\input xmppt
\def\d{\partial}
\def\const{\mathord{\rm\,const\,}}
\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}
\def\half{{1\over2}}
\def\Z{{\bf Z}}
\def\R{{\bf R}}
\def\C{{\bf C}}
\def\N{{\cal N}}
\def\Tr{\mathop{\rm Tr}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\th{\mathop{\rm th}\nolimits}
\def\Arsh{\mathop{\rm Arsh}\nolimits}
\def\Arch{\mathop{\rm Arch}\nolimits}
\def\Arth{\mathop{\rm Arth}\nolimits}
\def\sign{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\def\tsigma{{\tilde\sigma}}
\newfam\mibfam
\font\tenib=cmmib10
\font\sevenib=cmmib7
\font\fiveib=cmmib5
\textfont\mibfam=\tenib
\scriptfont\mibfam=\sevenib
\scriptscriptfont\mibfam=\fiveib
\def\bfm{\fam\mibfam\tenib}
\mathchardef\alpha="710B
\mathchardef\beta="710C
\mathchardef\gamma="710D
\mathchardef\delta="710E
\mathchardef\epsilon="710F
\mathchardef\zeta="7110
\mathchardef\eta="7111
\mathchardef\theta="7112
\mathchardef\iota="7113
\mathchardef\kappa="7114
\mathchardef\lambda="7115
\mathchardef\mu="7116
\mathchardef\nu="7117
\mathchardef\xi="7118
\mathchardef\pi="7119
\mathchardef\rho="711A
\mathchardef\sigma="711B
\mathchardef\tau="711C
\mathchardef\upsilon="711D
\mathchardef\phi="711E
\mathchardef\chi="711F
\mathchardef\psi="7120
\mathchardef\omega="7121
\mathchardef\varepsilon="7122
\mathchardef\vartheta="7123
\mathchardef\varpi="7124
\mathchardef\varrho="7125
\mathchardef\varsigma="7126
\mathchardef\varphi="7127
\def\xvec{{\bfm x}}
\def\evec{{\bfm e}}
\def\deltavec{{\bfm\delta}}

{\bf
\centerline{������~1}
\centerline{��������� ������ ������}
}
\bigskip
� ���� ������ �� ���������� ��������� ������ ������ � �� �������,
������������ ��������� � 1944~�.

���������� ��������� ������� ������� $M\times N$ � ������, �����������
������ ����� ����� $(m,n)$. � ������ ������� �������� `��������'
���������� $\sigma_{mn}=\pm1\equiv\pm$. {\it �������������\/} $C$
����� �������� ������������ �������� �������� ���������� �� ���� �����
$\{\sigma_{mn}\}$. �����������, ��� �������������� ��� $W(C)$
������������ $C$ ������������ ��������
$$
W(C)=e^{-\beta E(C)},
\qquad
\beta E(C)=-\sum_{m,n}(J\sigma_{mn}\sigma_{m+1\>n}
+K\sigma_{mn}\sigma_{m\>n+1}).
\eqlabel\EQWdef
$$
��� ���� ����� �������������� ���������� ������� �� �������� �������,
�������� �����������
$$
\sigma_{M+1\>n}=\sigma_{1n},
\qquad
\sigma_{m\>N+1}=\sigma_{m1}.
\eqlabel\EQcycbc
$$
��� ����� ������������, � �������� �����, ����������������� ������
$M,N\to\infty$, ������� ��������� ������� �� ����� ������ ������� ���� �
�� ��� ������������� ��� �������.

���� ������ --- ��������� �������������� ����� $Z_{MN}(J,K)$ ������
������ � ����� ������
$f(J,K)=-{1\over MN}\lim_{M,N\to\infty}\log Z_{MN}(J,K)$. �� �����
������������� ������ `���������������' �������������� $J,K>0$. ���
������ ������ ���������� ������������ �� ���� ��� ������ $M,N$.

