\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,pictex,russian,fullpage}

\allowdisplaybreaks

\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1{\begin{equation}#1\end{equation}}
\def\Align#1{\begin{align}#1\end{align}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}#1\end{aligned}}
\def\Gather#1{\begin{gather}#1\end{gather}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}#1\end{gathered}}
\def\Multline#1{\begin{multline}#1\end{multline}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\bn{{\boldsymbol n}}
\def\bJ{{\boldsymbol J}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\eff{{\rm eff}}
\def\const{{\rm \,const\,}}

\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.3truecm> [0.1,0.3] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\begin{document}

\centerline{\bf Лекция~14}
\centerline{\bf $O(N)$-модель: интегрируемость и точная $S$-матрица}
\bigskip
Рассмотрим $O(N)$-модель с действием
$$
S[\bn,\omega]
={1\over2g}\int d^2x\,((\d_\mu\bn)^2-\omega(\bn^2-1))
$$
и классическими уравнениями движения:
$$
\d^\mu\d_\mu\bn+\omega\bn=0,
\qquad
\bn^2=1.
$$
В координатах светового конуса $z$, $\bz$ имеем для действия
\eq{
S[\bn,\omega]
=-{1\over g}\int dz\,d\bz\,
\left(\d\bn\bd\bn+{\omega\over4}(\bn^2-1)\right),
\label{ONaction}
}
а для уравнений
\eq{
4\d\bd\bn=\omega\bn.
\label{ONeqmotion}
}
Действие (\ref{ONaction}) инвариантно относительно {\it
псевдоконформных\/} преобразований
\eq{
z\to f_1(z),
\qquad
\bz\to f_2(\bz),
\qquad
\omega\to{\omega\over f'_1(z)f'_2(\bz)}.
\label{pseudoconformal}
}
Преобразования включают в себя масштабное преобразование, для которого
$$
f_1(z)=\lambda z,
\qquad
f_2(\bz)=\lambda\bz,
$$
и преобразование инверсии
$$
f_1(z)=1/z,
\qquad
f_2(\bz)=1/\bz.
$$

При переходе к эвклидову пространству трансляции, масштабное преобразование и инверсия образуют глобальную конформную группу, состоящую из конформных преобразований, взаимоно-однозначных на сфере $\C\cup\{\infty\}$. Локальные конформные преобразования, то есть преобразования, взаимно-однозначные только на каких-то областях, даются в этом случае произвольными аналитическими функциями $f(z)\equiv f_1(z)=\overline{f_2(\bz)}$.

Ну, а пока продолжим рассмотрение в пространстве Минковского. Тензор энергии-импульса имеет вид
$$
T_{zz}={1\over g}(\d\bn)^2,
\qquad
T_{\bz\bz}={1\over g}(\bd\bn)^2,
\qquad
T_{z\bz}=T_{\bz z}=-{\omega\over4g}(\bn^2-1).
$$
На уравнениях движения компоненты $T_{z\bz}$, $T_{\bz z}$ обращаются в
нуль, т.~е.\ $T^\mu_\mu=0$, что выражает масштабную инвариантность
модели. Сохранение энергии-импульса записывается в виде
\eq{
\bd(\d\bn)^2=0,
\qquad
\d(\bd\bn)^2=0.
\label{im1classical}
}
В большинстве случаев энергия и импульс составляют единственные локальные
интегралы движения, однако в случае $O(N)$-модели это не так. Нетрудно
получить соотношение
\eq{
4\bd(\d^2\bn)^2
=\d(\omega(\d\bn)^2)-3\d\omega(\d\bn)^2,
\qquad
4\d(\bd^2\bn)^2
=\bd(\omega(\bd\bn)^2)-3\bd\omega(\bd\bn)^2.
\label{im2classical}
}
Сейчас мы покажем, что это уравнение означает существование
дополнителного интеграла движения. Поскольку $(\d\bn)^2$ сохраняется,
с помощью псевдоконформного преобразования $z=f_1(z')$, такого что
$$
dz'=\left|\d\bn\over\d z\right|dz,
$$
можно добиться того, чтобы в новых координатах было
$$
(\d\bn)^2=1.
$$
Тогда (\ref{im2classical}) преобразуется к виду уравнения непрерывности
$$
\bd(\d\d\bn)^2=\d(2\d\bn\bd\bn).
$$
На самом деле (хотя это непросто показать) в модели имеется бесконечное
число интегралов движения.

