S(\theta_1,\theta_2;\theta'_1,\theta'_2)
=(2\pi)^2\delta(p'_1-p_1)\delta(p'_2-p_2)S(\theta_1-\theta_2),
\quad
S(\theta):V_1\otimes V_2\to V_1\otimes V_2.
$$
\unpause
Оператор $S(\theta)$ действует на внутренние состояния частиц.

\unpause
\emph{Важно.} Все частицы одинаковой массы мы будем считать разными внутренними состояниями одной частицы. Таким образом, если $m_1=m_2$, матрица рассеяния является матрицей рассеяния тождественных частиц. Все формулы остаются теми же самыми. Возникает только требование (анти)симметрии волновых функций.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Матрица упругого рассеяния для двух частиц}
\unpause
С другой стороны, матрицу рассеяния можно записать так:
$$
S(\vec\theta;\vec\theta')
=\hat1+(2\pi)^2\delta(P'-P){\cM(\vec\theta;\vec\theta')\over\sqrt{\prod^n_{i=1}2\ve_i\prod^{n'}_{j=1}2\ve'_j}}.
$$
Здесь $P=(\ve_1+\ve_2,p_1+p_2)$, $P'=(\ve'_1+\ve'_2,p'_1+p'_2)$,\\
$\hat1$ "--- проекция единичного оператора,\\
$\cM$ "--- амплитуда рассеяния, вычисляемая по стандартным правилам диаграммной техники.
\unpause

В случае $n=n'=2$ сделаем замену переменных $(p_1,p_2,p'_1,p'_2)\to(P^0,P^1,P^{\prime0},P^{\prime1})$:
\Multline*$$
\delta(p'_1-p_1)\delta(p'_2-p_2)=\left|{\d(P^0,P^1)\over\d(p_1,p_2)}\right|\delta(P'-P)
\\
={p_1\ve_2-p_2\ve_1\over\ve_1\ve_2}\delta(P'-P)={m_1m_2\sh(\theta_1-\theta_2)\over\ve_1\ve_2}\delta(P'-P).
$$
\unpause
Получаем
$$
\red\boxed{\black
S(\theta_1-\theta_2)=1+{\cM(\theta_1,\theta_2;\theta_1,\theta_2)\over4m_1m_2\sh(\theta_1-\theta_2)}.
}
$$
Здесь $1$ "--- единичный оператор на $V_1\otimes V_2$.


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель Тирринга. Диаграммная техника}
\unpause
Запишем действие модели Тирринга в виде
$$
S^{\text{MT}}[\psi,\bar\psi,A^\mu]=\int d^2x\,\left(\bar\psi(i\hat\d-\hat A-m)\psi+{1\over2\pi g}A^\mu A_\mu\right).
$$
\unpause
Для внутренних линий имеем
$$
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[->] (-.5,0) -- (2pt,0) node[anchor=south] {$p$}; \draw[-] (2pt,0) -- (.5,0);
}
={i\over\hat p-m+i0},
\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[dashed] (-.5,0) node[anchor=east] {$\mu$} -- (.5,0) node[anchor=west] {$\nu$};
}
=i\pi gg_{\mu\nu},
\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[-] (-.5,0) -- (0,0) node[anchor=north] {$\mu$} -- (.5,0);
\draw[dashed] (0,0) -- (0,.5);
}
=-i\gamma^\mu.
$$
\unpause
Для внешних линий имеем
$$
\Aligned{
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[->] (-.5,0) node[anchor=east] {$p$} -- (2pt,0); \draw[-] (2pt,0) -- (.5,0);
}
&=u_p\quad\text{для входящего фермиона,}
\\
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[->] (-.5,0) node[anchor=east] {$-p$} -- (2pt,0); \draw[-] (2pt,0) -- (.5,0);
}
&=u_{-p}\quad\text{для выходящего антифермиона,}
\\
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[-] (-.5,0) node[anchor=east] {$p$} -- (-2pt,0); \draw[<-] (-2pt,0) -- (.5,0);
}
&=\bar u_p\quad\text{для выходящего фермиона,}
\\
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[-] (-.5,0) node[anchor=east] {$-p$} -- (-2pt,0); \draw[<-] (-2pt,0) -- (.5,0);
}
&=\bar u_{-p}\quad\text{для входящего антифермиона.}
}
$$
\unpause
Кроме того, каждая фермионная петля дает множитель $(-1)$, каждая пара внешних антифермионных линий дает $(-1)$, и каждая перестановка двух букв $u$ от стандартного порядка (справа налево для входящих частиц и слева направо "--- для выходящих) дает~$(-1)$. Эти знаки мы будем ставить явно перед диаграммами.