������� ��� ������ ������ ������ ������� ��������-�������.
���������� $n$-� ��� ������� $\{\sigma_1,\ldots,\sigma_M\}$ (������ $n$
�� ��� �������� ��������) � $n+1$-� ���
$\{\sigma'_1,\ldots,\sigma'_M\}$. ������� ��� �������������� �����
$n$-�� ���� � ��� ������������ �����, ����������� $n$-� � $n+1$-� ���� �
�������� �� ����� � �������������� ��� $W(C)$:
$$
T^{\sigma'}_\sigma
\equiv T^{\{\sigma'_1,\ldots,\sigma'_M\}}_{\{\sigma_1,\ldots,\sigma_M\}}
=\exp\sum_{m=1}^M
(J\sigma_m\sigma_{m+1}+K\sigma_m\sigma'_m).
\eqlabel\EQtm
$$
��� ���� ������ ������������� ��� ������� � ��������� $\sigma'$ �
$\sigma$, ��������� {\it ��������-��������}. �������������� �����
���������� ����� ��������-������� � ����
$$
Z_{MN}=\Tr T^N.
\eqlabel\EQZT
$$
������ ���������� �������������� ����� �������� � ������ ��������������
��������-�������, �.~�.\ ���� $\Lambda_1\ge\ldots\ge\Lambda_\N$
($\N=2^N$), ��
$$
Z_{MN}=\sum_{i=1}^\N\lambda^N_i.
$$
����� ����, � ������� $N\to\infty$ �����
$$
Z_{MN}=g\Lambda^N_1,
$$
��� $g$ --- ������� ���������� �������� ������������ ��������, � �
����������������� �������
$$
f=-\log\Lambda_1.
\eqlabel\EQfLambdaone
$$

��������-������� ������ ������ ������ ������� � ������������ ����
������ $T=V_0V_1$,
$$
\eqalignno{
(V_0)^{\sigma'}_\sigma
&=e^{K\sum_{m=1}^M\sigma_m\sigma'_m},
\lnlabel\EQVzerodef
\cr
(V_1)^{\sigma'}_\sigma
&=e^{J\sum_{m=1}^M\sigma_m\sigma_{m+1}}.
\lnlabel\EQVonedef}
$$
������� ������ ��� ������� ����� ������� ����� $\sigma^i_m$,
����������� � ��������������� ��������� �������������. ��� $V_1$ ���
����������:
$$
V_1=e^{J\sum_{m=1}^M\sigma^z_m\sigma^z_{m+1}}.
\eqlabel\EQVonemat
$$
��� $V_0$ ��� ��������� �������. ���������� ����������
$e^{K^*\sigma^x}$ � ��������� ���������� $K^*$. ��������
$$
e^{K^*\sigma^x}=\sum_{k=0}^\infty{(K^*\sigma^x)^k\over k!}
=\sum_{k=0}^\infty\left(
  {K^{*2k}\over(2k)!}+{K^{*2k+1}\sigma^x\over(2k+1)!}
\right)
=\ch K^*+\sigma^x\sh K^*
=\pmatrix{\ch K^*&\sh K^*\cr
	  \sh K^*&\ch K^*}.
$$
�� ������� $V_0$ ���� ��������� ������������ ������ ����
$\pmatrix{e^K&e^{-K}\cr e^{-K}&e^K}$. ����� �������, ����
$$
\th K^*=e^{-2K},
\eqlabel\Kstardef
$$
�� � ��������� �� ��������� ������������ ��� ������� $2\times2$
���������. ������
$$
V_0=(2\sh 2K)^{M/2}e^{K^*\sum_{m=1}^M\sigma^x_m}.
$$
�������, ��� ����������� $K\mapsto K^*$ �����������, �.~�.\ $(K^*)^*=K$.

