\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,pictex,russian,fullpage}

\allowdisplaybreaks

\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1{\begin{equation}#1\end{equation}}
\def\Align#1{\begin{align}#1\end{align}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}#1\end{aligned}}
\def\Gather#1{\begin{gather}#1\end{gather}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}#1\end{gathered}}
\def\Multline#1{\begin{multline}#1\end{multline}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\const{\mathord{\rm\,const\,}}
\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}
\def\half{{1\over2}}
\def\Z{{\bf Z}}
\def\R{{\bf R}}
\def\C{{\bf C}}
\def\N{{\cal N}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\Tr{\mathop{\rm Tr}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\th{\mathop{\rm th}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\Arsh{\mathop{\rm Arsh}\nolimits}
\def\Arch{\mathop{\rm Arch}\nolimits}
\def\Arth{\mathop{\rm Arth}\nolimits}
\def\sign{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\def\tsigma{{\tilde\sigma}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\i{{\rm i}}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.2truecm> [0.15,0.4] from #1 #2 to #3 #4 }
%\def\ln#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.01truecm> [0,0] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\begin{document}

\centerline{\bf ������~18}
\centerline{\bf �������������� ������ ����. ������� ��������� ����}
\bigskip


�������� � ����������� $L$-���������:
\eq{
L(u)=R_{0N}(u)\ldots R_{02}(u)R_{01}(u)=\pMatrix{A(u)&B(u)\\C(u)&D(u)}.
\label{Ludef}
}
���������� ��������� �������� $B(u)=L(u)^+_-$ � $C(u)=L(u)^-_+$. ��� �������� ������ ���� �� �������:
\eq{
[S^z,B(u)]=-1,
\qquad
[S^z,C(u)]=1.
\label{SzBcommut}
}
���������� ������������ $|\Omega_+\rangle$. ��������, $C(u)|\Omega_+\rangle=0$. ��� ����������� ����� ������������ ��� ����������� �������������. ����������� ������ �� ������������ ����������~$B(u)$. �� ������� ������� �����
$$
B(u)|\Omega_+\rangle=\sum_n b^n(u)c(u)a^{N-n-1}(u)|n\rangle.
$$
���� �������� ����� ������ $u$ ������������ ��������� $z=b(u)/a(u)$.
����������,
$$
\Aligned{
B(u_1)B(u_2)|\Omega_+\rangle
&=\sum_{n_1<n_2}
b^{n_1}(u_1)c(u_1)a^{N-n_1-1}(u_1)
b^{n_2-1}(u_2)c(u_2)a^{N-n_2}(u_2)|n_1,n_2\rangle
\\
&\quad
+\sum_{n_1>n_2}
b^{n_1}(u_1)c(u_1)a^{N-n_1-1}(u_1)
b^{n_2+1}(u_2)c(u_2)a^{N-n_2-2}(u_2)|n_1,n_2\rangle.
}
$$
�� �����, ��� ��������� ����
\eq{
|u_1,u_2,\ldots,u_k\rangle
=B(u_1)B(u_2)\ldots B(u_k)|\Omega_+\rangle
\label{Bstates}
}
����� ��������� �������� ������� ���� � $e^{\i p_j}=b(u_j)/a(u_j)$. ��������� (\ref{Bstates}) ��������� {\it �������������� �������� ����}. ����� ������, ������������� �� ��� ��������� ���� ����������� �������, ���������� �������������� �����������, ��������� �� ��������� ����--��������:
$$
R_{12}(u_1-u_2)L_1(u_1)L_2(u_2)=L_2(u_2)L_1(u_1)R_{12}(u_1-u_2).
$$
��-������, ${}^{++}_{--}$-���������� ����� ����������� ����
\eq{
B(u_1)B(u_2)=B(u_2)B(u_1).
\label{BBcommut}
}
��� ������, ��� ��������� (\ref{Bstates}) ����������� �� $u_1,\ldots,u_k$. ��-������, �� ��������� ${}^{++}_{-+}$ � ${}^{-+}_{--}$ ����� �����������
\Align{
a(u_1-u_2)B(u_1)A(u_2)
&=c(u_1-u_2)B(u_2)A(u_1)+b(u_1-u_2)A(u_2)B(u_1),
\label{ABcommut}
\\
a(u_2-u_1)B(u_1)D(u_2)
&=c(u_2-u_1)B(u_2)D(u_1)+b(u_2-u_1)D(u_2)B(u_1).
\label{DBcommut}
}
�� ���� ����������� ����� ������� ���������
\eq{
\Aligned{
A(u)|u_1,\ldots,u_k\rangle
&=\alpha(u;u_1,\ldots,u_k)|u_1,\ldots,u_k\rangle
\\
&\quad
-\sum_{i=1}^k{c(u_i-u)\over b(u_i-u)}
\alpha(u_i;u_1,\ldots,\widehat{u_i},\ldots,u_k)
|u,u_1,\ldots,\widehat{u_i},\ldots,u_k\rangle,
\\
D(u)|u_1,\ldots,u_k\rangle
&=\delta(u;u_1,\ldots,u_k)|u_1,\ldots,u_k\rangle
\\
&\quad
-\sum_{i=1}^k{c(u-u_i)\over b(u-u_i)}
\delta(u_i;u_1,\ldots,\widehat{u_i},\ldots,u_k)
|u,u_1,\ldots,\widehat{u_i},\ldots,u_k\rangle,
}
\label{ABaction}
}
���
\eq{
\alpha(u;u_1,\ldots,u_k)
=a^N(u)\prod_{i=1}^k{a(u_i-u)\over b(u_i-u)},
\qquad
\delta(u;u_1,\ldots,u_k)
=b^N(u)\prod_{i=1}^k{a(u-u_i)\over b(u-u_i)}.
\label{alphadeltadef}
}
����������� (\ref{ABaction}) ������������ �� ��������.