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель Тирринга. Диаграммная техника}
\unpause
Буквы $u_p$ для внешних линий должны удовлетворять уравнениям
$$
\bar u_pu_p=2m,
\quad
(\hat p-m)u_p=0.
$$
\unpause
Решение:
$$
u_p=\sqrt m\pMatrix{e^{\theta/2}\\ie^{-\theta/2}},
\quad
u_{-p}=[u_p]_{\theta\to\theta-i\pi}=-\sqrt m\pMatrix{ie^{\theta/2}\\e^{-\theta/2}}.
$$
\unpause
Нам понадобятся произведения, отвечающие четырехфермионному взаимодействию:
$$
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[->] (-1,.5) node[anchor=east] {$p_1$} -- ([xshift=2pt]-.5,.5); \draw[->] ([xshift=2pt]-.5,.5) -- ([xshift=2pt].5,.5);
    \draw[-] ([xshift=2pt].5,.5) --(1,.5) node[anchor=west] {$p'_1$};
  \draw[->] (-1,-.5) node[anchor=east] {$p_2$} -- ([xshift=2pt]-.5,-.5); \draw[->] ([xshift=2pt]-.5,-.5) -- ([xshift=2pt].5,-.5);
    \draw[-] ([xshift=2pt].5,-.5) --(1,-.5) node[anchor=west] {$p'_2$};
  \draw[dashed] (0,-.5) -- (0,.5);
}
=-i\pi g(\bar u_{p'_1}\gamma^\mu u_{p_1})(\bar u_{p'_2}\gamma_\mu u_{p_2})
=-4\pi igm^2\ch{\theta_1+\theta'_1-\theta_2-\theta'_2\over2}.
$$


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель Тирринга. Общий вид $S$"=матрицы фермионов}
\unpause
Фермион и антифермион будем рассматривать как одну частицу массы $m$ с пространством внутренних состояний
$$
V=\C^2=\spanop(e_+,e_-)
$$
($e_+$ "--- фермион, $e_-$ "--- антифермион).
\unpause

Запишем матрицу рассеяния двух частиц в две в базисе $e_+\otimes e_+,e_+\otimes e_-,e_-\otimes e_+,e_-\otimes e_-$:
$$
S(\theta)=\,
\raise 3pt\hbox{$\begin{blockarray}{ccccc}
  ++&+-&-+&--&\\
  \begin{block}{(cccc)c}
    \bigstrut a(\theta)&&&&++\\
    &b(\theta)&c(\theta)&&+-\\
    &c(\theta)&b(\theta)&&-+\\
    \bigstrut&&&a(\theta)&--\\
  \end{block}
\end{blockarray}$}
$$
или
$$
S(\theta)^{++}_{++}=S(\theta)^{--}_{--}=a(\theta),
\quad
S(\theta)^{+-}_{+-}=S(\theta)^{-+}_{-+}=b(\theta),
\quad
S(\theta)^{-+}_{+-}=S(\theta)^{+-}_{-+}=c(\theta).
$$
\unpause
Амплитуды рассеяния должны удовлетворять условию перекрестной симметрии:
$$
a(\theta)=b(i\pi-\theta),
\quad
c(\theta)=c(i\pi-\theta).
$$