Мы знаем, что в квантовом случае (псевдо)конформная инвариантность
модели нарушается, так как поле $\omega$ преобретает ненулевое среднее
значение. Поэтому рассуждения с конформными преобразованиями теряют
силу. В квантовом случае в уравнениях, из которых следуют законы
сохранения, должны возникать аномалии. Аномальные члены не должны
нарушать масштабную инвариантность уравнений, в которые переходят
законы сохранения. Поэтому, например, в правой части закона сохранения
энергии-импульса допустим только один аномальный член, сводящийся к
полной производной:
\eq{
\bd(\d\bn)^2=-\beta\d\omega.
\label{im1anomaly}
}
Для квадрата тензора энергии-импульса аномальный член уже не будет
полной производной:
\eq{
\bd(\d\bn)^4=-(2\beta+\alpha')(\d\bn)^2\d\omega+\d(\ldots).
\label{im12anomaly}
}
То же самое для (\ref{im2classical}):
\eq{
\bd(\d^2\bn)^2=-(3+\alpha)(\d\bn)^2\d\omega+\d(\ldots).
\label{im2anomaly}
}
Из этих трех уравнений можно составить один закон сохранения:
\eq{
\bd\left(
(\d^2\bn)^2-{3+\alpha\over2\beta+\alpha'}(\d\bn)^4
\right)=\d(\ldots).
\label{im2quantum}
}
Итак, имеется по крайней мере два интеграла движения спина 1 и 3:
\eq{
I_1=\int dz{1\over2}(\d\bn)^2,
\qquad
I_3=\int dz\left(
{1\over2}(\d^2\bn)^2-{3+\alpha\over2(2\beta+\alpha')}(\d\bn)^4
\right).
\label{ims}
}
Эти интегралы удовлетворяют уравнению $\bd I_s=0$. Интегралы $I_{-1}$,
$I_{-3}$, удовлетворяющие уравнению $\d I_{-s}=0$, можно получить
заменой $z\leftrightarrow\bz$. При переходе к обычным координатам $x,t$
и те, и другие величины остаются интегралами движения.

Доказать существование бесконечного набора интегралов движения нечетных
спинов можно, но сложно. Но уже из существования второго интеграла
движения можно заключить невозможность множественного рождения частиц
в столкновениях двух частиц.

Пусть $|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle$ --- асимптотическое состояние
из $n$ частиц с быстротами $\theta_1,\ldots,\theta_n$. Пользуясь тем,
что $p_z=me^\theta$, $p_\bz=me^{-\theta}$, нетрудно проверить, что
$$
\Aligned{
I_{\pm1}|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle
&=\const\sum^n_{i=1}me^{\mp\theta_i}|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle,
\\
I_{\pm3}|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle
&=\const\sum^n_{i=1}m^3e^{\mp3\theta_i}|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle.
}
$$
Отсюда получаем четыре уравнения для рассеяния двух частиц в $n$ частиц:
$$
e^{-s\theta_1}+e^{-s\theta_2}
=\sum^n_{i=1}e^{-s\theta'_i}
\qquad(s=-3,-1,1,3).
$$
Если зафиксировать быстроты частиц в конечном состоянии, то будет четыре
уравнения для двух неизвестных. Эти уравнения могут иметь решения только при
специальных значениях конечных быстрот $\theta'_1,\ldots,\theta'_n$. Но
из аналитичности амплитуд следует, что амплитуды таких процессов должны
быть тождественно равны нулю. Единственным исключением является случай
$n=2$, когда в амплитудах могут быть $\delta$-функции, отвечающие
граничным значениям полюсов вне массовой поверхности.

В общем случае имеем
$$
I_s|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle
=\const\sum^n_{i=1}e^{-s\theta_i}|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle.
$$
Отсюда следует, что модель допускает только рассеяния $n$ частиц в $n$,
причем частицы могут только обмениваться импульсами.

Теперь сделаем важное

{\itshape{\bfseries Предположение факторизованного рассеяния.} Амплитуда
рассеяния $n$ частиц в $n$ распадается в произведение всех попарных
амплитуд рассеяний в любом порядке с суммированием по внутренним
состояниям промежуточных частиц.}

