\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,pictex,russian,fullpage}
%\usepackage[notref]{showkeys}

\allowdisplaybreaks

% Back to Knuth's definitions
\makeatletter
\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\let\frac\undefined
\let\dfrac\undefined
\let\genfrac\undefined
\makeatother
% End 'Back...' section

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1{\begin{equation}#1\end{equation}}
\def\Align#1{\begin{align}#1\end{align}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}#1\end{aligned}}
\def\Gather#1{\begin{gather}#1\end{gather}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}#1\end{gathered}}
\def\Multline#1{\begin{multline}#1\end{multline}}
\def\Subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\i{{\rm i}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\vp{\varphi}
\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\arth{\mathop{\rm arth}\nolimits}
\def\arch{\mathop{\rm arch}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\Tr{\mathop{\rm Tr}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\diag{\mathop{\rm diag}\nolimits}
\def\sign{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\def\bzero{{\boldsymbol 0}}
\def\bn{{\boldsymbol n}}
\def\bp{{\boldsymbol p}}
\def\br{{\boldsymbol r}}
\def\bk{{\boldsymbol k}}
\def\bR{{\boldsymbol R}}
\def\bS{{\boldsymbol S}}
\def\bJ{{\boldsymbol J}}
\def\bsigma{{\boldsymbol\sigma}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\cA{{\cal A}}
\def\cD{{\cal D}}
\def\cH{{\cal H}}
\def\cL{{\cal L}}
\def\cM{{\cal M}}
\def\cO{{\cal O}}
\def\cS{{\cal S}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\trho{{\tilde\rho}}
\def\ta{{\tilde a}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\eff{{\rm eff}}
\def\const{{\rm \,const\,}}
\def\eF{{\epsilon_F}}
\def\Ech{{E_{\text{ch}}}}
\def\Esp{{E_{\text{sp}}}}
\def\Espel{{E_{\text{sp}}^{\text{el}}}}
\def\Eim{{E_{\text{im}}}}
\def\el{{\text{el}}}
\def\im{{\text{im}}}
\def\Gi{{\text{\sffamily Gi}}}
\def\qu{{\text{qu}}}

\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}
\def\llangle{\mathopen{\langle\!\langle}}
\def\rrangle{\mathclose{\rangle\!\rangle}}
\def\Biggllangle{\Biggl\langle\!\!\!\Biggl\langle}
\def\Biggrrangle{\Biggr\rangle\!\!\!\Biggr\rangle}

\def\aux{{\tilde1}}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.3truecm> [0.1,0.3] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
\def\mpicture#1#2\endmpicture{\quad\vcenter{\hbox{%
	\vphantom{\vrule height#1 depth#1}%
	\beginpicture
	\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
	#2
	\endpicture}}\quad}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\begin{document}


\begin{center}
{\bf ������~7}\\
{\bf ��������� ������ ������. ������ �������.}
\end{center}

�������� � ��������-������� ������ ������:
\eq{
T^{\vec\sigma'}_{\vec\sigma}
\equiv T^{\sigma'_1\sigma'_2\ldots\sigma'_N}_{\sigma_1\sigma_2\ldots\sigma_N}
=\prod_{j=1}^Ne^{K\sigma_j\sigma'_j+L\sigma_j\sigma_{j+1}}.
\label{tm-2dIsing}
}
��� ��������-������� ����������� ������� � ������������ ���� ����������:
\eq{
T=T_0T_1,
\qquad
(T_0)^{\vec\sigma'}_{\vec\sigma}
=\prod_{i=1}^Ne^{K\sigma_i\sigma'_i},
\qquad
(T_1)^{\vec\sigma'}_{\vec\sigma}
=\prod_{i=1}^Ne^{L\sigma_i\sigma_{i+1}}.
\label{T0T1def}
}