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель Тирринга. Вычисление $S$"=матрицы фермионов}
\unpause
Повторим формулу для диаграммы
$$
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[->] (-1,.5) node[anchor=east] {$p_1$} -- ([xshift=2pt]-.5,.5); \draw[->] ([xshift=2pt]-.5,.5) -- ([xshift=2pt].5,.5);
    \draw[-] ([xshift=2pt].5,.5) --(1,.5) node[anchor=west] {$p'_1$};
  \draw[->] (-1,-.5) node[anchor=east] {$p_2$} -- ([xshift=2pt]-.5,-.5); \draw[->] ([xshift=2pt]-.5,-.5) -- ([xshift=2pt].5,-.5);
    \draw[-] ([xshift=2pt].5,-.5) --(1,-.5) node[anchor=west] {$p'_2$};
  \draw[dashed] (0,-.5) -- (0,.5);
}
=-i\pi g(\bar u_{p'_1}\gamma^\mu u_{p_1})(\bar u_{p'_2}\gamma_\mu u_{p_2})
=-4\pi igm^2\ch{\theta_1+\theta'_1-\theta_2-\theta'_2\over2}.
$$
\unpause
Вычислим амплитуду
\Multline*$$
\cM^{(1)}{}^{++}_{++}
=\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[->] (-1,.5) node[anchor=east] {$p_1$} -- ([xshift=2pt]-.5,.5); \draw[->] ([xshift=2pt]-.5,.5) -- ([xshift=2pt].5,.5);
    \draw[-] ([xshift=2pt].5,.5) --(1,.5) node[anchor=west] {$p_1$};
  \draw[->] (-1,-.5) node[anchor=east] {$p_2$} -- ([xshift=2pt]-.5,-.5); \draw[->] ([xshift=2pt]-.5,-.5) -- ([xshift=2pt].5,-.5);
    \draw[-] ([xshift=2pt].5,-.5) --(1,-.5) node[anchor=west] {$p_2$};
  \draw[dashed] (0,-.5) -- (0,.5);
}
\quad-\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[->] (-1,.5) node[anchor=east] {$p_1$} -- ([xshift=2pt]-.5,.5); \draw[->] ([xshift=2pt]-.5,.5) -- ([xshift=2pt].5,.5);
    \draw[-] ([xshift=2pt].5,.5) --(1,.5) node[anchor=west] {$p_2$};
  \draw[->] (-1,-.5) node[anchor=east] {$p_2$} -- ([xshift=2pt]-.5,-.5); \draw[->] ([xshift=2pt]-.5,-.5) -- ([xshift=2pt].5,-.5);
    \draw[-] ([xshift=2pt].5,-.5) --(1,-.5) node[anchor=west] {$p_1$};
  \draw[dashed] (0,-.5) -- (0,.5);
}
\\*
=-4\pi igm^2(\ch(\theta_1-\theta_2)-1)
=-8\pi igm^2\sh^2{\theta_1-\theta_2\over2}.
$$
\unpause
Используя формулу
$$
S(\theta_1-\theta_2)=1+{\cM(\theta_1,\theta_2;\theta_1,\theta_2)\over4m_1m_2\sh(\theta_1-\theta_2)},
$$
получаем
$$
a(\theta)=1-i\pi g\th{\theta\over2}+O(g^2).
$$
Единичный оператор здесь равен единице.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель Тирринга. Вычисление $S$"=матрицы фермионов}
\unpause
Теперь вычислим амплитуду
\Multline*$$
\cM^{(1)}{}^{+-}_{+-}
=\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[->] (-1,.5) node[anchor=east] {$p_1$} -- ([xshift=2pt]-.5,.5); \draw[->] ([xshift=2pt]-.5,.5) -- ([xshift=2pt].5,.5);
    \draw[-] ([xshift=2pt].5,.5) --(1,.5) node[anchor=west] {$p_1$};
  \draw[-] (-1,-.5) node[anchor=east] {$-p_2$} -- ([xshift=-2pt]-.5,-.5); \draw[<-] ([xshift=-2pt]-.5,-.5) -- ([xshift=-2pt].5,-.5);
    \draw[<-] ([xshift=-2pt].5,-.5) --(1,-.5) node[anchor=west] {$-p_2$};
