\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,pictex,russian,fullpage}
%\usepackage[notref]{showkeys}

\allowdisplaybreaks


% Back to Knuth's definitions
\makeatletter
\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\let\frac\undefined
\let\dfrac\undefined
\let\genfrac\undefined
\makeatother
% End 'Back...' section

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1{\begin{equation}#1\end{equation}}
\def\Align#1{\begin{align}#1\end{align}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}#1\end{aligned}}
\def\Gather#1{\begin{gather}#1\end{gather}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}#1\end{gathered}}
\def\Multline#1{\begin{multline}#1\end{multline}}
\def\Subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\i{{\rm i}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\vp{\varphi}
\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\arth{\mathop{\rm arth}\nolimits}
\def\arch{\mathop{\rm arch}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\Tr{\mathop{\rm Tr}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\diag{\mathop{\rm diag}\nolimits}
\def\sign{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\def\bzero{{\boldsymbol 0}}
\def\be{{\boldsymbol e}}
\def\bh{{\boldsymbol h}}
\def\bl{{\boldsymbol l}}
\def\bn{{\boldsymbol n}}
\def\bp{{\boldsymbol p}}
\def\br{{\boldsymbol r}}
\def\bk{{\boldsymbol k}}
\def\bH{{\boldsymbol H}}
\def\bN{{\boldsymbol N}}
\def\bR{{\boldsymbol R}}
\def\bS{{\boldsymbol S}}
\def\bJ{{\boldsymbol J}}
\def\bsigma{{\boldsymbol\sigma}}
\def\bvp{{\boldsymbol\varphi}}
\def\bpi{{\boldsymbol\pi}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\cA{{\cal A}}
\def\cD{{\cal D}}
\def\cH{{\cal H}}
\def\cL{{\cal L}}
\def\cM{{\cal M}}
\def\cO{{\cal O}}
\def\cS{{\cal S}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\trho{{\tilde\rho}}
\def\ta{{\tilde a}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\eff{{\rm eff}}
\def\const{{\rm \,const\,}}
\def\eF{{\epsilon_F}}
\def\Ech{{E_{\text{ch}}}}
\def\Esp{{E_{\text{sp}}}}
\def\Espel{{E_{\text{sp}}^{\text{el}}}}
\def\Eim{{E_{\text{im}}}}
\def\el{{\text{el}}}
\def\im{{\text{im}}}
\def\Gi{{\text{\sffamily Gi}}}
\def\qu{{\text{qu}}}
\def\kin{{\text{kin}}}

\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}
\def\llangle{\mathopen{\langle\!\langle}}
\def\rrangle{\mathclose{\rangle\!\rangle}}
\def\Biggllangle{\Biggl\langle\!\!\!\Biggl\langle}
\def\Biggrrangle{\Biggr\rangle\!\!\!\Biggr\rangle}

\def\aux{{\tilde1}}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.3truecm> [0.1,0.3] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
\def\mpicture#1#2\endmpicture{\quad\vcenter{\hbox{%
	\vphantom{\vrule height#1 depth#1}%
	\beginpicture
	\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
	#2
	\endpicture}}\quad}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\begin{document}


\begin{center}
{\bf ������~11}\\
{\bf ��������� �������� ������� � $O(3)$-������}
\end{center}

� ���� ������ �� ������ � �������� ������ ���� ���������� ��������� ���������, � �����������, ���������� ��������� �������. �� ������, ��� � ���������� ������ ��������� ��������� �����������, ������� �������� � ����, ��� ��� ������ ����������� �� ��� �������� ������ ���������������.