�� ����������� (\ref{ABaction}) ��������
$$
T(u)|u_1,\ldots,u_k\rangle
=(\alpha(u;u_1,\ldots,u_k)+\delta(u;u_1,\ldots,u_k))
|u_1,\ldots,u_k\rangle+\hbox{������ �����}.
$$
����� ������ $|u_1,\ldots,u_k\rangle$ ��� �����������, ����� ������ ������ ������ ���� ����� ����. � ���� ������ ����������� �������� ��������-������� ����� �����
\eq{
\Lambda(u;u_1,\ldots,u_k)
=a^N(u)\prod_{i=1}^k{a(u_i-u)\over b(u_i-u)}
+b^N(u)\prod_{i=1}^k{a(u-u_i)\over b(u-u_i)}.
\label{Lambda}
}
�������, ��� ������ �����, �� ����, �������� � ������ $n=1,N$ � ������� �� ���������� ������������ ������� �������������.

��� ���  ${c(u)\over b(u)}=-{c(-u)\over b(-u)}$, ������ ����� �����������, ����
$$
\alpha(u_i;u_1,\ldots,\widehat{u_i},\ldots,u_k)
=\delta(u_i;u_1,\ldots,\widehat{u_i},\ldots,u_k)
$$
���
\eq{
\left(b(u_i)\over a(u_i)\right)^N
=\prod_{\scriptstyle j=1\atop\scriptstyle j\ne i}^k
{a(u_j-u_i)b(u_i-u_j)\over b(u_j-u_i)a(u_i-u_j)},
\label{Betheeq}
}
��� � ���� ��������� ����. ������� ������� ��������� ���� ������������� ��������� ����������� ������ ��������-������� (�������������), ��� ��� ��������� ����� ���������� �������� $\{u_i\}_{i=1}^k$.