  \draw[dashed] (0,-.5) -- (0,.5);
}
\quad-\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[->] (-1,.5) node[anchor=east] {$p_1$} -- ($(-1,.5)!.6!(-.5,0)$); \draw[-]($(-1,.5)!.6!(-.5,0)$)  -- (-.5,0);
    \draw[->] (-.5,0) -- ($(-.5,0)!.6!(-1,-.5)$); \draw[-]($(-.5,0)!.6!(-1,-.5)$) -- (-1,-.5) node[anchor=east] {$-p_2$};
  \draw[->] (1,-.5) node[anchor=west] {$-p_2$} -- ($(1,-.5)!.6!(.5,0)$); \draw[-]($(1,-.5)!.6!(.5,0)$)  -- (.5,0);
    \draw[->] (.5,0) -- ($(.5,0)!.6!(1,.5)$); \draw[-]($(.5,0)!.6!(1,.5)$) -- (1,.5) node[anchor=west] {$p_1$};
  \draw[dashed] (-.5,0) -- (.5,0);
}
\\*
=4\pi igm^2(\ch(\theta_1-\theta_2)+1)
=8\pi igm^2\ch^2{\theta_1-\theta_2\over2}.
$$
\unpause
Единичный оператор здесь тоже равен единице, и мы получаем
$$
b(\theta)=1+i\pi g\cth{\theta\over2}+O(g^2)=a(i\pi-\theta).
$$
\unpause
Наконец,
\Multline*$$
\cM^{(1)}{}^{-+}_{+-}
=-\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[->] (-1,.5) node[anchor=east] {$p_1$} -- ([xshift=2pt]-.5,.5); \draw[->] ([xshift=2pt]-.5,.5) -- ([xshift=2pt].5,.5);
    \draw[-] ([xshift=2pt].5,.5) --(1,.5) node[anchor=west] {$p_2$};
  \draw[-] (-1,-.5) node[anchor=east] {$-p_2$} -- ([xshift=-2pt]-.5,-.5); \draw[<-] ([xshift=-2pt]-.5,-.5) -- ([xshift=-2pt].5,-.5);
    \draw[<-] ([xshift=-2pt].5,-.5) --(1,-.5) node[anchor=west] {$-p_1$};
  \draw[dashed] (0,-.5) -- (0,.5);
}
\quad+\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[->] (-1,.5) node[anchor=east] {$p_1$} -- ($(-1,.5)!.6!(-.5,0)$); \draw[-]($(-1,.5)!.6!(-.5,0)$)  -- (-.5,0);
    \draw[->] (-.5,0) -- ($(-.5,0)!.6!(-1,-.5)$); \draw[-]($(-.5,0)!.6!(-1,-.5)$) -- (-1,-.5) node[anchor=east] {$-p_2$};
  \draw[->] (1,-.5) node[anchor=west] {$-p_1$} -- ($(1,-.5)!.6!(.5,0)$); \draw[-]($(1,-.5)!.6!(.5,0)$)  -- (.5,0);
    \draw[->] (.5,0) -- ($(.5,0)!.6!(1,.5)$); \draw[-]($(.5,0)!.6!(1,.5)$) -- (1,.5) node[anchor=west] {$p_2$};
  \draw[dashed] (-.5,0) -- (.5,0);
}
\\
=-4\pi igm^2(1+1)
=-8\pi igm^2.
$$
\unpause
Единичный оператор тут дает ноль, и мы получаем
$$
c(\theta)=-{2\pi ig\over\sh\theta}+O(g^2)=c(i\pi-\theta).
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель синус"=Гордона. Вычисление $S$"=матрицы частицы $\phi$}
\unpause
В квазиклассическом приближении с полем $\phi$ связана частица массы
$$
m=\beta\sqrt{\mu\over4\pi}.
$$
\unpause
Действительно, при малых $\beta$ мы можем разложить действие по степеням $\phi^2$:
$$
S^{\text{SG}}[\phi]={1\over4\pi}\int d^2x\,\left({(\d_\mu\phi)^2\over2}-{m^2\phi^2\over2}+{m^2\beta^2\phi^4\over4!}-{m^2\beta^4\phi^6\over6!}+\cdots\right).
$$
\unpause
Мы будем понимать степени как нормально упорядоченные, чтобы исключить диаграммы вида $\tikz[baseline=-3pt]{\draw[-] (0,0) to[out=-25,in=-90] (1,0); \draw[-] (1,0) to[out=90,in=25] (0,0);}\>$.
\unpause