������ � ������ �������� ����� � ������� ��������������� ���������. ��� ��������, �������������� �������� ������ �������� � ����������������� �������, ��� ��� �������, ��� ����� �������� ��� ����� �� ����� ��������. � ����������������� �������� ����� $S\to\infty$ �� ������� ������� ������������ ��������, ������� ��������� �� � ����������� �����. ������� ������ � �������� ������������ �������. ������������� \textit{��������������� ��������--�������}:
\Gather{
S^a={1\over2}b^+\sigma^ib,
\qquad
b=\pMatrix{b_0\\b_1},
\qquad
b^+=\pMatrix{b^+_0&b^+_1},
\qquad
a=x,y,z,
\label{SWtrans}
\\
[b_\alpha,b_\beta]=[b^+_\alpha,b^+_\beta]=0,
\qquad
[b_\alpha,b^+_\beta]=\delta_{\alpha\beta}.
\label{balgebra}
}
��������� $S^i$ ����������� ��� ��������� �����:
\eq{
[S^a,S^b]=\epsilon^{abc}S^c.
\label{Scommut}
}
����� ������� �������������� ��������--������� ������������ ����� \textit{�����������} �������� ����������.

�������� ������ ������� �����. ��������� ������������
\eq{
\sigma^a_{\alpha\beta}\sigma^a_{\gamma\delta}
=2\delta_{\alpha\delta}\delta_{\beta\gamma}-\delta_{\alpha\beta}\delta_{\gamma\delta},
\label{sigmasigmaid}
}
������
\eq{
\bS^2={1\over4}(b^+b)(b^+b+2).
\label{bSbb}
}
������ ��������
$$
S(S+1)={N_b\over2}\left({N_b\over2}+1\right),
$$
��� $N_b$ --- ����� �������. ����� ������� ������� ����, ��� ���� ����� $S$ ����� ���
\eq{
b^+b=2S.
\label{bbS}
}
���������� ������ ��������� ������������� ������� �����������~(\ref{balgebra}) ���������. ������, ��� ������, � ���������� ��������� $|0\rangle$:
\eq{
b_\alpha|0\rangle=0.
\label{bvacuum}
}
�������� ����� ���������
$$
\Matrix{N_b=0&|0\rangle\\
\\
N_b=1&b_0^+|0\rangle\qquad b_1^+|0\rangle\\
\\
N_b=2&(b_0^+)^2|0\rangle\qquad b_0^+b_1^+|0\rangle\qquad(b_1^+)^2|0\rangle\\
\\
N_b=3&\qquad(b_0^+)^3|0\rangle\qquad(b_0^+)^2b_1^+|0\rangle\qquad b_0^+(b_1^+)^2|0\rangle\qquad
(b_1^+)^3|0\rangle\qquad\\
\\
&\leaders\hbox to1em{\strut\hss.\hss}\hfill}
$$
�� �����, ��� �� ������ ������ $N_b$ ��������������� ������������� $N_b+1$-�����. ������ ��������
� �����������
$$
S^z={1\over2}(b_0^+b_0-b_1^+b_1),
\qquad
S^+={1\over2}b_0^+b_1,
\qquad
S^-={1\over2}b_1^+b_0.
$$
������ ����� �����
\eq{
\Aligned{
S^+(b_0^+)^{N_b-k}(b_1^+)^k|0\rangle
&={k\over2}\,(b_0^+)^{N_b-k+1}(b_1^+)^{k-1}|0\rangle,
\\*
S_-(b_0^+)^{N_b-k}(b_1^+)^k|0\rangle
&={N-k\over2}\,(b_0^+)^{N+b-k-1}(b_1^+)^{k+1}|0\rangle,
\\*
S^z(b_0^+)^{N_b-k}(b_1^+)^k|0\rangle
&={N-2k\over2}\,(b_0^+)^{N_b-k}(b_1^+)^k|0\rangle.
}\label{Saction}
}