Графически это предположение можно изобразить так:
\eq{
\vcenter{
\font\thinlinefont=cmr5
%
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1.04987cm,1.04987cm>
\unitlength=1.04987cm
\linethickness=1pt
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})
\setlinear
\linethickness= 0.500pt
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})
\ellipticalarc axes ratio  0.900:0.900  360 degrees 
	from  2.805 24.765 center at  1.905 24.765
\plot  0.572 23.241  1.333 24.098 /
\plot  3.524 26.099  2.667 25.241 /
\plot  1.333 23.241  1.715 23.908 /
\plot  2.953 26.003  2.572 25.337 /
\plot  2.000 23.241  1.810 23.908 /
\plot  1.238 26.099  1.429 25.527 /
\plot  0.286 26.099  1.143 25.337 /
\plot  3.334 23.336  2.477 24.098 /
\put{$p_1$} [lB] at  0.476 22.765
\put{$p_2$} [lB] at  1.238 22.765
\put{$p_3$} [lB] at  2.095 22.955
\put{$p_4$} [lB] at  3.524 23.241
\put{$p_1$} [lB] at  3.620 26.099
\put{$p_2$} [lB] at  2.953 26.194
\put{$p_3$} [lB] at  1.048 26.194
\put{$p_4$} [lB] at  0.286 26.194
\linethickness=0pt
\putrectangle corners at  0.260 26.499 and  3.619 22.650
\endpicture
}
\quad=\quad
\vcenter{
\font\thinlinefont=cmr5
%
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1.04987cm,1.04987cm>
\unitlength=1.04987cm
\linethickness=1pt
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})
\setlinear
\linethickness= 0.500pt
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})
\plot  0.572 23.241  3.524 26.099 /
\plot  0.286 26.099  3.334 23.336 /
\plot  1.238 26.099  2.000 23.241 /
\plot  1.333 23.241  2.953 26.003 /
\put{$p_1$} [lB] at  0.476 22.765
\put{$p_2$} [lB] at  1.238 22.765
\put{$p_3$} [lB] at  2.095 22.955
\put{$p_4$} [lB] at  3.524 23.241
\put{$p_1$} [lB] at  3.620 26.099
\put{$p_2$} [lB] at  2.953 26.194
\put{$p_3$} [lB] at  1.048 26.194
\put{$p_4$} [lB] at  0.286 26.194
\linethickness=0pt
\putrectangle corners at  0.260 26.499 and  3.619 22.650
\endpicture
}
\label{factscat}
}
В принципе, гипотезу факторизованного рассеяния можно проверять в
диаграммной технике порядок за порядком по $1/N$. Можно воспользоваться
следующими качественными рассуждениями. Предположим, что имеется
конечный радиус взаимодействия частиц $R$, за пределами которого
виртуальные частицы почти не рождаются. Это значит, что если
$|x_i-x_j|\gg R$ ($\forall i,j$), то волновая функция почти не
отличается от волновой функции $n$ свободных частиц. Благодаря
существованию $I_{\pm3}$ парное рассеяние частиц можно свести к
прохождению частиц друг через друга с изменением внутренних состояний.
Поэтому можно выбрать базис волновых функций без всяких отраженных волн.
Пусть $\sigma$, $\tau$ --- перестановки чисел $1,\ldots,n$. Тогда система $n$
бозонов будет описываться волновой функцией
\eq{
\psi^{\alpha_1\ldots\alpha_n}_{p_1\ldots p_n}(x_1,\ldots,x_n)
=\sum_{\tau}
A^{\alpha_{\tau_1}\ldots\alpha_{\tau_n}}
_{p_{\tau_1}\ldots p_{\tau_n}}[\sigma]
\prod^n_{i=1}|\alpha_{\tau_i}\rangle_{\sigma_i}
e^{ip_{\tau_i}x_{\sigma_i}}
\quad
\text{при}\quad
x_{\sigma_1}<\ldots<x_{\sigma_n},
\quad
|x_i-x_j|\gg R.
}
Пусть $\sigma'$ отличается от $\sigma$ перестановкой двуй элементов
$\sigma_i$ и $\sigma_{i+1}$. Тогда
\eq{
A^{\alpha_1\ldots\alpha_i\alpha_{i+1}\ldots\alpha_n}
_{p_1\ldots p_ip_{i+1}\ldots p_n}[\sigma]
=\sum_{\alpha'_i\alpha'_{i+1}}
S^{\alpha_i\alpha_{i+1}}_{\alpha'_i\alpha'_{i+1}}(p_i,p_{i+1})
A^{\alpha_1\ldots\alpha'_{i+1}\alpha'_i\ldots\alpha_n}
_{p_1\ldots p_{i+1}p_i\ldots p_n}[\sigma'].
\label{Arelation}
}