В первом порядке по $\beta^2$ имеем
$$
\cM^{(1)}{}^{\phi\phi}_{\phi\phi}=
\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[->,shorten >=-3pt] (-.5,-.5) node[anchor=east] {$p_2$} -- (-.25,-.25);
    \draw[->,shorten >=-3pt] (-.25,-.25) -- (.25,.25);
    \draw[-] (.25,.25) -- (.5,.5) node[anchor=west] {$p_1$};
  \draw[->,shorten >=-3pt] (-.5,.5) node[anchor=east] {$p_1$} -- (-.25,.25);
    \draw[->,shorten >=-3pt] (-.25,.25) -- (.25,-.25);
    \draw[-] (.25,-.25) -- (.5,-.5) node[anchor=west] {$p_2$};
}
\quad
=4\pi im^2\beta^2.
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель синус"=Гордона. Вычисление $S$"=матрицы частицы $\phi$}
\unpause
Во втором порядке получаем три диаграммы:
$$
\cM^{(2)}{}^{\phi\phi}_{\phi\phi}=
{1\over2}\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[->,shorten >=-3pt] (-.5,-1) node[anchor=east] {$p_2$} -- (-.25,-.75);
      \draw[-] (-.25,-.75) -- (0,-.5); \draw[-] (0,-.5) arc (-45:45:.5*sqrt 2);
      \draw[-] (0,.5) -- (-.25,.75); \draw[<-,shorten <=-3pt] (-.25,.75) -- (-.5,1) node[anchor=east] {$p_1$};
  \draw[-] (.5,-1) node[anchor=west] {$p_2$} -- ([shift=(-45:3pt)].25,-.75);
      \draw[<-,shorten <=-3pt] (.25,-.75) -- (0,-.5); \draw[-] (0,-.5) arc (225:135:.5*sqrt 2);
      \draw[->,shorten >=-3pt] (0,.5) -- (.25,.75); \draw[-] (.25,.75) -- (.5,1) node[anchor=west] {$p_1$};
}
\quad+{1\over2}\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[->,shorten >=-3pt] (-.5,-1) node[anchor=east] {$p_2$} -- (-.25,-.75);
      \draw[-] (-.25,-.75) -- (0,-.5); \draw[-] (0,-.5) arc (-45:45:.5*sqrt 2);
      \draw[-] (0,.5) -- (-.25,.75); \draw[<-,shorten <=-3pt] (-.25,.75) -- (-.5,1) node[anchor=east] {$p_1$};
  \draw[-] (.5,-1) node[anchor=west] {$p_1$} -- (.25,-.75);
      \draw[<-,shorten <=-3pt] (.25,-.75) -- (0,-.5); \draw[-] (0,-.5) arc (225:135:.5*sqrt 2);
      \draw[->,shorten >=-3pt] (0,.5) -- (.25,.75); \draw[-] (.25,.75) -- (.5,1) node[anchor=west] {$p_2$};
}
\quad+{1\over2}\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[->,shorten >=-3pt] (-1,-.5) node[anchor=north east] {$p_2$} -- (-.75,-.25);
      \draw[-] (-.75,-.25) -- (-.5,0); \draw[-] (-.5,0) arc (135:45:.5*sqrt 2);
      \draw[->,shorten >=-3pt] (.5,0) -- (.75,-.25); \draw[-] (.75,-.25) -- (1,-.5) node[anchor=north west] {$p_2$};
  \draw[->,shorten >=-3pt] (-1,.5) node[anchor=south east] {$p_1$} -- (-.75,.25);
      \draw[-] (-.75,.25) -- (-.5,0); \draw[-] (-.5,0) arc (-135:-45:.5*sqrt 2);
      \draw[->,shorten >=-3pt] (.5,0) -- (.75,.25); \draw[-] (.75,.25) -- (1,.5) node[anchor=south west] {$p_1$};
}
$$
\unpause
Все эти диаграммы содержат петлю вида
$$
L(p^2)=
\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[->,shorten >=-3pt] (0,1) arc (45:0:sqrt 2) node[anchor=west] {$p-q$}; \draw[-] (0,-1) arc (-45:0:sqrt 2);
  \draw[->,shorten >=-3pt] (0,1) arc (135:180:sqrt 2) node[anchor=east] {$q$}; \draw[-] (0,-1) arc (-135:-180:sqrt 2);
}
\quad
=-\int{d^2q\over(2\pi)^2}\,{1\over(q^2-m^2+i0)((p-q)^2-m^2+i0)}.
$$
\unpause
Прямое вычисление дает
$$
L(p^2)={i\over2\pi p^2}
{1\over\sqrt{1-{4m^2\over p^2}}}
\log{\sqrt{1-{4m^2\over p^2}}+1\over\sqrt{1-{4m^2\over p^2}}-1}.
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель синус"=Гордона. Вычисление $S$"=матрицы частицы $\phi$}
\unpause
Выражение кажется сложным, но его можно записать в простом параметрическом виде:
$$
L(p^2)={1\over4\pi im^2}{\vartheta\over\sh\vartheta},
\quad
p^2=-4m^2\sh^2{\vartheta\over2}.
$$
\unpause
Параметр $\vartheta$ представляет собой разность быстрот во второй диаграмме: $p=p_1-p_2$, $\vartheta=\theta$.
\unpause