������ ������ ��������� ��������
$$
A_0=\sum_{m=1}^M\sigma^x_m,
\qquad
A_1=\sum_{m=1}^M\sigma^z_m\sigma^z_{m+1}.
\eqlabel\EQOnsagerops
$$
��� ��������� �������� ��������� ������� �������, ������ �������������
�������, ����� ����� ������ ��������-�������. ������ ����� ������
����������� �����. �������, ��� �������� $A_0$, ���� ����� �������� �
����, ������������ �� �������� �����:
$$
A_0=-i(\sigma^y_m\sigma^z_m-\sigma^z_m\sigma^y_m).
$$
�������, ��� ������� ����� $\sigma^z$, $\sigma^y$ ������������� �������
���������:
$$
(\sigma^y)^2=(\sigma^z)^2=1,
\qquad
\{\sigma^y,\sigma^z\}=0.
$$
��� ������� ����� ���������� � ����� ��������� ���� � ������� ����������
$$
\tsigma^\pm=\half(\sigma^z\pm i\sigma^y).
\eqlabel\EQsigmapmdef
$$
������,
$$
\{\tsigma^+,\tsigma^-\}=1,
\qquad
(\tsigma^+)^2=(\tsigma^-)^2=0.
\eqlabel\EQClifford
$$
� ���� ������������
$$
\eqalign{
A_0
&=\sum_{m=1}^M(1-2\tsigma^+_m\tsigma^-_m),
\cr
A_1
&=\sum_{m=1}^M(\tsigma^+_m+\tsigma^-_m)(\tsigma^+_{m+1}+\tsigma^-_{m+1}).
}\eqlabel\EQAviatsigma
$$
�� ����� ��� �������� ��������� $A_i$ ����� ��������. ������������
�������� ������� � ���, ���
$$
[\tsigma^\alpha_m,\tsigma^\beta_{m'}]=0
\qquad\hbox{��� $m\ne m'$.}
$$
����� ��������� ��������� ��������, ������ {\it ��������� ����������\/}
$\mu_m$, ��������������� ��������
$$
[\mu_m,\mu_{m'}]=0,
\qquad
\mu^{\vphantom{\pm}}_m\tsigma^\pm_{m'}=
\cases{\tsigma^\pm_{m'}\mu^{\vphantom{\pm}}_m&��� $m'\ge m$,\cr
	-\tsigma^\pm_{m'}\mu^{\vphantom{\pm}}_m&��� $m'<m$.}
\eqlabel\EQmucomm
$$
������� �������� �� ��, ���
$$
\sigma^x\tsigma^\pm=-\tsigma^\pm\sigma^x.
$$
������ �������
$$
\mu_m=\prod_{j=1}^{m-1}\sigma^x_j
=e^{i\pi\sum_{j=1}^m\tsigma^+_j\tsigma^-_j}.
\eqlabel\EQmudef
$$
��������� ���������� ���������
$$
\eqalign{
a_m
&=\mu_m\tsigma^-_m,
\cr
a^+_m
&=\mu_m\tsigma^+_m.
}\eqlabel\EQfermdef
$$
�����
$$
\eqalign{
A_0
&=\sum_{m=1}^M(1-2a^+_ma_m),
\cr
A_1
&=\sum_{m=1}^{M-1}(a^+_m-a_m)(a^+_{m+1}+a_{m+1})
-(a^+_M-a_M)(a^+_1+a_1)\prod_{j=1}^M(1-2a^+_ja_j).
}\eqlabel\EQAferm
$$
��� ��������� ����������� �� $a^+_m$, $a_m$, �� ����������� ����������
���������� � $A_1$. �� ��������� $\prod(1-2a^+_ja_j)$ �����
$(-1)^{n_f}$, ��� $n_f$ --- ����� ���������. ������� ���� ��������
����� ���� ������� ������������. �� ����� �� ����������� � ��������,
��������� � ���� ������, � ��������� ��� �� ����� ���� ����������
������ ����������������� ������, ������� ������� ���������� ���������
��� $A_1$:
$$
A_1=\sum_{m=1}^M(a^+_m-a_m)(a^+_{m+1}+a_{m+1}).
\eqlabel\EQAfermsimp
$$
��� ������������� ��������� ����������� ���������� ������� � ������
������.