������ ������� �������� �� ���������� � ��������������� ���������. ��� �������� ������������ ���������� $q_i$, $p_i$ � �������� ���������� $H(q,p)$ �������������� �������� �������� � ������� ��������
$$
S^M[q,p]=\int dt\,(p\d_tq-H(q,p)),
\qquad
S^E[q,p]=\int d\tau\,(-\i p\d_\tau q+H(q,p)).
$$
��������� ��� ����� ������������ ������� ��� �������� ������������, ������������� ������ �������� ��� ��������� ������������. ���������� ������� ������ $\bS_i$ $i=1,\ldots,N$ � ��������������~$H(\bS)$. ��� ��� ���������� $\i b_\alpha^+$ ����������� ��������� ���������� $b_\alpha$, �����
\eq{
Z=\int Db\,Db^+\,e^{-S[b,b^+]}\prod_i\delta(b_i^+b_i-2S_i),
\qquad
S[b,b^+]=\int d\tau\,\left(\sum_ib_i^+\d_\tau b_i+H(\bS(b,b^+))\right).
\label{Zbb-def}
}
����� ���������� �� ������-�������, ������� ������� ���� $b$, $b^+$ � �������� �����������:
\eq{
\Aligned{
b_0
&=re^{{\i\over2}(\chi+\varphi)}\cos{\theta\over2},
\qquad
&b_0^+
&=re^{-{\i\over2}(\chi+\varphi)}\cos{\theta\over2},
\\
b_1
&=re^{{\i\over2}(\chi-\varphi)}\sin{\theta\over2},
\qquad
&b_1
&=re^{{\i\over2}(\chi-\varphi)}\sin{\theta\over2},
\\
\bS
&={r^2\over2}(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta).\hskip-3cm
}\label{bbpolar}
}
���� �������������� � ����� ���������� ����� ���
$$
db_0^+db_0db_1^+db_1=-{1/\over2}r^3\,dr\,d\chi\,d\varphi\,\sin\theta\,d\theta.
$$
����� ������, ��� ��� $r^2=2S$
$$
b^+\d_\tau b=\i S\d_\tau\chi+\i S\cos\theta\d_\tau\varphi.
$$
��������� ������������ $H(\bS)$ �� ������� �� ���������� $\chi$, �����, ��� �������� �� $D\chi$ �������� � ����������� ��������� � ����� ���� ������. �������� �������������� �� ��������� �����
$$
{db_0^+db_0db_1^+db_1\delta(b^+b-2S)\over d\chi}
\propto d\Omega=\sin\theta\,d\theta\,d\varphi=d\cos\theta\,d\varphi.
$$
����,
\eq{
Z=\int D\Omega\,\exp\left(-\int d\tau\,\Bigl(\i \sum_iS_i\cos\theta_i\d_\tau\varphi_i
+H(\bS(\theta,\varphi))\Bigr)\right).
\label{Z-theta-varphi}
}
����, ��� ��� �������� ������, ��� �������������� �������� ��� ������ ���� ������� �������� �� ������������. �������� ��, �� ��� ����� ���, �� �� ��������, ��� ���������� $\cos\theta$ � $\varphi$ ����������� ��������� ���� �����. ����������, ������� � ���, ��� ���� $\cos\theta\d_\tau$ �� ����������� �� ��������� � ���������. �������� �� ������ ������� � �������������� �� ���������� �������
\eq{
\bN=\bS/S.
\label{Nvar}
}
����� ������� �����, ����� ������� ���� ����. ������ �������������� ������������ ���������� $u$ � ���������, ����� ���� $\bN(u,\tau)$ ������������� ��������� ��������
\eq{
\bN(0,\tau)=(1,0,0),
\qquad
\bN(1,\tau)=\bN(\tau).
\label{bNuboundary}
}
����� �������
$$