Пусть теперь перестановка $\sigma'$ отличается от $\sigma$ порядком трех
последовательных элементов, например,
$\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\to\sigma_3,\sigma_2,\sigma_1$. Переход от
$\sigma=\sigma_{123}$ к $\sigma'=\sigma_{321}$ можно выполнить двумя
способами:
$$
\Matrix{
            &        &\sigma_{213}&\to&\sigma_{231}&        &\\
            &\nearrow&            &   &            &\searrow&\\
\sigma_{123}&        &            &   &            &        &\sigma_{321}.\\
            &\searrow&            &   &            &\nearrow&\\
            &        &\sigma_{132}&\to&\sigma_{312}&        &
}
$$
Первый способ приводит к соотношению
\eq{
A^{p_1p_2p_3\ldots}_{\alpha_1\alpha_2\alpha_3\ldots}[\sigma]
=\sum_{\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3}
S^{\alpha_1\alpha_2}_{\gamma_1\gamma_2}(p_1,p_2)
S^{\gamma_1\alpha_3}_{\beta_1\gamma_3}(p_1,p_3)
S^{\gamma_2\gamma_3}_{\beta_2\beta_3}(p_2,p_3)
A^{p_3p_2p_1\ldots}_{\beta_3\beta_2\beta_1\ldots}[\sigma'].
\label{rel1}
}
Проще это записать в матричном виде
$$
A^{p_1p_2p_3\ldots}_{123\ldots}[\sigma]
=S_{12}(p_1,p_2)S_{13}(p_1,p_3)S_{23}(p_2,p_3)
A^{p_3p_2p_1\ldots}_{321\ldots}[\sigma'],
$$
где индексы $1,2,3$ указывают номер пространства, на которое действуют
матрицы или в котором живут векторы. Еще удобней это изобразить
графически
$$
\sum_{\text{внутренние линии}}
\quad
\vcenter{
\font\thinlinefont=cmr5
%
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1.04987cm,1.04987cm>
\unitlength=1.04987cm
\linethickness=1pt
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})
\setlinear
\linethickness= 0.500pt
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})
\plot  0.381 24.289  2.286 26.480 /
\plot  2.167 26.246  2.286 26.480  2.071 26.329 /
\plot  2.286 24.289  0.381 26.480 /
\plot  0.596 26.329  0.381 26.480  0.500 26.246 /
\putrule from  0.953 24.289 to  0.953 26.480
\plot  1.016 26.226  0.953 26.480  0.889 26.226 /
\put{$\alpha_3$} [lB] at  1.905 25.718
\put{$\alpha_2$} [lB] at  1.143 26.194
\put{$\alpha_1$} [lB] at  0.286 26.003
\put{$p_3$} [lB] at  0.191 23.908
\put{$p_2$} [lB] at  0.853 23.908
\put{$p_1$} [lB] at  2.286 23.908
\put{$\beta_1$} [lB] at  2.100 24.765
\put{$\beta_2$} [lB] at  1.048 24.384
\put{$\beta_3$} [lB] at  0.191 24.575
\put{$\gamma_1$} [lB] at  1.138 25.722
\put{$\gamma_2$} [lB] at  0.572 25.241
\put{$\gamma_3$} [lB] at  1.143 24.860
\linethickness=0pt
\putrectangle corners at  0.191 26.505 and  2.311 23.823
\endpicture
}
$$
Второй способ приводит другому соотношению
\eq{
A^{p_1p_2p_3\ldots}_{\alpha_1\alpha_2\alpha_3\ldots}[\sigma]
=\sum_{\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3}
S^{\alpha_2\alpha_3}_{\gamma_2\gamma_3}(p_2,p_3)
S^{\alpha_1\gamma_3}_{\gamma_1\beta_3}(p_1,p_3)
S^{\gamma_1\gamma_2}_{\beta_1\beta_2}(p_1,p_2)
A^{p_3p_2p_1\ldots}_{\beta_3\beta_2\beta_1\ldots}[\sigma'],
\label{rel2}
}
или проще
$$
A^{p_1p_2p_3\ldots}_{123\ldots}[\sigma]
=S_{23}(p_2,p_3)S_{13}(p_1,p_3)S_{12}(p_1,p_2)
A^{p_3p_2p_1\ldots}_{321\ldots}[\sigma'],
$$
или графически
$$
\sum_{\text{внутренние линии}}
\quad
\vcenter{
\font\thinlinefont=cmr5
%
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1.04987cm,1.04987cm>
\unitlength=1.04987cm
\linethickness=1pt
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})
\setlinear
\linethickness= 0.500pt
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})
\plot  0.381 24.289  2.286 26.480 /
\plot  2.167 26.246  2.286 26.480  2.071 26.329 /
\plot  2.286 24.289  0.381 26.480 /
\plot  0.596 26.329  0.381 26.480  0.500 26.246 /
\putrule from  1.715 24.194 to  1.715 26.384
\plot  1.778 26.130  1.715 26.384  1.651 26.130 /
\put{$p_3$} [lB] at  0.191 23.908
\put{$p_2$} [lB] at  1.619 23.908
\put{$p_1$} [lB] at  2.286 23.908
\put{$\gamma_2$} [lB] at  1.810 25.241
\put{$\beta_2$} [lB] at  1.294 24.384
\put{$\alpha_2$} [lB] at  1.254 26.194
\put{$\beta_3$} [lB] at  0.381 24.765
\put{$\alpha_1$} [lB] at  0.476 25.813
\put{$\alpha_3$} [lB] at  2.000 25.908
\put{$\beta_1$} [lB] at  2.195 24.575
\put{$\gamma_3$} [lB] at  1.334 24.860
\put{$\gamma_1$} [lB] at  1.238 25.718
\linethickness=0pt
\putrectangle corners at  0.191 26.505 and  2.311 23.823
\endpicture
}
$$
Условие того, что (\ref{rel1}) и (\ref{rel2}) приводят к одинаковому
соотношению, называется {\it уравнением Янга--Бакстера\/} и записывается
в виде
\eq{
\sum_{\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3}
S^{\alpha_1\alpha_2}_{\gamma_1\gamma_2}(p_1,p_2)
S^{\gamma_1\alpha_3}_{\beta_1\gamma_3}(p_1,p_3)
S^{\gamma_2\gamma_3}_{\beta_2\beta_3}(p_2,p_3)
=
\sum_{\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3}
S^{\alpha_2\alpha_3}_{\gamma_2\gamma_3}(p_2,p_3)
S^{\alpha_1\gamma_3}_{\gamma_1\beta_3}(p_1,p_3)
S^{\gamma_1\gamma_2}_{\beta_1\beta_2}(p_1,p_2),
\label{YBlong}
}
или более кратко
\eq{
S_{12}(p_1,p_2)S_{13}(p_1,p_3)S_{23}(p_2,p_3)
=S_{23}(p_2,p_3)S_{13}(p_1,p_3)S_{12}(p_1,p_2),
\label{YB}
}
или графически
\eq{
\vcenter{
\font\thinlinefont=cmr5
%
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1.04987cm,1.04987cm>
\unitlength=1.04987cm
\linethickness=1pt
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})
\setlinear
\linethickness= 0.500pt
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})
\plot  0.381 24.289  2.286 26.480 /
\plot  2.167 26.246  2.286 26.480  2.071 26.329 /
\plot  2.286 24.289  0.381 26.480 /
\plot  0.596 26.329  0.381 26.480  0.500 26.246 /
\putrule from  0.953 24.289 to  0.953 26.480
\plot  1.016 26.226  0.953 26.480  0.889 26.226 /
\put{$\alpha_3$} [lB] at  1.905 25.718
\put{$\alpha_2$} [lB] at  1.093 26.194
\put{$\alpha_1$} [lB] at  0.286 26.003
\put{$p_3$} [lB] at  0.191 23.908
\put{$p_2$} [lB] at  0.853 23.908
\put{$p_1$} [lB] at  2.286 23.908
\put{$\beta_1$} [lB] at  2.100 24.765
\put{$\beta_2$} [lB] at  1.048 24.384
\put{$\beta_3$} [lB] at  0.191 24.575
\linethickness=0pt
\putrectangle corners at  0.191 26.505 and  2.311 23.823
\endpicture
}
\quad=\quad
\vcenter{
\font\thinlinefont=cmr5
%
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1.04987cm,1.04987cm>
\unitlength=1.04987cm
\linethickness=1pt
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})
\setlinear
\linethickness= 0.500pt
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})
\plot  0.381 24.289  2.286 26.480 /
\plot  2.167 26.246  2.286 26.480  2.071 26.329 /
\plot  2.286 24.289  0.381 26.480 /
\plot  0.596 26.329  0.381 26.480  0.500 26.246 /
\putrule from  1.715 24.194 to  1.715 26.384
\plot  1.778 26.130  1.715 26.384  1.651 26.130 /
\put{$p_3$} [lB] at  0.191 23.908
\put{$p_2$} [lB] at  1.619 23.908
\put{$p_1$} [lB] at  2.286 23.908
\put{$\beta_2$} [lB] at  1.304 24.384
\put{$\alpha_2$} [lB] at  1.254 26.194
\put{$\beta_3$} [lB] at  0.381 24.765
\put{$\alpha_1$} [lB] at  0.476 25.813
\put{$\alpha_3$} [lB] at  2.000 25.908
\put{$\beta_1$} [lB] at  2.195 24.575
\linethickness=0pt
\putrectangle corners at  0.191 26.505 and  2.311 23.823
\endpicture
}
\label{YBgraph}
}
Два графика на (\ref{YBgraph}) отличаются положением одной из линий
(например, второй). В первом графике она слева от вершины, где
пересекаются первая и третья частицы, а во втором --- справа. Иными
словами, уравнение Янга--Бакстера выражает условие того, что линии в
(\ref{factscat}) можно как угодно смещать, пронося через вершины. Иными
словами, неважно, в каком порядке мы будем рассматривать попарные
рассеяния частиц: в любом случае мы получим один и тот же ответ.