������ ������������� �������������� ��������������� ��������� ��� $A_i$.
�������� $a_m$ � ��� �����
$$
a_m={1\over\sqrt M}\sum_q e^{iqm}\eta_q,
\qquad
q={2\pi\nu\over M},
\qquad
\nu=0,1,\ldots,M-1\bmod M,
\eqlabel\EQFourier
$$
� ��������� ��� ��������� � $A_i$:
$$
\eqalign{
A_0
&=\sum_q(1-2\eta^+_q\eta_q),
\cr
A_1
&=\sum_q(e^{iq}\eta^+_q\eta^+_{-q}-e^{-iq}\eta_q\eta^+_q
+e^{iq}\eta^+_q\eta_q-e^{-iq}\eta_q\eta_{-q}).
}
$$
�� �����, ��� � ��� ��������� �������� ����� $q$ � $-q\sim 2\pi-q$
������ ������. ������� ������ ��������
$$
A_i=\sum_{0\le q<\pi}A_i(q),
$$
������
$$
\eqalign{
A_0(q)
&=2(1-\eta^+_q\eta_q-\eta^+_{-q}\eta_{-q}),
\cr
A_1(q)
&=2(\eta^+_q\eta_q+\eta^+_{-q}\eta_{-q})\cos q
+2i(\eta^+_q\eta^+_{-q}+\eta_q\eta_{-q})\sin q-2\cos q,
}
$$
��� $q\ne0$ �
$$
\eqalign{
A_0(0)
&=2(1-\eta^+_0\eta_0-\eta^+_\pi\eta_\pi),
\quad
&A_1(0)
&=2(\eta^+_0\eta_0-\eta^+_\pi\eta_\pi)
\quad
&&\hbox{��� ������ $M$ �}
\cr
A_0(0)
&=1-2\eta^+_0\eta_0,
\quad
&A_1(0)
&=2\eta^+_0\eta_0-1
\quad
&&\hbox{��� �������� $M$.}
}
$$
��� ��������, ���
$$
T=(2\sh2K)^{M/2}\prod_{0\le q<\pi}T(q),
\qquad
T(q)=V_0(q)V_1(q),
$$
���
$$
V_0(q)=e^{K^*A_0(q)},
\qquad
V_1(q)=e^{JA_1(q)}.
$$
��� ��������� $T(q)$ ����������� ���� � ������, ��� ��� ������
�������������� $T$ �������� � �������������� ������ $T(q)$ �������
$4\times4$. ��������� ������ $|0\rangle_q$ ��������
$\eta_q|0\rangle=0$ ��� ����~$q$. ������ �����
$$
|++\rangle=|0\rangle,
\quad
|-+\rangle=\eta^+_q|0\rangle,
\quad
|+-\rangle=\eta^+_{-q}|0\rangle,
\quad
|--\rangle=\eta^+_q\eta^+_{-q}|0\rangle
$$
��� $q\ne0$,
$$
|++\rangle=|0\rangle,
\quad
|-+\rangle=\eta^+_0|0\rangle,
\quad
|+-\rangle=\eta^+_\pi|0\rangle,
\quad
|--\rangle=\eta^+_0\eta^+_\pi|0\rangle
$$
��� $q=0$ � ������ $M$ �
$$
|+\rangle=|0\rangle,
\quad
|-\rangle=\eta^+_0|0\rangle.