\cos\theta(0,\tau)=0,
\qquad
\varphi(0,\tau)=0,
\qquad
\cos\theta(1,\tau)=\cos\theta(\tau),
\qquad
\varphi(1,\tau)=\varphi(\tau).
$$
�����
\Multline{
\int d\tau\,\cos\theta\,\d_\tau\varphi
=\int d\tau\int^1_0du\,\d_u(\cos\theta\,\d_\tau\varphi)
=\int d\tau\int^1_0du\,(\d_u\cos\theta\,\d_\tau\varphi+\cos\theta\,\d_u\d_\tau\varphi)
\\
=\int d\tau\int^1_0du\,(\d_u\cos\theta\,\d_\tau\varphi-\d_\tau\cos\theta\,\d_u\varphi).
\notag
}
��������������� ��������� � ����� ����� ������������ ����� ������� �������������� �� ���������� $(u,\tau)$ � ���������� $(\cos\theta,\varphi)$. ����� �������, ��� �������, ������� �������� �� ��������� ����� ��������� �������� �� ���������~$(u,\tau)$. �� ����������� ���������� ������������ ��� ������� ����� �� ������ $|\d_u\bN\times\d_\tau\bN|$. ���� ������ ����, ��������
\eq{
\int d\tau\,\cos\theta\,\d_\tau\varphi
=\int d\tau\int^1_0du\,\bN(\d_u\bN\times\d_\tau\bN).
\label{intNNN}
}
������������ �������������� �������� (\ref{Zbb-def}) ������������ ���:
\Align{
&Z=\int D\bN\,e^{-S_\kin[\bN]-S_H[\bN]},
\notag
\\
&S_\kin[\bN]=\i\int d\tau\int^1_0du\,\sum_iS_i\bN_i(\d_u\bN_i\times\d_\tau\bN_i),
\qquad
S_H[\bN]=\int d\tau\,H(\bN).
\label{Z-bN-def}
}
����� �� ��������� ������ � ��������� ��������������� ��������~$S_\kin$, �������, ���-���� ������ ���� ������������ �� ����~$\bN(\tau)=\bN(1,\tau)$. ����� $\bN(u,\tau)$ � $\bN'(u,\tau)$ --- ��� �������, ��������������� ���������� ������� (\ref{bNuboundary}) � ����� � ��� �� ���������~$\bN(\tau)$. ������� ������ ��������� ���� $\bN(u,\tau)$ �� ������ $-1\le u\le1$ ��������� �������:
$$
\bN(u,\tau)=\bN'(-u,\tau)\ \text{��� $-1\le u<0$.}
$$
�����
\eq{
S_\kin(\bN)-S_\kin(\bN')=\i\sum_iS_i\int d\tau\int^1_{-1}du\,\bN(\d_u\bN\times\d_\tau\bN).
\label{S-S}
}
�� ����� ������� ������, ��� ���� $\bN(u,\tau)$ ���������� �� ���������� �� ����������~$u$, ��� ��� $\bN(1,\tau)=\bN(-1,\tau)$. ����� ����, ��� �������� ������������ $T>0$ �������� �� $\tau$ ������� ��~0 �� $\beta$ � ����������� ��������� ��������: $\bN(\beta)=\bN(0)$. ����������� ��������� ��� ������� �� ��� ��������~$u$: $\bN(u,\beta)=\bN(u,0)$. ����� ������� $\bN(u,\tau)$ ������������ ����������� ���������� ���� $T^2$ �� �����~$S^2$. �� �� ��������� (� �������� ������) �� �����, ��� ��� ����������� ���� �� ����� ����������, �� ���� ���������� � �����, � �������, ������� ��� ������� �� ����� (� ������ ������ ������) ����� ����. �������
\eq{
S_\kin[\bN]-S_\kin[\bN']=0.
\label{SbNunique}
}
��� ����� ������ ����������, ������� ���� �� ������ �������� � ���������� $\theta$, $\varphi$, ��� ��� ��� �������� �� �������� � �������� ������� ��������.

