\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,pictex,russian,fullpage}
%\usepackage[notref]{showkeys}

\allowdisplaybreaks

% Back to Knuth's definitions
\makeatletter
\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\let\frac\undefined
\let\dfrac\undefined
\let\genfrac\undefined
\makeatother
% End 'Back...' section

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1{\begin{equation}#1\end{equation}}
\def\Align#1{\begin{align}#1\end{align}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}#1\end{aligned}}
\def\Gather#1{\begin{gather}#1\end{gather}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}#1\end{gathered}}
\def\Multline#1{\begin{multline}#1\end{multline}}
\def\Subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\i{{\rm i}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\vp{\varphi}
\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\arth{\mathop{\rm arth}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\bzero{{\boldsymbol 0}}
\def\bn{{\boldsymbol n}}
\def\bp{{\boldsymbol p}}
\def\br{{\boldsymbol r}}
\def\bk{{\boldsymbol k}}
\def\bR{{\boldsymbol R}}
\def\bS{{\boldsymbol S}}
\def\bJ{{\boldsymbol J}}
\def\bvp{{\boldsymbol\vp}}
\def\bsigma{{\boldsymbol\sigma}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\cA{{\cal A}}
\def\cD{{\cal D}}
\def\cH{{\cal H}}
\def\cK{{\cal K}}
\def\cO{{\cal O}}
\def\cS{{\cal S}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\trho{{\tilde\rho}}
\def\ta{{\tilde a}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\eff{{\rm eff}}
\def\const{{\rm \,const\,}}
\def\eF{{\epsilon_F}}
\def\Ech{{E_{\text{ch}}}}
\def\Esp{{E_{\text{sp}}}}
\def\Espel{{E_{\text{sp}}^{\text{el}}}}
\def\Eim{{E_{\text{im}}}}
\def\el{{\text{el}}}
\def\im{{\text{im}}}
\def\Gi{{\text{\sffamily Gi}}}

\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}
\def\llangle{\mathopen{\langle\!\langle}}
\def\rrangle{\mathclose{\rangle\!\rangle}}
\def\Biggllangle{\Biggl\langle\!\!\!\Biggl\langle}
\def\Biggrrangle{\Biggr\rangle\!\!\!\Biggr\rangle}

\def\aux{{\tilde1}}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.3truecm> [0.1,0.3] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\circle #1 #2, #3 #4 {\circulararc 360 degrees from #1 #2 center at #3 #4 }
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
\def\mpicture#1#2\endmpicture{\quad\vcenter{\hbox{%
	\vphantom{\vrule height#1 depth#1}%
	\beginpicture
	\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
	#2
	\endpicture}}\quad}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\begin{document}


\begin{center}
{\bf Лекция~4}\\
{\bf Теория возмущений и диаграммная техника.}
\end{center}
Пусть у нас есть теория поля с одним скалярным бозоном $\varphi$ и с действием
\eq{
\cS[\varphi]=\cS_0[\varphi]+\int d^dx\,\left(\sum_{k=1}^K{g_k\over k!}\varphi^k\right),
\qquad\cS_0[\varphi]={1\over2}int d^dx\,\varphi\cK\varphi.
\label{Sgen}
}
Оператору $\cK$ отвечает пропагатор $G_0(x,y)$, являющийся решением уравнения
\eq{
K_xG_0(x,y)=\delta(x-y).
\label{propdef}
}
Первым делом давайте научимся считать производящий функционал корреляционных функций, то есть статсумму с неоднородным внешним полем:
\eq{
Z[J]=\int\cD\varphi\,e^{-\cS[\varphi]+\int d^dx\,J(x)\varphi(x)}.
\label{genfuncdef}
}
Разложим экспоненты, содержащие $J(x)$ и $g_k$ в ряды:
$$
Z[J]=\int\cD\varphi\,e^{-\cS_0[\varphi]}
\left(\sum_{m=0}^\infty{1\over m!}\int d^{md}x\,\prod_{i=1}^mJ(x_i)\varphi(x_i)\right)
\prod_{k=1}^K\left(\sum_{n_k=0}^\infty{(-g_k)^{n_k}\over n_k!(k!)^{n_k}}\int d^{n_kd}x\,
\prod_{i=1}^{n_k}\varphi^k(x_i)\right).
$$
Выпишем общий член этого разложения:
$$
{(-g_1)^{n_1}\ldots(-g_K)^{n_k}\over m!n_1!\ldots n_K!(2!)^{n_2}\ldots(K!)^{n_K}}\int d^{md}x\prod_{k=1}^Kd^{n_kd}y^{(k)}\,\prod_{i=1}^mJ(x_i)
\int\cD\varphi\,e^{-\cS_0[\varphi]}
\prod_{i=1}^m\varphi(x_i)\prod_{k=1}^K\prod_{i=1}^{n_k}\varphi^k(y^{(k)}_i).
$$
В силу теоремы Вика мы должны перебрать все спаривания между полями~$\varphi$. Обозначим точки $x_i$, $y^{(k)}_i$ точками, а спаривания --- линиями, соединяющими эти точки. При этом из каждой точки $x_i$ выходит по одной линии, а из каждой точки $y^{(k)}_i$ выходит по $k$ линий. Далее, эти линии нужно соединить всеми возможными способами. Поскольку в каждой точке $y^{(k)}_i$ сидит $k$ полей, линии к ним можно подсоединить $k!$ способами. Это сокращает множители $(k!)^{n_k}$ в знаменателе. Кроме того, точки $y^{(k)}_1,\ldots,y^{(k)}_{n_k}$ можно переставлять $n_k!$ способами, что сокращает множители $n_k!$ в знаменателе. Наконец, если граф обладает симметрией, то некоторые из перестановой не приводят к новым спариваниям. Поэтому мы должны поделить все выражение на число элементов симметрии графа.