В первой диаграмме $\vartheta=0$, а в третьей $\vartheta=i\pi-\theta$.
\unpause

Для амплитуды находим
$$
\cM^{(2)}{}^{\phi\phi}_{\phi\phi}={(4\pi im^2\beta^2)^2\over8\pi im^2}\left(1+{\theta\over\sh\theta}+{i\pi-\theta\over\sh\theta}\right)
=2\pi im^2\beta^4\left(1+{i\pi\over\sh\theta}\right).
$$
\unpause
Окончательно получаем
$$
S_{11}(\theta)\equiv
S(\theta)^{\phi\phi}_{\phi\phi}=1+{i\pi\beta^2\over\sh\theta}+{i\pi\beta^4\over2\sh\theta}\left(1+{i\pi\over\sh\theta}\right)+O(\beta^6).
$$
\unpause
Матрица рассеяния удовлетворяет условиям перекрестной симметрии и унитарности:
$$
S_{11}(\theta)=S_{11}(i\pi-\theta),
\quad
S_{11}(\theta)\,S_{11}(-\theta)=1.
$$
\unpause
Унитарность означает, что в данном порядке по теории возмущений при рассеянии двух частиц $\phi$ никаких других каналов, кроме упругого рассеяния, нет.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель синус"=Гордона. Рассеяние частицы $\phi$ на солитоне}
\unpause
Рассмотрим классическое солитонное решение
$$
\phi^\pm_{x_0,v}(t,x)=\pm{4\over\beta}\arctg\exp{m(x-vt-x_0)\over\sqrt{1-v^2}}.
$$
\unpause
Рассмотрим поле $\phi$ вблизи от солитонного решения: $\phi(t,x)=\phi^\pm_{x_0,v}(t,x)+\chi(t,x)$. Найдем действие в квадратичном приближении по~$\chi$:
$$
\delta S[\chi]\equiv S^{\text{SG}}[\phi^\pm_{x_0,v}+\chi]-S^{\text{SG}}[\chi^\pm_{x_0,v}]
={1\over4\pi}\int d^2x\,\left({(\d_\mu\chi)^2\over2}-{m^2\chi^2\over2}\cos\beta\phi^\pm_{x_0,v}\right).
$$
\unpause
Без ограничения общности положим $x_0=0$, $v=0$. Получаем
$$
\delta S[\chi]
={1\over4\pi}\int d^2x\,\left({(\d_\mu\chi)^2\over2}-{m^2\chi^2\over2}\left(1-{2\over\ch^2 mx^1}\right)\right).
$$
\unpause
Классическое уравнение движения
$$
\left(\d_\mu\d^\mu+m^2\left(1-{2\over\ch^2 mx^1}\right)\right)\chi(x)=0
$$
линейно и может рассматриваться как квантовое уравнение на оператор~$\chi(x)$.