Второе условие на $S$-матрицу более элементарно. Вернемся к соотношению
(\ref{Arelation}). Понятно, что если мы дважды переставим два
последовательных индекса в $A[\sigma]$, т.~е.\ произведем преобразования
$$
\sigma_{12}\to\sigma_{21}\to\sigma_{12},
$$
то мы должны получить тождественное преобразование. Отсюда следует {\it
условие унитарности}
\eq{
S^{\alpha_1\alpha_2}_{\gamma_1\gamma_2}(p_1,p_2)
S^{\gamma_2\gamma_1}_{\beta_2\beta_1}(p_2,p_1)
=\delta^{\alpha_1}_{\beta_1}\delta^{\alpha_2}_{\beta_2},
\label{unitarity-long}
}
или
\eq{
S_{12}(p_1,p_2)S_{21}(p_2,p_1)=1,
\label{unitarity}
}
или
\eq{
\vcenter{
\font\thinlinefont=cmr5
%
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1.04987cm,1.04987cm>
\unitlength=1.04987cm
\linethickness=1pt
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})
\setlinear
\linethickness= 0.500pt
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})
\plot  1.102 26.167  1.334 26.289  1.072 26.290 /
\circulararc 152.319 degrees from  1.334 26.289 center at  1.603 25.194
\plot  0.546 26.317  0.286 26.289  0.529 26.191 /
\circulararc 164.159 degrees from  0.286 24.098 center at  0.133 25.194
\put{$\alpha_1$} [cB] at  0.386 26.484
\put{$\alpha_2$} [cB] at  1.338 26.484
\put{$\beta_1$} [cB] at  0.386 23.717
\put{$\beta_2$} [cB] at  1.338 23.717
\linethickness=0pt
\putrectangle corners at  0.269 26.607 and  1.350 23.717
\endpicture
}
\quad=\quad
\vcenter{
\font\thinlinefont=cmr5
%
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1.04987cm,1.04987cm>
\unitlength=1.04987cm
\linethickness=1pt
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})
\setlinear
\linethickness= 0.500pt
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})
\putrule from  0.286 24.098 to  0.286 26.289
\plot  0.349 26.035  0.286 26.289  0.222 26.035 /
\putrule from  1.333 24.098 to  1.333 26.289
\plot  1.397 26.035  1.334 26.289  1.270 26.035 /
\put{$\alpha_1$} [cB] at  0.386 26.484
\put{$\alpha_2$} [cB] at  1.338 26.484
\put{$\beta_1$} [cB] at  0.386 23.717
\put{$\beta_2$} [cB] at  1.338 23.717
\linethickness=0pt
\putrectangle corners at  0.197 26.607 and  1.422 23.717
\endpicture
}
\label{unitarity-graph}
}