������� ��� ��������� � ���� ��������� �� ������ �����. ��� $T_1$ ��� ������� �����:
\eq{
T_1=e^{L\sigma^z_i\sigma^z_{i+1}}.
\label{T1sigma}
}
��� $T_0$ ��� ������� �������. �������� ����������
\Multline{
e^{L^*\sigma^x}=\sum_{k=0}^\infty{(L^*\sigma^x)^k\over k!}
=\sum_{k=0}^\infty\left(
  {K^{*2k}\over(2k)!}+{K^{*2k+1}\sigma^x\over(2k+1)!}
\right)
=\ch L^*+\sigma^x\sh L^*
\\
=\pMatrix{\ch L^*&\sh L^*\\\sh L^*&\ch L^*}
=e^{-K}\ch L^*\pMatrix{e^K&e^{-K}\\e^{-K}&e^K}
={1\over\sqrt{2\sh2K}}\pMatrix{e^K&e^{-K}\\e^{-K}&e^K}.
\notag
}
�� $T_0$ ������������ ����� ��������� ������������ ������ $\pMatrix{e^K&e^{-K}\\e^{-K}&e^K}$, ����������� �� ������ ������������~$V_i$. �������
\eq{
T_0=(2\sh2K)^{N/2}e^{L^*\sum_{i=1}^N\sigma^x_i}.
\label{T0sigma}
}
������ ������ ��������� ��������
\eq{
A_0=\sum_{i=1}^N\sigma^x_i,
\qquad
A_1=\sum_{i=1}^N\sigma^z_i\sigma^z_{i+1}.
\label{Onsagerops}
}
��� ��������� �� ����������� ���� � ������ � �������� ��������� ������������� �������, ������ ������������� �������, ����� ����� ������ ��������-�������. ������ ��� ���������� �������. �� ���� � ����� ������� ������. �������, ��� �������� $A_0$, ���� ����� �������� � ����, ������������ �� �������� �����:
$$
A_0=-{\i\over2}\sum_{i=1}^N(\sigma^y_i\sigma^z_i-\sigma^z_i\sigma^y_i).
$$
�������, ��� ��������� $\sigma^z$, $\sigma^y$ ������������� ������� ���������
$$
(\sigma^y)^2=(\sigma^z)^2=1,
\qquad
[\sigma^y,\sigma^z]_+=0.
$$
���� � ���, ��� � ������ ����� ��� ��������� �����������:
$$
[\sigma^a_i,\sigma^b_j]=0,\text{ ���� $i\ne j$}.
$$
��� ���-�� �� ������� � �������� ��������, ������������ � ���������� ������. ������� �� ���:
\eq{
\psi^1_i=\sigma^z_i\mu_{i-1/2},
\qquad
\psi^2_i=\sigma^y_i\mu_{i-1/2}.
\label{psi12def}
}
��������� $\mu_{i-1/2}=\prod_{j=1}^{i-1}\sigma^y_j$ ��� ��� � ���������� ��� ���������� �����������������. ������ ������ ���������
\eq{
a_i={\psi^1_i-\i\psi^2_i\over2},
\qquad
a^+_i={\psi^1_i+\i\psi^2_i\over2}
\label{aacrossdef}
}
�
\eq{
\tilde\sigma^\pm={\sigma^z\pm\i\sigma^y\over2}.
\label{sigmapmdef}
}
� ���� ������������ ����������� (\ref{psi12def}) �������������� � ����
\eq{
a_i=\sigma^-_i\mu_{i-1/2},
\qquad
a^+_i=\sigma^+_i\mu_{i-1/2}.
\label{aacrosssigma}
}
� ���� ���� ����������� ����� ��������. �������������
$$
a^+_ia_i=\sigma^+_i\sigma^-_i={1-\sigma^x_i\over2},
$$
�� ����
\eq{
\sigma^x_i=1-2a^+_ia_i=1-2n^f_i=(-1)^{n^f_i},
\label{sigmaxaacross}
}
��� $n^f_i$ --- ���������� ����� � $i$� ����. �������������,
\eq{
\mu_{i-1/2}=(-1)^{\sum_{j=1}^{i-1}n^f_j},
\qquad
\tilde\sigma^+=(-1)^{\sum_{j=1}^{i-1}n^f_j}a^+_i,
\qquad
\tilde\sigma^-=(-1)^{\sum_{j=1}^{i-1}n^f_j}a_i.
\label{munf}
}
�������������� (\ref{psi12def})/(\ref{aacrosssigma})/(\ref{munf}) ���������� \textit{��������������� �������--�������}.