��� $T=0$ �������� ������ ��������, ����� ������� ���� ��������� �������� $\bN$ ��� $\tau\to\pm\infty$. ����� ����������� ���� $\bN(u,\tau)$ ������������ ����������� �� $S^2$ �~$S^2$. � ���� ������ �������� ������������� ������������� �����������, ����� ������ ����� ��������� ������ $q\in\Z$ ���. �������� $q$ ����� ���� ��� �������������, ��� � �������������, � ���������� �������������� ������� �����������. ����� �������� � ������ �����~(\ref{S-S}) ����� ����� $4\pi q$:
\eq{
q={1\over4\pi}\int d^2x\,\bN(\d_1\bN\times\d_2\bN)
={1\over8\pi}\int d^2x\,\epsilon^{\mu\nu}\bN(\d_\mu\bN\times\d_\nu\bN).
\label{topcharge}
}
�����
\eq{
S_\kin[\bN]-S_\kin[\bN']=4\pi\i\sum_iS_iq_i.
\label{SbNtop}
}
�������������
\eq{
e^{-(S_\kin[\bN]-S_\kin[\bN'])}=e^{4\pi\i\sum_iS_iq_i}=1\
\text{��� ����� ��� ��������� ������ $S_i$.}
\label{ZbNunique}
}