Последнее условие {\it кроссинг-инвариантности\/} верно только в
релятивистской теории. Его естественно сразу записать графически:
\eq{
\vcenter{
\font\thinlinefont=cmr5
%
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1.04987cm,1.04987cm>
\unitlength=1.04987cm
\linethickness=1pt
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})
\setlinear
\linethickness= 0.500pt
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})
\plot  0.476 24.765  1.905 26.194 /
\plot  1.770 25.969  1.905 26.194  1.680 26.059 /
\plot  1.905 24.765  0.476 26.194 /
\plot  0.701 26.059  0.476 26.194  0.611 25.969 /
\put{$p_1$} [lB] at  2.000 24.479
\put{$p_2$} [lB] at  0.286 24.479
\put{$\alpha_1$} [lB] at  0.286 25.813
\put{$\alpha_2$} [lB] at  1.810 25.718
\put{$\beta_1$} [lB] at  1.810 24.955
\put{$\beta_2$} [lB] at  0.286 25.051
\put{$\phantom{-p_1}$} [lB] at  0.191 26.384
\linethickness=0pt
\putrectangle corners at  0.286 26.219 and  2.000 24.395
\endpicture
}
\quad=\quad
\vcenter{
\font\thinlinefont=cmr5
%
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1.04987cm,1.04987cm>
\unitlength=1.04987cm
\linethickness=1pt
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})
\setlinear
\linethickness= 0.500pt
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})
\plot  0.476 24.765  1.905 26.194 /
\plot  1.770 25.969  1.905 26.194  1.680 26.059 /
\plot  0.476 26.194  1.905 24.765 /
\plot  1.680 24.900  1.905 24.765  1.770 24.990 /
\put{$p_2$} [lB] at  0.286 24.479
\put{$\bar\alpha_1$} [lB] at  0.286 25.813
\put{$\alpha_2$} [lB] at  1.810 25.718
\put{$\bar\beta_1$} [lB] at  1.810 24.955
\put{$\beta_2$} [lB] at  0.286 25.051
\put{$-p_1$} [lB] at  0.191 26.384
\linethickness=0pt
\putrectangle corners at  0.191 26.613 and  1.930 24.395
\endpicture
}
\label{cross-graph}
}
Здесь импульсы $p_1$ и $p_2$ понимаются как пространственно-временные
импульсы, черта над индексом внутреннего состояния частицы изображает
античастицу. Формульно это записывается так
\eq{
S^{\alpha_1\alpha_2}_{\beta_1\beta_2}(p_1,p_2)
=S^{\alpha_2\bar\beta_1}_{\beta_2\bar\alpha_1}(p_2,-p_1).
}

Если выразить импульсы через быстроты, получим:

\noindent{\it 1.~Уравнение Янга--Бакстера}
\eq{
S_{12}(\theta_1-\theta_2)S_{13}(\theta_1-\theta_3)S_{23}(\theta_2-\theta_3)
=S_{23}(\theta_2-\theta_3)S_{13}(\theta_1-\theta_3)S_{12}(\theta_1-\theta_2)
\label{YBtheta}
}
{\it 2.~Унитарность}
\eq{
S_{12}(\theta)S_{21}(-\theta)=1
\label{unitarity-theta}
}
{\it 3.~Кроссинг-симметрия}
\eq{
S^{\alpha_1\alpha_2}_{\beta_1\beta_2}(\theta)
=S^{\alpha_2\bar\beta_1}_{\beta_2\bar\alpha_1}(i\pi-\theta)
\label{cross-theta}
}

Условия {\it бутстрапа\/} (\ref{YBtheta}--\ref{cross-theta})
чрезвычайно ограничительны. Вместе с симметрией модели и условиями
аналитичности они позволяют найти точное выражение для $S$-матрицы.
Рассмотрим условия аналитичности. $S$-матрица является мероморфной
функцией $\theta$. Физическому листу отвечает область
\eq{
0\le\Im\theta<\pi,
\label{physsheet}
}
причем точка $\theta=i\pi$ отвечает точке ветвления $s=(m_1-m_2)^2$ по
переменной
$$
s=m_1^2+m_2^2+2m_1m_2\ch\theta,
$$
а точке $\theta=0$ отвечает точка $s=(m_1+m_2)^2$. Линии
$\Im\theta=\pi$ отвечает в плоскости $s$ левый разрез
$(-\infty,(m_1-m_2)^2]$, а линии $\Im\theta=0$ --- правый разрез
$[(m_1+m_2)^2,\infty)$.

На мнимой оси $S$-матрица вещественна:
\eq{
S(iu)\in\R\qquad\text{при}\quad u\in\R,
\label{reality}
}
причем все полюсы $S$-матрицы на физическом листе находятся на мнимой
оси. Части этих полюсов отвечают связанные состояния, однако чтобы
установить, отвечает ли данный полюс связанному состоянию, обычно
требуется дополнительное исследование.