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель синус"=Гордона. Рассеяние частицы $\phi$ на солитоне}
\unpause
Разложим оператор $\chi(t,x)$ по модам:
$$
\chi(t,x)=\sqrt{4\pi}\sum_n{1\over\sqrt{2\ve_n}}\,\left(e^{-i\ve_nt}f_n(x)a_n+e^{i\ve_nt}f^*_n(x)a^+_n\right).
$$
\unpause
Здесь $\ve_n=\sqrt{p_n^2+m^2}$, а $f_n(x)$ "--- решения уравнения
$$
\left(\d_x^2+p_n^2+{2m^2\over\ch^2 mx}\right)f_n(x)=0
$$
при условии
$$
\int dx\,f^*_{n'}(x)f_n(x)=\delta_{n'n}.
$$
\unpause
Легко найти нулевую моду:
$$
f_0(x)=\sqrt{m\over2}{1\over\ch mx},
\qquad
\ve_0=0.
$$
\unpause
Она связана со сдвигом солитона вдоль координатной оси:
$$
\phi^+_{0,0}(x)+\epsilon f_0(x)=\phi^+_{-\beta\epsilon/2m,0}(x).
$$
\unpause
Больше связанных состояний нет, то есть $\ve_n\ge m$ при $n\ne0$.
\unpause
Имеем
$$
f_p(x)=N_pe^{ipx}\left(1+{im\over p}\th mx\right).
$$


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель синус"=Гордона. Рассеяние частицы $\phi$ на солитоне}
\unpause
Чтобы найти плотность состояний, поместим систему в «ящик» длины $L$ с циклическим граничным условием для $\chi$:
$$
f_p(-L/2)=f_p(L/2)
\quad\Leftrightarrow\quad
e^{ipL}{p+im\th{mL\over2}\over p-im\th{mL\over2}}=1.
$$
\unpause
Нас интересует предел $L\to\infty$. Получаем
$$
e^{ipL}{p+im\over p-im}=1.
$$
\unpause
Прологарифмируем это уравнение:
$$
pL=2\pi n+2\arctg{p\over m},
\quad
n\in\Z+{1\over2}.
$$
\unpause
Найдем плотность состояний:
$$
\rho(p)={2\pi\over L}{dn\over dp}=1-{2m\over L(m^2+p^2)}.
$$
\unpause
В пределе $L\to\infty$ имеем $\rho(p)\to1$. Следовательно, мы можем заменить суммирование на интегрирование по правилу
$$
\sum_n\to\int{dp\over2\pi},
\quad
\delta_{n'n}\to2\pi\delta(p'-p),
\quad
N_p={p\over\ve_p}.
$$