������ ��������� ��������� ���������� ��������� � ������ � ������������ ������������������ �� ���������� $D$-������ ������� �� ������� ��������� ����. ����� �������, ��� ��������������� ������ ��������� ������:
\eq{
H(\bN)={JS^2\over2}\sum_{\br,\be_\mu}\bN_{\br+\be_\mu}\bN_\br-S\sum_\br\bh\bN_\br,
\label{Hdef}
}
��� ������ ����� ������� �� ���� ����� ������� $\br$ � �������� $\be_\mu$ ������������������ ������. ������ ����������� ����� ���� $\bN$ ������ � ������� ������� ������������� ��� $(-1)^\br\equiv(-1)^{j_1+\ldots+j_D}$, ��� $\br=a(j_1\be_1+\ldots j_D\be_D)$. ����������� ���� �� �������� $\bN_\br=(-)^\br\bn(x,\tau)$, ��� $x=a\br$ --- <<����������� ������>> ����������~$\br$ ��� ���������� �������~$a$. ������ ��� ������������. ��� ����� ������, ������ ������� ������� ����, ���������������� ������������ ������. � ���� ������ ��� ����� <<�����������>> � ����������, ��� $\bn$ ����������� � �������� $2a$, ��� ����������� ��� ������������� ����. ������� ��������� ��� ����:
\eq{
\bN_\br(\tau)=(-)^\br\bn(x,\tau)(1-a^{2D}\bl^2/2)+a^D\bl(x,\tau),
\qquad
\bn^2=1,
\qquad
\bn\bl=0,
a^{2D}\bl^2\ll1.
\label{bn-bl-def}
}
���������� ��� ��������� � (\ref{Hdef}) �� �������� � ���������� �������� �� $\bn$ �~$\bl$:
\eq{
H(\bn,\bl)=\int d^Dx\,\left({\rho_s\over2}(\d_\mu\bn)^2+{\chi_\perp S^2\over2}\bl^2-S\bh\bl\right),
\label{Hbnbldef}
}
��� �������� ��������� $\rho_s$ � ���������� ��������������� $\chi_\perp$ ����� ���
$$
\rho_s=JS^2a^{2-D},
\qquad
\chi_\perp=2DJa^D.
$$
���������� ������ (\ref{bn-bl-def}) � $S_\kin$, ��������
\eq{
S_\kin[\bn,\bl]=S'[\bn]+\i S\int d^Dx\,d\tau\int^1_0du\,\left(
\bn(\d_u\bl\times\d_\tau\bn)+\bn(\d_u\bn\times\d_\tau\bl)\right),
\label{Skin-bn-bl}
}
���
\eq{
S'[\bn]=\i S\sum_\br(-1)^\br\int d\tau\int^1_0du\,\bn_\br(\d_u\bn_\br\times\d_\tau\bn_\br).
\label{S'def}
}
����� ���� ����� ������������, ��� $\bl(\d_u\bn\times\d_\tau\bn)=0$. �� ��������� $S'$ �� ��������� ����������� �����, � ���� �������� ��� ������ ���������:
$$
\Aligned{
\bn(\d_u\bl\times\d_\tau\bn)
&=\d_u(\bn(\bl\times\d_\tau\bn))-\bn(\bl\times\d_u\d_\tau\bn),
\\
\bn(\d_u\bn\times\d_\tau\bl)
&=-\d_\tau(\bn(\bl\times\d_u\bn))+\bn(\bl\times\d_u\d_\tau\bn).
}
$$
�����, � ���� ��������� �������
\eq{
\int d\tau\,\d_\tau f(\tau)=0,
\qquad
\int du\,\d_uf(u)=f(1)-f(0).
\label{tau-u-boundary}
}
�������
\eq{
S_\kin[\bn,\bl]=S'[\bn]-\i S\int d^Dx\,d\tau\,\bl(\bn\times\d_\tau\bn).
\label{Skin-fin}
}
����,
$$
\Aligned{
&Z=\int D\bn\,D\bl\,e^{-S'[\bn]-S_\eff[\bn,\bl]},
\\
&S_\eff[\bn,\bl]=\int d^Dx\,d\tau\,\left(
{\rho_s\over2}(\d_\mu\bn)^2+{\chi_\perp S^2\over2}\bl^2-S\bl(\i\bn\times\d_\tau\bn+\bh)\right).
}
$$
�������� �� $D\bl$, ��-������, �����������, � ��-������, �� �������� ����������� ��~$\bl$. ������� ��� ����� �����:
\eq{
\Aligned{
&Z=\int D\bn\,e^{-S'[\bn]-S_\eff[\bn]},
\\
&S_\eff[\bn]=\int d^Dx\,d\tau\,\left(
{\rho_s\over2}\left((\d_\mu\bn)^2+c^{-2}(\d_\tau\bn)^2\right)
-{\i\over\chi_\perp}\bh(\bn\times\d_\tau\bn)-{\bh^2\over\chi_\perp}\right),
}\label{ZDfin}
}
��� $c=\sqrt{\rho_s\chi_\perp}$ --- �������� �������� ����. �� ����, �� �������� ��� �� �� $O(3)$-������ � $D+1$ ���������, ������ � ������ ������������� ������������ �� �������� ����. � ��� �������� ���� ������������ --- ����~$S'[\bn]$. ��������� ���� ���� ��� �� ��������� � ����������, �� �� �������� ������ �����, ������� ����� ����������� �������� ��������� �������.