$$
��� $q=0$ � �������� $M$. � ���� ������ ������� $A_i$ �������� ���
$$
A_0(q)=\pmatrix{2&&&\cr&0&&\cr&&0&\cr&&&-2},
\qquad
A_1(q)=\pmatrix{-2\cos q&&&-2i\sin q\cr&0&0&\cr
	&0&0&\cr2i\sin q&&&2\cos q}.
$$
��� $q\ne0$ �
$$
\eqalign{
\span
A_0(0)=\pmatrix{2&&&\cr&0&&\cr&&0&\cr&&&-2},
\qquad
A_1(0)=\pmatrix{0&&&\cr&2&&\cr&&-2&\cr&&&0}
\qquad\hbox{($M$ --- ������),}
\cr
A_0(0)=\pmatrix{1&\cr&-1},
\qquad
A_1(0)=\pmatrix{-1&\cr&1}
\qquad\hbox{($M$ --- ��������),}
}
$$
��� ������� ������ ������������� ��� �������, ������ ������������ $\C^4$
����������� � ����� ���� ���������
$(\C|++\rangle\oplus\C|--\rangle)\oplus(\C|-+\rangle\oplus\C|+-\rangle)$.
����� � ������ ������������
$$
A^{(1)}_0(q)=A^{(1)}_0(0)=2\sigma^z,
\qquad
A^{(1)}_1(q)=2\sigma^y\sin q-2\sigma^z\cos q,
\qquad
A^{(1)}_1(0)=0.
$$
�� ������ �����������
$$
A^{(2)}_0(q)=A^{(2)}_0(0)=0,
\qquad
A^{(2)}_1(q)=0,
\qquad
A^{(2)}_1(0)=2\sigma^z.
$$
��� �������� $M$ �����
$$
A_0(0)=-A_1(0)=\sigma^z.
$$
� ����� ���� ����� ����� ���������� �� ���� ����������. � ������
������������
$$
\eqalign{
V^{(1)}_0(q)
&=e^{2K^*\sigma^z}=\ch2K^*+\sigma^z\sh2K^*
=\pmatrix{e^{2K^*}&\cr&e^{-2K^*}},
\cr
V^{(1)}_1(q)
&=e^{2J(\sigma^y\sin q-\sigma^z\cos q)}
=\ch2J+(\sigma^y\sin q-\sigma^z\cos q)\sh2J
\cr
&=\pmatrix{\ch2J-\sh2J\cos q&-i\sh2J\sin q\cr i\sh2J\sin q&\ch2J+\sh2J\cos q}.
}
$$
������
$$
T^{(1)}(q)
=\pmatrix{e^{2K^*}(\ch2J-\sh2J\cos q)&-ie^{2K^*}\sh2J\sin q\cr
ie^{-2K^*}\sh2J\sin q&e^{-2K^*}(\ch2J+\sh2J\cos q)}.
$$
����������� �������� ���� ������� �����
$\lambda_{1,2}(q)=e^{\pm\varepsilon(q)}$, ���
$$
\ch\varepsilon(q)=\ch2K^*\ch2J-\sh2K^*\sh2J\cos q.
\eqlabel\EQeqspectrum
$$
�� ������ ������������ $T^{(2)}(q)=1$ �� ����������� ����� $q=0$, ���
$T^{(2)}(q)=e^{2J\sigma^z}$ � $\lambda_{3,4}(0)=e^{\pm2J}$.