Давайте решим уравнение Янга--Бакстера для $O(N)$-симметричной
($N\ge3$) $S$-матрицы $N\times N$ вида~[1]
\eq{
S^{i'j'}_{ij}(\theta)
=\delta_{i'j'}\delta_{ij}S_1(\theta)
+\delta_{i'i}\delta_{j'j}S_2(\theta)
+\delta_{j'i}\delta_{i'j}S_3(\theta).
\label{S1S2S3}
}
Уравнение Янга--Бакстера для нее приобретает вид
\Align{
\span
S_2(\theta)S_3(\theta+\theta')S_3(\theta')
+S_3(\theta)S_3(\theta+\theta')S_2(\theta')
=S_3(\theta)S_2(\theta+\theta')S_3(\theta'),
\label{yb1}
\\
\span
S_2(\theta)S_1(\theta+\theta')S_1(\theta')
+S_3(\theta)S_2(\theta+\theta')S_1(\theta')
=S_3(\theta)S_1(\theta+\theta')S_2(\theta'),
\label{yb2}
\\
&NS_1(\theta)S_3(\theta+\theta')S_1(\theta')
+S_1(\theta)S_3(\theta+\theta')S_2(\theta')
+S_1(\theta)S_3(\theta+\theta')S_3(\theta')
+S_1(\theta)S_2(\theta+\theta')S_1(\theta')
\nonumber
\\
&\qquad
+S_2(\theta)S_3(\theta+\theta')S_1(\theta')
+S_3(\theta)S_3(\theta+\theta')S_1(\theta')
+S_1(\theta)S_1(\theta+\theta')S_1(\theta')
=S_3(\theta)S_1(\theta+\theta')S_3(\theta').
\label{yb3}
}
Чтобы решить эту систему, введем обозначение
$h(\theta)=S_2(\theta)/S_3(\theta)$. Первое уравнение принимает вид
$$
h(\theta)+h(\theta')=h(\theta+\theta').
$$
Следовательно $h(\theta)\sim\theta$ и
\eq{
S_3(\theta)=-i{\lambda\over\theta}S_2(\theta).
\label{S32ratio}
}
Пусть теперь $g(\theta)=S_2(\theta)/S_1(\theta)$. Подставляя
(\ref{S32ratio}) в (\ref{yb2}), получаем
$$
g(\theta+\theta')-g(\theta')
={\theta\over i\lambda}.
$$
Это уравнение имеет решение
$$
g(\theta)={\theta-i\kappa\over i\lambda}.
$$
Подставляя это в (\ref{yb3}), получим
$$
\kappa=i{N-2\over2}\lambda.
$$
Это значит, что
\eq{
S_1(\theta)=-{i\lambda\over i(N-2)\lambda/2-\theta}S_2(\theta).
\label{S12ratio}
}
Это самое общее решение уравнения Янга--Бакстера, зависящее от
произвольной функции $S_2(\theta)$ и произвольного параметра $\lambda$.
Воспользуемся теперь условиями кроссинг-инвариантности и унитарности,
чтобы зафиксировать $S_2$ и $\lambda$.

Условие кроссинг-симметрии имеет вид
\Align{
S_2(\theta)
&=S_2(i\pi-\theta),
\label{cross22}
\\
S_1(\theta)
&=S_3(i\pi-\theta).
\label{cross13}
}
Подставляя сюда (\ref{S32ratio}) и (\ref{S12ratio}), получаем
\eq{
\lambda={2\pi\over N-2}.
\label{lambdavalue}
}
Условие унитарности
\Align{
\span
S_2(\theta)S_2(-\theta)+S_3(\theta)S_3(-\theta)=1,
\label{unit1}
\\
\span
S_2(\theta)S_3(-\theta)+S_3(\theta)S_2(-\theta)=0,
\label{unit2}
\\
&NS_1(\theta)S_1(-\theta)
+S_1(\theta)S_2(-\theta)
+S_1(\theta)S_3(-\theta)
\nonumber
\\
&\qquad
+S_2(\theta)S_1(-\theta)
+S_3(\theta)S_1(-\theta)
=0
\label{unit3}
}
удовлетворяется, если
\eq{
S_2(\theta)S_2(-\theta)={\theta^2\over\theta^2+\lambda^2}.
\label{unit22}
}
Теперь нам надо решить совместно уравнения (\ref{cross22}) и
(\ref{unit22}). Понятно, что решение этих уравнений неоднозначно.
Решение переходит в решение, если домножить его на функцию
$$
{\sh\theta+i\sin\alpha\over\sh\theta-i\sin\alpha}
$$
с произвольным $\alpha$. Мы будем искать <<минимальное>> решение, то
есть такое решение, которое будет иметь наименьшее количество нулей и
полюсов на физическом листе.