����� ���� ��������� ��������� ���� � ����
\Align{
\left(\sin u_i\over\sin(\lambda-u_i)\right)^N
&=\prod_{\scriptstyle j=1\atop\scriptstyle j\ne i}^k
{\sin(u_i-u_j+\lambda)\over\sin(u_i-u_j-\lambda)}
\qquad\hbox{��� $c<a+b$ � �.~�.\ ($|\Delta|<1$)},
\label{Bethegapless}
\\
\left(\sh u_i\over\sh(\lambda-u_i)\right)^N
&=\prod_{\scriptstyle j=1\atop\scriptstyle j\ne i}^k
{\sh(u_i-u_j+\lambda)\over\sh(u_i-u_j-\lambda)}
\qquad\hbox{��� $c>a+b$ ($\Delta<-1$)}.
\label{Betheantifer}
}
����� $\Delta<-1$ ������������� ������� ���� �������� ������������ �������������� ������, ��� ������� ������������ ������ ���� ������ ����� $c$-���, � ����������� (� ����������������� �������) ���������� ��������� ��������� XXZ-������. ������������ ��������� � XXZ-������ �������� �� ��������� �����. � ���� ������ ������� �� ������������������������ ������������ �������������� ������ � ������������������ �������� ��������� XXZ-������. � ������ $|\Delta|<1$ ������� ���������� ����� (�� ����������� �������) �������� ������������ �������������� ������ (��������������� ����������� ���������) � ���������� ������ ������ ��������� ��������� � XXZ-������. � ����� ������� ��������� ��������� �������� ��������� � $S^z=0$ ��� $S^z=\pm\half$ � ����������� �� �������� $n$.

�������, ��� ����� ���������� ����������� �������� $\Lambda_{\rm max}(u)$ � ���� ������ � ����������������� �������. ������� ��������� �������������:

1) � �������� ��������� ������� ����� �� �������� �� ��������������� ��������, �� ��������������� ��������� ������, ��� ��� $|z_i|\equiv|b(u_i)/a(u_i)|=1$ ��� $u_i=\lambda/2+iv_i$ � �������������~$v_i$.

2) � �������� ��������� $v_i$ ��������� � ����������������� �������, ������� ����������� ���� ��� ����� � �������� ������� ��������.

3) � �������� ��������� $S^z/N\to0$.

��� �������������� ����� ������������� ������ $|\Delta|<1$.

��������� ���� ������ ������������������. ������ �����������
$$
e^{ip(v)}={\sin(\lambda/2+iv)\over\sin(\lambda/2-iv)},
\qquad
e^{i\theta(v)}={\sin(\lambda+iv)\over\sin(\lambda-iv)}.
$$
�� �������� ����� ���������, ����� ��� $p(0)=\theta(0)=0$. ��������� ���� ������������ � ����
$$
e^{iNp(v_i)}=(-)^{k-1}\prod_{j=1}^ke^{i\theta(v_i-v_j)}.
$$
�����������������, �������
$$
Np(v_i)=2\pi I_i+\sum_{j=1}^k\theta(v_i-v_j),
$$
��� $I_i$ --- ����� ���� ��������� � ����������� �� �������� $k$. �������~2) �� ����� ������ ��������:

2') � �������� ��������� ��� $I_i$ �������� ����� ���������������� ����� ��� �������� $k$ � ��������� ��� ������ $k$ �����.

� ���� ���� �����������, ��-��������, ����� �� ������ � ����������������� �������. ��� ����� $k$ ����� ����� ��������, ���

2�) ���������� ����������� �������� ��������-������� � ������� � ������ $S^z$ ����������� ��� ������������ ������������� $I_i$ (� $v_i$) ������ ����.

����� ��� ��������� ���������
$$
p(v_{i+1})-p(v_i)
={2\pi\over N}+{1\over N}\sum_{j=1}^k(\theta(v_{i+1}-v_j)-\theta(v_i-v_j)).
$$
� ������� $N\to\infty$  �����
\eq{
p'(v)=2\pi\rho(v)+\int^{v_1}_{-v_1}dv'\,\theta'(v-v')\rho(v')
\label{inteq}
}
���
\eq{
\rho(v)={1\over\pi}{\sin\lambda\over\ch2v-\cos\lambda}
-\int^{v_1}_{-v_1}{dv'\over\pi}\,
{\sin2\lambda\over\ch2(v-v')-\cos2\lambda}\,\rho(v'),
\tag{$\ref{inteq}'$}
}
��� $p'(v)$, $\theta'(v)$ --- ����������� �� $p(v)$, $\theta(v)$ �� $v$, � $\rho(v)=\lim_{N\to\infty}{1\over N(v_{i+1}-v_i)}$ --- ��������� ������ ������ ����� $v$, ������� � ����� ����������� �������� � ���� ���������. �������� $[a,b]$ ������������ �� ������� �������� ������� � �������
\eq{
\int^{v_1}_{-v_1}dv\rho(v)={k\over N}.
\label{rhonorm}
}