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель синус"=Гордона. Рассеяние частицы $\phi$ на солитоне}
\unpause
Окончательно получаем
$$
\chi(t,x)=\sqrt{4\pi}(a_0+a^+_0)f_0(x)
+\sqrt{4\pi}\int{dp\over2\pi\sqrt{2\ve_p}}\,\left(e^{-i\ve_pt}f_p(x)a_p+e^{i\ve_pt}f^*_p(x)a^+_p\right).
$$
\unpause
На больших расстояниях от солитона имеем
$$
f_p(x)=e^{ipx}\times\Cases{1+im/p,&x\to+\infty;\\1-im/p,&x\to-\infty.}
$$
\unpause
Частица $\phi$ проходит через солитон без отражения, и амплитуда прохождения равна
$$
S_{1\pm}(\theta)\equiv S(\theta)^{\phi\pm}_{\phi\pm}
={p+im\over p-im}={\th\left({\theta\over2}+{i\pi\over4}\right)\over\th\left({\theta\over2}-{i\pi\over4}\right)}.
$$


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар: Сохранение энергии и импульса в модели синус"=Гордона (продолжение)}
\unpause
Давайте разобьем (эвклидово) действие модели синус"=Гордона следующим образом:
$$
S'_0=\int d^2x\,\left({(\d_\mu\phi)^2\over8\pi}-{\mu\over2}e^{-i\beta\phi}\right),
\quad
S'_1=-{\mu\over2}\int d^2x\,e^{i\beta\phi}.
$$
\unpause
Функционал действия $S'_0$ не является вещественным, но формально он определяет теорию поля с уравнением движения
$$
\nabla^2\phi=2\pi i\mu\beta e^{-i\beta\phi}.
$$
\unpause
Тензор энергии"=импульса можно определить как
$$
T'{}^\mu_\nu=L\delta^\mu_\nu-\phi_{,\nu}{\d L\over\d\phi_{,\mu}}+\d_\lambda f^{\mu\lambda}_\nu
=T^\mu_\nu-{\mu\over2}e^{-i\beta\phi}\delta^\mu_\nu+\d_\lambda f^{\mu\lambda}_\nu,
\quad
f^{\mu\lambda}_\nu=-f^{\lambda\mu}_\nu.
$$
\unpause
\emph{Задача.} Покажите, что можно подобрать такой тензор $f^{\mu\lambda}_\nu$, что $T'{}^\mu_\mu=0$.
\unpause

{\red Ответ:}
$$
f^{\mu\lambda}_\nu=-{i\alpha_0\over2\pi}(\delta^\mu_\nu\d^\lambda\phi-\delta^\lambda_\nu\d^\mu\phi),
\quad
\alpha_0=\beta^{-1}
$$
\unpause
\emph{Задача.} Найдите компоненты $T'=\pi T'{}^\bz_z$ и $\bar T'=\pi T'{}^z_\bz$.
\unpause

{\red Ответ:}
$$
T'(x)=-{1\over2}\d\phi^2+i\alpha_0\d^2\phi,
\quad
\bar T'(x)=-{1\over2}\bd\phi^2+i\alpha_0\bd^2\phi.
$$


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар: Сохранение энергии и импульса в модели синус"=Гордона (продолжение)}
\unpause
В квантовом случае $\alpha_0$ получает поправку. Действительно, конформная размерность оператора $e^{i\alpha\phi}$ равна
$$
\Delta_\alpha={1\over2}\alpha(\alpha-2\alpha_0).
$$
\unpause
Потребуем, чтобы алгебра Вирасоро коммутировала с оператором потенциальной энергии:
$$
\left[L'_n,\int d^2x\,e^{-i\beta\phi}\right]=\left[\bar L'_n,\int d^2x\,e^{-i\beta\phi}\right]=0,
$$
\unpause
Это значит что $\Delta_{-\beta}=1$. Следовательно,
$$
\alpha_0={1\over\beta}-{\beta\over2}.
$$
\unpause
Поскольку $\Delta_\beta=\beta^2-1$ в возмущенном случае мы имеем
$$
\Theta'(x)=\pi(1-\beta^2/2)\mu e^{i\beta\phi}.
$$
Это выражение \emph{точное}. Операторное разложение $e^{i\beta\phi(x')}e^{i\beta\phi(x)}=|x'-x|^{2\beta^2}e^{i\beta(\phi(x')+\phi(x))}$ приводит к тому, что высшие поправки равны нулю.



\end{frame}


\end{document}