������ ����������� �������� ��������-������� ������ �������� � ����
$$
\Lambda(\vec\alpha)
=(2\sh2K)^{M/2}
\exp\sum_q\alpha_q{\varepsilon(q)\over2}.
\eqlabel\EQspectrum
$$
����� $\alpha_q=\pm$.
\proclaim ������. ��������, ��� ���� $q=0,\pi$ ������ ����� ��������
���������.

��� ��������, ��� ������� ���������� ���� $\xi_q$, $\xi^+_q$, ����� ���
$$
T=(2\sh2K)^{M/2}
e^{-\sum_q\varepsilon(q)\left(\xi^+_q\xi_q-\half\right)}.
$$
����� ��������, ��� ���������� ���� $\xi_q$, $\xi^+_q$ ���������� �� ���
$\eta_q$, $\eta^+_q$ ��������������� ����������.

����������� ������������ �������� $\Lambda_1$ ��������,
��������, ������ $\alpha_\nu=+$ ��� ���� $\nu$. �������������,
��������� ����������� �������� �����
$$
\Lambda_1=(2\sh2K)^{M/2}e^{\half\sum_{0\le q<2\pi}\varepsilon(q)},
\eqlabel\EQLambdaone
$$
� ��������� ������� (���������� �� $\beta$) � ����������������� �������
����� ���
$$
f=-\half\log(2\sh2K)
-\int_0^\pi{dq\over2\pi}\,\Arch(\ch2K^*\ch2J-\sh2K^*\sh2J\cos q).
\eqlabel\EQfreeenergy
$$
����� �������� �������� ������� � ������������ ��������� �������. ����
$$
\ch2K^*\ch2J-\sh2K^*\sh2J\equiv\ch2(K^*-J)>1,
$$
��������������� ��������� �� ����� ������������ � ������� $f$
����������. ������ ��� $K^*\to J$ ��������������� ��������� ����� ����
��� $|K^*-J|$ ��� $q=0$. ��� ����� ����������������� �� �����������
��������� ������ ���
$$
K^*=J
\eqlabel\EQtranspoint
$$
���, ������������, ���
$$
K=J^*.
$$
����� ��������, ��� ����������� ��������� �������
$\sim(K^*-J)^2\log|K^*-J|$ ��� $(T-T_c)^2\log|T-T_c|$, �.~�.\ ��� �����
������ � ����������� ����������� ���� � ������������ $C\sim\log|T-T_c|$.

��� ���������� ����� ����������������� ��������� �������. �����
$\xvec=(m,n)$ ���������� ���� �������, � $\xvec_*=(m+1/2,n+1/2)$ --- ����
{\it ��������\/} �������. ������� $\sigma(\xvec)=\sigma_{mn}$. ����
���������� $\mu(\xvec_*)$ ��������� ��� �������, ������� ������ �����
�������������� �� ���� ������ ����� �� $\xvec_*$. ������ �������
$\deltavec_1=(1,0)$, $\deltavec_2=(0,1)$, $\deltavec_3=(-1,0)$,
$\deltavec_4=(0,-1)$, $\evec_1=(1/2,1/2)$, $\evec_2=(-1/2,1/2)$,
$\evec_3=(-1/2,-1/2)$, $\evec_4=(1/2,-1/2)$. ������� ����� $J_1=J_3=J$,
$J_2=J_4=K$. ������ ����
$$
\psi_a(\xvec)=\sigma(\xvec)\mu(\xvec+\evec_a),
\qquad
\psi_{a+4}(\xvec)=-\psi_a(\xvec).
\eqlabel\EQpsidef
$$
\proclaim ������. ��������, ��� ���� $\psi_a(\xvec)$ �������������
���������
$$
\psi_a(\xvec)=\psi_{a+1}(\xvec)\ch2J_{a+1}
-\psi_{a+2}(\xvec+\delta_{a+1})\sh2J_{a+1}.
\eqlabel\EQdirac
$$

��� ��������� ������ ���� ����������� ��������� ������ ��� ����
$\psi_a(\xvec)$.

\proclaim ������. ��������, ��� ���������� �� $\xvec$ ������� ���������
(\EQdirac) ������� ��� �������~(\EQtranspoint). ��������, ��� ��������
���������� ������� ������ ���� ����� ���������� ����� ��� �������
$u_\pm$, ��������������� ������������ ��������� ������:
$$
\eqalign{
(\partial_1+i\partial_2)u_+
&=imu_-,
\cr
(\partial_1-i\partial_2)u_-
&=imu_+,
\cr
m\sim K^*-J.
}
$$

�������������� ����� ��� ������ ������ ����� �������� ����� �������
�������� �� ����������������� ���������� $\psi_q(\xvec)$.



\end