� ������� $N\to\infty$ ����� �������, ��� ���� �� ��������� � (\ref{Lambda}) ����� ������ �������, �������
\Align{
\log\kappa(u)\equiv\lim_{N\to\infty}{\log\Lambda(u)\over N}
&=\max\biggl(
\log a(u)+\int^{v_1}_{-v_1}dv\,\rho(v)
\log{a(iv-u+\lambda/2)\over b(iv-u+\lambda/2)},
\\
&\qquad\qquad\qquad
\log b(u)+\int^{v_1}_{-v_1}dv\,\rho(v)
\log{a(u-iv-\lambda/2)\over b(u-iv-\lambda/2)}
\biggr).
\label{fe}}

��������� (\ref{inteq}) �������� ������ ������� ����� ��� $v_1=\infty$. �������
\eq{
\rho(v)=\int dk\,\rho_ke^{ikv},
\qquad
p'(v)=\int dk\,p_ke^{ikv},
\qquad
\theta'(v)=\int dk\,\theta_ke^{ikv}.
\label{Fourier}
}
�����
$$
\rho_k={p_k\over2\pi}-\theta_k\rho_k,
$$
�.~�.
$$
\rho_k={1\over2\pi}{p_k\over1+\theta_k}.
$$
�������� ���������, ���
$$
p_k={\sh\half(\pi-\lambda)k\over\sh\half\pi k},
\qquad
\theta_k={\sh\half(\pi-2\lambda)k\over\sh\half\pi k}.
$$
������ ��������
\eq{
\rho_k={1\over4\pi\ch\half\lambda k}.
\label{rhokfin}
}
��������
$$
\int^\infty_{-\infty}dv\,\rho(v)=2\pi\rho_0=\half,
$$
� ������ $k=N/2$ � $S^z=0$ (�������, � ��������� �� ������ �������~1). ����� �������, ��� ������� ������������� ��������� ��������� �������.

��������, ���
$$
\int {dv\over2\pi}\,e^{-ikv}\log\left|\sin(\lambda-iv+w)\over\sin(iv-w)\right|
={\sh\half(\lambda+2w)k\sh\half(\pi-\lambda)k\over k\sh\half\pi k},
$$
����� ��������, ��� ��� �������� ��� ������ ��������� � (\ref{fe}) ��������� � ���� 
\Align{
\log\kappa(u)
&=\log a(u)+\int^\infty_{-\infty}dk\,
{\sh uk\sh{\pi-\lambda\over2}k\over2k\sh{\pi\over2}k\ch{\lambda\over2}k}
\\
&=\log b(u)+\int^\infty_{-\infty}dk\,
{\sh(\lambda-u)k\sh{\pi-\lambda\over2}k
  \over2k\sh{\pi\over2}k\ch{\lambda\over2}k}.
\label{feglfin}}

� ������ $\Delta<-1$ ������ ���������� �� ��������������� ������ � ������� $p'(v)$ � $\theta'(v)$ ����������� �������������� �� $v$ � �������� $\pi$. ��� ������, ��� �������� ����� � (\ref{Fourier}) ���������� �� ��� �����. ������� ������������� ������� ��� ��������� ������� ����� ��� ����
\Align{
\log\kappa(u)
&=\log a(u)+u+\sum_{m=1}^\infty{e^{-\lambda m}\sh2um\over m\ch\lambda m}
\\
&=\log b(u)+\lambda-u
+\sum_{m=1}^\infty{e^{-\lambda m}\sh2(\lambda-u)m\over m\ch\lambda m}.
\label{feaffin}}

\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf ������}
\medskip

{\bf1.}~�������� ����������� (\ref{ABaction}) �� �������� ��~$k$.

{\bf2.}~��������, ��� ������ ���� (\ref{Betheeq}) ����� �������� �� ������� ��� ����������� �������� (\ref{Lambda}) � ���������� ������������� ������������ �������� ��� ������� $u$.



\end{document}