���������� ������ $D=1$. � ���� ������ �������� ��������� ������� $S'[\bn]$. �������������,
\Align{
S'[\bn]
&=\i S\sum_j(-1)^j\int d\tau\int^1_0du\,\bn_j(\d_u\bn_j\times\d_\tau\bn_j)
\notag
\\
&=\i S\sum_k\int d\tau\int^1_0du\,\left(\bn_{2k}(\d_u\bn_{2k}\times\d_\tau\bn_{2k})
-\bn_{2k-1}(\d_u\bn_{2k-1}\times\d_\tau\bn_{2k-1})\right)
\notag
}
���������� �������� (�� �������) ������� � ������ ������ ����� � � �������������� ���������� ���������. ������������� ��� ���� �������� ������������
$$
\sum^n_{j=0}f(j)\simeq{f(0)+f(n)\over2}+\int^n_0dx\,f(x).
$$
���� $n=2m-1$, �����
$$
\sum^{2m-1}_{j=0}(-1)^jf(j)\simeq{f(0)-f(2m-1)\over2}+\int dx\,f(x)e^{\i\pi x}
\simeq{f(0)-f(2m-1)\over2}=-{1\over2}\int dx\,f'(x).
$$
��-�������,
$$
\sum^{2m-1}_{j=0}(-1)^jf(j)=-\sum^{m-1}_{k=0}(f(2k+1)-f(2k))\simeq-\sum^{m-1}_{k=0}f'(2k)
\simeq{1\over2}int dx\,f'(x)
$$
����������
$$
\sum^{2m}_{j=1}(-1)^jf(j)\simeq{f(2m)-f(1)\over2}\simeq{1\over2}\int dx\,f'(x)
$$
���
$$
\sum^{2m}_{j=1}(-1)^jf(j)=\sum^m_{k=1}(f(2k)-f(2k-1))\simeq\sum^m_{k=1}f'(2k-1)
\simeq{1\over2}\int dx\,f'(x).
$$
����� �������, �� ������ ��������� ����� ������� ���� ���������������� �����. �� ������, ��� � ����� ������ ���� �� ����� ��������. ������� ��������
$$
S'[\bn]\simeq\pm\i{S\over2}\int dx\,d\tau\int^1_0du\,\d_x(\bn(\d_u\bn\times\d_\tau\bn)).
$$
������ ������������� ����������
$$
\d_x(\bn(\d_u\bn\times\d_\tau\bn))+\d_u(\bn(\d_\tau\bn\times\d_x\bn))
+\d_\tau(\bn(\d_x\bn\times\d_u\bn))=0.
$$
����� �������, �� ����� �������� ����������� �� $x$ ����� ����� ����������� �� $\tau$ � ��~$u$. � ���� ������� (\ref{tau-u-boundary}) ����� ����������� �� $\tau$ ��������, � �������� �� ����������� �� $u$ ���� �������� ����� ���~$u=1$. ��������
\eq{
S'[\bn]=\pm\i{S\over2}\int dx\,d\tau\,\bn(\d_x\bn\times\d_\tau\bn)
=\pm2\pi Sq,
\label{S'top}
}
��� $q$ --- �������������� ����� ������������ $\bn(x,\tau)$. ��������, ��� ��� ������������� ��������� �������� � �������� ����������� ������������ $(x,\tau)$ ������������� ������������ �����. ��� ������, ��� �������������� ����� ����������� � ����� �� ������������� ��������� ���������:
\eq{
Z=\sum^\infty_{q=-\infty}e^{\pm2\pi\i Sq}Z_q=\sum^\infty_{q=-\infty}(-)^{2Sq}Z_q,
\qquad
Z_q=\int D\bn\,\delta_{q[\bn],q}e^{-S_\eff[\bn]}.
\label{Zqdef}
}
�� �����, ���
\eq{
Z=\Cases{\sum_qZ_q,&S\ \text{--- �����,}\\
\sum_q(-1)^qZ_q,&S\ \text{--- ���������.}}
\label{ZSdep}
}
������ ���� ������� � ���, ��� ��� ���������� �������� ������� ����������� �� \textit{��� ������ ���������������}. �� ������, ��� � ������ ������ ����� ������� ����� ��������� ������, � �� ����� ��� � ������ ���������� ����� ������ �����������. ��� ����������� ���������� ���������� \textit{�������� ��������}.

��� �����, ������� ������� ��� �������� ���� ��� �������������� �����-������. ������� $x^1=x$, $x^2=c\tau$ (��� $x^0=ct$), $g=\rho_s^{-1}$. ����� ����, ����������� ������������ ����������� $\theta$ ��� �������������� ����� � ��������. ��������
\eq{
S[\bn]={1\over2g}\int d^2x\,(\d_\mu\bn)^2
+\i{\theta\over8\pi}\int d^2x\,\bn(\d_\mu\bn\times\d_\nu\bn)\epsilon^{\mu\nu},
\qquad
\bn=(n_1,n_2,n_3),
\qquad
\bn^2=1.
\label{Ssigma}
}










\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf ������}
\medskip
{\bf1.}~��������� �������������� ��������--�������, ������� (\ref{Scommut}) �� (\ref{SWtrans}),~(\ref{balgebra}). ������� ����� (\ref{sigmasigmaid}),~(\ref{bSbb}).

{\bf2.}~�������� �������� � �������������� ���������~(\ref{Z-theta-varphi}).

\end{document}