������ ����� �������� ������������� ��������� $A_0$, $A_1$ ����� ��������:
\eq{
\Aligned{
A_0
&=\sum_{i=1}^N(1-2a^+_ia_i),
\\
A_1
&=\sum_{i=1}^{N-1}(a^+_i-a_i)(a^+_{i+1}+a^+_{i+1})
-(a^+_N-a_N)(a^+_1+a_1)(-1)^{\sum_{i=1}^Nn^f_i}.
}\label{A01aacross}
}
��������� ���� ��������, ��� ��� �������� �������������� ���� ���������� �� ���������. � ������ ������� �� ������������ ����� ��������� ����� � � ����������������� ������� �� ������ ������ �� ���������� ����������� ��������� �������. �������, ���� ������ ��� � �� ����� ������, �� �� ����� ����������� � ��� �������� � �������
\eq{
A_1=\sum_{i=1}^N(a^+_i-a_i)(a^+_{i+1}+a^+_{i+1}).
\label{A1red}
}
�� ���� ����� ����� ��������� $A_0$ � $A_1$ �� �����������, ������� ��������������� �� ������������ ������. ��������� ������� ��������������� �������������� ���������������. �������� $a_i$ � ��� �����,
\eq{
a_n={1\over\sqrt N}\sum_{n=1}^Ne^{\i qn}\eta_q,
\qquad
q={2\pi\nu\over N},
\qquad
\nu=0,1,\ldots,N-1\bmod N,
\label{etaqdef}
}
� ��������� � ��������� ��� $A_0$, $A_1$. ��������
$$
\Aligned{
A_0
&=\sum_q(1-2\eta^+_q\eta_q),
\\
A_1
&=\sum_q(e^{\i q}\eta^+_q\eta^+_{-q}-e^{-\i q}\eta_q\eta^+_q
+e^{\i q}\eta^+_q\eta_q-e^{-\i q}\eta_q\eta_{-q}).
}
$$
�� �����, ��� � ��� ��������� �������� ����� $q$ � $-q\sim 2\pi-q$ ������ ������. ������� ������ ��������
$$
A_i=\sum_{0\le q<\pi}A_i(q),
$$
������
$$
\Aligned{
A_0(q)
&=2(1-\eta^+_q\eta_q-\eta^+_{-q}\eta_{-q}),
\\
A_1(q)
&=-A_0(q)\cos q
+2i(\eta^+_q\eta^+_{-q}+\eta_q\eta_{-q})\sin q,
}
$$
��� $q\ne0$ �
$$
\Aligned{
A_0(0)
&=2(1-\eta^+_0\eta_0-\eta^+_\pi\eta_\pi),
\quad
&A_1(0)
&=2(\eta^+_0\eta_0-\eta^+_\pi\eta_\pi)
\quad
&&\text{��� ������ $N$ �}
\\
A_0(0)
&=1-2\eta^+_0\eta_0,
\quad
&A_1(0)
&=2\eta^+_0\eta_0-1
\quad
&&\text{��� �������� $N$.}
}
$$
��� ��������, ���
$$
T=(2\sh2K)^{N/2}\prod_{0\le q<\pi}T(q),
\qquad
T(q)=T_0(q)T_1(q),
$$
���
$$
T_0(q)=e^{L^*A_0(q)},
\qquad
T_1(q)=e^{LA_1(q)}.
$$
��� ��������� $T(q)$ ����������� ���� � ������, ��� ��� ������
�������������� $T$ �������� � �������������� ������ $T(q)$ �������
$4\times4$. ��������� ������ $|0\rangle_q$ ��������
$\eta_q|0\rangle=0$ ��� ����~$q$. ������ �����
$$
|++\rangle=|0\rangle,
\quad
|-+\rangle=\eta^+_q|0\rangle,
\quad
|+-\rangle=\eta^+_{-q}|0\rangle,
\quad
|--\rangle=\eta^+_q\eta^+_{-q}|0\rangle
$$
��� $q\ne0$,
$$
|++\rangle=|0\rangle,
\quad
|-+\rangle=\eta^+_0|0\rangle,
\quad
|+-\rangle=\eta^+_\pi|0\rangle,
\quad
|--\rangle=\eta^+_0\eta^+_\pi|0\rangle
$$
��� $q=0$ � ������ $N$ �
$$
|+\rangle=|0\rangle,
\quad
|-\rangle=\eta^+_0|0\rangle.
$$
��� $q=0$ � �������� $N$. ���������� �������� ������� � �������: $|++\rangle$, $|--\rangle$, $|+-\rangle$, $|-+\rangle$ � $|+\rangle$, $|-\rangle$. ����� ������� $A_i$ �������� ���
$$
A_0(q)=\pMatrix{2&&&\\&-2&&\\&&0&\\&&&0},
\qquad
A_1(q)=\pMatrix{-2\cos q&-2\i\sin q&&\\2\i\sin q&2\cos q&&\\&&0&0\\&&0&0}.
$$
��� $q\ne0$ �
$$
\Aligned{
\span
A_0(0)=\pMatrix{2&&&\\&-2&&\\&&0&\\&&&0},
\qquad
A_1(0)=\pMatrix{0&&&\\&0&&\\&&2&\\&&&-2}
\qquad\text{($N$ --- ������),}
\\
A_0(0)=\pMatrix{1&\\&-1},
\qquad
A_1(0)=\pMatrix{-1&\\&1}
\qquad\text{($N$ --- ��������)}
}
$$
��� $q=0$.