Из (\ref{unit22}) заключаем, что $S_2(\theta)$ имеет простой нуль в точке
$\theta=0$. Из кроссинг-симметрии (\ref{cross22}) немедленно заключаем,
что простой нуль имеется также в точке $\theta=i\pi$. Из унитарности
находим, что в точке $\theta=-i\pi$ имеется полюс. Продолжая поочередно
применять кроссинг-симметрию и унитарность, находим набор полюсов и
нулей функции $S_2(\theta)$:
\eq{
\Aligned{{}
&\text{Нули:}\quad
&&\theta=-2\pi in,i\pi+2\pi in\quad&&(n=0,1,2,\ldots),
\\
&\text{Полюсы:}\quad
&&\theta=-i\pi-2\pi in,2\pi i+2\pi in\quad&&(n=0,1,2,\ldots).
}\label{zp1}
}
Другой набор нулей и полюсов получается следующим образом. Из
(\ref{unit22}) следует, что $S_2$ должна иметь полюс в одной из точек
$\theta=\mp\lambda$. Давайте обозначать решения с такими полюсами
$S^{(\pm)}_2(\theta)$. Рассуждая как и раньше, получим для
$S^{(\pm)}_2(\theta)$
\eq{
\Aligned{{}
&\text{Нули:}\quad
&&\theta=\mp i\lambda-2\pi in,\pm i\lambda+i\pi+2\pi in\quad
&&(n=0,1,2,\ldots),
\\
&\text{Полюсы:}\quad
&&\theta=\mp i\lambda-i\pi-2\pi in,\pm i\lambda+2\pi i+2\pi in\quad
&&(n=0,1,2,\ldots).
}\label{zp2}
}
Собирая (\ref{zp1}), (\ref{zp2}), получим
\eq{
S^{(\pm)}_2(\theta)
=Q^{(\pm)}(\theta)Q^{(\pm)}(i\pi-\theta),
\qquad
Q^{(\pm)}(\theta)
={\Gamma\left(\pm{\lambda\over2\pi}-i{\theta\over2\pi}\right)
\Gamma\left({1\over2}-i{\theta\over2\pi}\right)
\over
\Gamma\left({1\over2}\pm{\lambda\over2\pi}-i{\theta\over2\pi}\right)
\Gamma\left(-i{\theta\over2\pi}\right)}.
\label{S2pm}
}
Раскладывая $S$-матрицу (\ref{S32ratio}), (\ref{S12ratio}), (\ref{S2pm})
с учетом (\ref{lambdavalue}) по $1/N$, получаем
\Align{
S^{(\pm)}_1(\theta)
&=-{2\pi i\over N(i\pi-\theta)},
\label{S1expand}
\\
S^{(\pm)}_2(\theta)
&=1\mp{2\pi i\over N\sh\theta},
\label{S2expand}
\\
S^{(\pm)}_3(\theta)
&=-{2\pi i\over N\theta}.
\label{S3expand}
}
Это позволяет отождествить $S^{(+)}(\theta)$ с $S$-матрицей
$O(N)$-модели, а $S^{(-)}(\theta)$ с $S$-матрицей $N$-ком\-по\-нент\-ной
модели Невё--Шварца. Заметим, что
\eq{
S^{(\pm)}_{12}(0)=-P_{12},
\label{S0sign}
}
где $P_{12}:a\times b\mapsto b\times a$ --- оператор перестановки
пространств 1 и~2. Это означает, что для частиц действует принцип Паули,
хотя мы и считали частицы бозонами.

На самом деле в двумерном пространстве-времени нельзя сказать, является ли
частица бозоном или фермионом. Если говорить о спине, то мы знаем, что такое 
спин оператора, но не знаем, что такое спин состояния, так как в одномерном
пространстве нет вращений. Кроме того, в одном пространственном измерении есть
способ построения алгебры Клиффорда (фермионной алгебры) по алгебре Гайзенберга
(бозонной алгебре) и наоборот~[2]. Это преобразование уважает понятие частицы,
но меняет характер взаимодействия. Именно, матрица рассеяния частиц как
фермионов отличается от матрицы рассеяния тех же частиц как бозонов знаком.

\bigbreak
\leftline{\bf Литература}
[1]~A.~Zamolodchikov and Al.~Zamolodchikov, {\it Annals of Physics\/}
{\bf 120} (1979) 253.

[2]~М.~Сато, М.~Дзимбо, Т.~Мива, Голономные квантовые поля, М.,~<<Мир>>, 1983.


\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip
{\bf 1.}~Получите уравнение~(\ref{im2classical}).

{\bf 2.}~Выведите~(\ref{Arelation}).

{\bf 3.}~Выведите~(\ref{S1expand}--\ref{S3expand}).

{\bf 4.}~Покажите, что из~(\ref{S0sign}) следует принцип Паули для
бозонных частиц.

{\bf 5.}~Покажите, что матрица $4\times4$ вида
$$
S(\theta)
=\left(S^{\alpha_1\alpha_2}_{\beta_1\beta_2}(\theta)\right)
=\pMatrix{a(\theta)&&&\\
&b(\theta)&c(\theta)&\\
&c(\theta)&b(\theta)&\\
&&&a(\theta)}
$$
(индексы $\alpha_1\alpha_2$ упорядочены как $++,+-,-+,--$)
удовлетворяет уравнению Янга--Бакстера при
$$
{b(\theta)\over a(\theta)}
={\sh{\theta\over p}\over\sh{i\pi-\theta\over p}},
\qquad
{c(\theta)\over a(\theta)}
={\sh{i\pi\over p}\over\sh{i\pi-\theta\over p}}
$$
при произвольном $p$.

Такая $S$-матрица представляет собой $S$-матрицу рассеяния солитонов в
модели синус-Гордона с $\beta^2=2{p\over p+1}$ при подходящем
$a(\theta)$, таком что $a(0)=-1$. Покажите, что $a(\theta)$ должно
удовлетворять условиям
$$
a(\theta)={\sh{i\pi-\theta\over p}\over\sh{\theta\over p}}a(i\pi-\theta),
\qquad
a(\theta)a(-\theta)=1.
$$
Найдите все полюсы и нули этой функции при $p>1$ при условии, что она не
имеет особенностей на физическом листе.



\end{document}