��� ������� ������� �� ��������� � ���������� $\C^4$ � ����� ��������� ��������������
$(\C|++\rangle\oplus\C|--\rangle)\oplus(\C|-+\rangle\oplus\C|+-\rangle)$. ����� � ������ ���������������
$$
A^{(1)}_0(q)=A^{(1)}_0(0)=2\sigma^z,
\qquad
A^{(1)}_1(q)=2\sigma^y\sin q-2\sigma^z\cos q,
\qquad
A^{(1)}_1(0)=0.
$$
�� ������ ���������������
$$
A^{(2)}_0(q)=A^{(2)}_0(0)=0,
\qquad
A^{(2)}_1(q)=0,
\qquad
A^{(2)}_1(0)=2\sigma^z.
$$
��� �������� $N$ �����
$$
A_0(0)=-A_1(0)=\sigma^z.
$$

� ����� ���� ����� ����� ���������� �� ���� ����������. � ������
���������������
$$
\Aligned{
T^{(1)}_0(q)
&=e^{2L^*\sigma^z}=\ch2L^*+\sigma^z\sh2L^*
=\pMatrix{e^{2L^*}&\\&e^{-2L^*}},
\\
T^{(1)}_1(q)
&=e^{2L(\sigma^y\sin q-\sigma^z\cos q)}
=\ch2L+(\sigma^y\sin q-\sigma^z\cos q)\sh2L
\\
&=\pMatrix{\ch2L-\sh2L\cos q&-\i\sh2L\sin q\\\i\sh2L\sin q&\ch2L+\sh2L\cos q}.
}
$$
������
$$
T^{(1)}(q)
=\pMatrix{e^{2L^*}(\ch2L-\sh2L\cos q)&-\i e^{2L^*}\sh2L\sin q\\
\i e^{-2L^*}\sh2L\sin q&e^{-2L^*}(\ch2L+\sh2L\cos q)}.
$$
����������� �������� ���� ������� �����
$\lambda_{1,2}(q)=e^{\pm\varepsilon(q)}$, ���
\eq{
\ch\ve(q)=\ch2L^*\ch2L-\sh2L^*\sh2L\cos q.
\label{eqspectrum}
}
�� ������ ������������ $T^{(2)}(q)=1$ �� ����������� ����� $q=0$, ��� $T^{(2)}(q)=e^{2L\sigma^z}$ � $\lambda_{3,4}(0)=e^{\pm2L}$.

������ ����������� �������� ��������-������� ������ �������� � ����
\eq{
\Lambda(\vec\alpha)
=(2\sh2K)^{N/2}\exp\sum_q\alpha_q{\varepsilon(q)\over2}.
\label{spectrum}
}
����� $\alpha_q=\pm1$.

��� ��������, ��� ������� ���������� ���� $\xi_q$, $\xi^+_q$, ����� ���
\eq{
T=(2\sh2K)^{N/2}
e^{-\sum_q\ve(q)\left(\xi^+_q\xi_q-{1\over2}\right)}.
\label{Txiq}
}
����� ��������, ��� ���������� ���� $\xi_q$, $\xi^+_q$ ���������� �� ���
$\eta_q$, $\eta^+_q$ ��������������� ����������.

����������� ������������ �������� $\Lambda_1$ ��������,
��������, ������ $\alpha_\nu=+$ ��� ���� $\nu$. �������������,
���������� ����������� �������� �����
\eq{
\Lambda_1=(2\sh2K)^{N/2}e^{{1\over2}\sum_{0\le q<2\pi}\ve(q)},
\label{Lambdaone}
}
� ��������� ������� � ����������������� ������� ����� ���
\eq{
F=-{T\over2}\log(2\sh2K)
-T\int_0^\pi{dq\over2\pi}\,\arch(\ch2L^*\ch2L-\sh2L^*\sh2L\cos q).
\label{freeenergy}
}
����� �������� �������� ������� � ������������ ��������� �������. ����
$$
\ch2L^*\ch2L-\sh2L^*\sh2L\equiv\ch2(L^*-L)>1,
$$
��������������� ��������� �� ����� ������������ � ������� $F$
����������. ������ ��� $L^*\to L$ ��������������� ��������� ����� ����
��� $|L^*-L|$ ��� $q=0$. ��� ����� ����������������� �� �����������
��������� ������� ���
$$
L^*=L,
$$
�� ���� �� ������������ �����.

�������� ���������, ��� ������ ������������ ������
$$
L^*-L=\left({J\over T_c}+{I\over T_c}\sh{2J\over T_c}\right)\tau.
$$
������� �������� $L^*-L$ ����� ������� ����� $\tau$. ���������� ������ ������ ����������� � ����������� ����������� �������
\eq{
L^*-L\ll1
\label{Lcrit}
}
��� ����� �������� �������� $q\ll1$. �������� �������� ��������� �������:
\eq{
E(q)=\sqrt{m^2+q^2},
\qquad
E(q)={\ve(q)\over\sh2L},
\qquad
m={2(L^*-L)\over\sh2L}.
\label{Eqdef}
}
���� �� ��������� ������������ ���
\eq{
H=-{1\over\sh2L}\log{T\over(2\sh2K)^{N/2}},
\label{Hdef}
}
�� �� ����� ����������� �������������� ������ �����������. ������ �� ���������, ���
$$
r_c=m^{-1}\propto\tau^{-1},
$$
�� ���� ����������� �������
\eq{
\nu=1,
\qquad
\alpha=0.
\label{nualpha-2dIsing}
}
��������� $\alpha$ ���� �� ��������, ��� ��� ������� ����������� � ����������� ������������ �� �����������. ����� ��������, ��� ����������� ��������� ������� $\propto(L^*-L)^2\log|L^*-L|\propto(T-T_c)^2\log|T-T_c|$, �.~�.\ ��� ����� ������ � ����������� ����������� ���� � ������������ $C\propto\log|T-T_c|$.

��� �������� ������������ ����� $\sigma(x)$, $\mu(x)$, �� �� ������� �� � ������ ���.











\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf ������}
\medskip

{\bf1.}~������� �������~(\ref{A01aacross}).

{\bf2.}~����� �������������� ����������
$$
\eta_q=A_q\xi_q+B_q\xi^+_{-q},
\qquad
|A_q|^2+|B_q|^2=1,
\qquad
A_qB_{-q}+A_{-q}B_q=0,
$$
���������� � ������� (\ref{Txiq}) ��� ��������-�������.

{\bf3.}~��������, ��� ����������� ����� ��������� ������� ��������� ������ ������ ��������������� $(T-T_c)^2\log|T-T_c|$.


\end{document}