Итак, для вычисления вклада графа в производящий функционал, надо произвести следующие операции:

1.~Сопоставить каждой вершине, в которую входит $k$ линий, множитель~$(-g_k)$.

2.~Сопоставить каждой линии пропагатор $G_0(z_i,z_j)$, где $z_i$ точки, отвечающие вершинам.

3.~Проинтегрировать по всем переменным, отвечающим вершинам~($y^{(k)}_i$).

4.~Поделить ответ на число симметрий графа.

5.~Сопоставить каждой внешней линии множитель~$J(x_i)$.

6.~Проинтегрировать по всем переменным, отвечающим внешним линиям~($x_i$).

7.~Поделить ответ на~$m!$.

Чтобы вычислить вклад в $m$-точечную корреляционную функцию, надо проварьировать ответ $m$ раз по~$J$, затем положить $J=0$ и поделить на~$Z[0]$. Варьирование по $J$ выделит графы с $m$ внешними линиями и сократит $m!$ в знаменателе. Величина $Z[0]$ состоит из всех диаграмм без внешних линий, поэтому деление на $Z[0]$ сократит вклады всех отдельных, не связанных с остальными частями, поддиаграмм без внешних линий.

Поэтому правило для вычисления корреляционных функций гласит:

а)~Брать только диаграммы, на содержащие поддиаграмм, не связанных с внешними линиями.

б)~Опустить шаги 5--7.

Приведем два примера из теории со взаимодействием $\varphi^4$. Для двухточки
имеем
$$
\Aligned{
\langle\vp(x_1)\vp(x_2)\rangle
&=\quad\vphantom{\vrule height 1cm depth 0cm}
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -1.0 0.0, 1.0 0.0
\bfpoint -1.0 0.0
\bfpoint 1.0 0.0
\put {$x_1$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 0.0
\put {$x_2$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 0.0
\endpicture
\quad+{1\over2}\quad
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -1.0 0.0, 1.0 0.0
\circulararc 360 degrees from 0.0 0.0 center at 0.0 0.5
\bfpoint -1.0 0.0
\bfpoint 1.0 0.0
\put {$x_1$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 0.0
\put {$x_2$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 0.0
\endpicture
\\
&\vphantom{\vrule height 2cm depth 0.5cm}+{1\over4}\quad
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -1.0 0.0, 1.0 0.0
\circulararc 360 degrees from 0.0 0.0 center at 0.0 0.5
\circulararc 360 degrees from 0.0 1.0 center at 0.0 1.5
\bfpoint -1.0 0.0
\bfpoint 1.0 0.0
\put {$x_1$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 0.0
\put {$x_2$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 0.0
\endpicture
+{1\over4}\quad
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -1.0 0.0, 2.0 0.0
\circulararc 360 degrees from -0.25 0.0 center at -0.25 0.5
\circulararc 360 degrees from 1.25 0.0 center at 1.25 0.5
\bfpoint -1.0 0.0
\bfpoint 2.0 0.0
\put {$x_1$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 0.0
\put {$x_2$} [Bl] <3pt,-2pt> at 2.0 0.0
\endpicture
+{1\over6}\quad
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -1.0 0.0, 1.0 0.0
\circulararc 360 degrees from -0.5 0.0 center at 0.0 0.0
\bfpoint -1.0 0.0
\bfpoint 1.0 0.0
\put {$x_1$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 0.0
\put {$x_2$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 0.0
\endpicture
\\
&+\cdots
}
$$
Для четырехточки имеем
$$
\Aligned{
\langle\vp(x_1)\ldots\vp(x_4)\rangle
&=\quad\vphantom{\vrule height 1.5cm depth 1.5cm}
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -1.0 -1.0, 1.0 -1.0
\rl -1.0 1.0, 1.0 1.0
\bfpoint -1.0 -1.0
\bfpoint -1.0 1.0
\bfpoint 1.0 -1.0
\bfpoint 1.0 1.0
\put {$x_1$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 -1.0
\put {$x_2$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 -1.0
\put {$x_3$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 1.0
\put {$x_4$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 1.0
\endpicture
+\quad
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -1.0 -1.0, -1.0 1.0
\rl 1.0 -1.0, 1.0 1.0
\bfpoint -1.0 -1.0
\bfpoint -1.0 1.0
\bfpoint 1.0 -1.0
\bfpoint 1.0 1.0
\put {$x_1$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 -1.0
\put {$x_2$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 -1.0
\put {$x_3$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 1.0
\put {$x_4$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 1.0
\endpicture
+\quad
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\ln -1.0 -1.0, 1.0 1.0
\ln -1.0 1.0, -0.1 0.1 \ln 0.1 -0.1, 1.0 -1.0
%\circulararc 180 degrees from 0.2 -0.2 center at 0.0 0.0
\bfpoint -1.0 -1.0
\bfpoint -1.0 1.0
\bfpoint 1.0 -1.0
\bfpoint 1.0 1.0
\put {$x_1$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 -1.0
\put {$x_2$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 -1.0
\put {$x_3$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 1.0
\put {$x_4$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 1.0
\endpicture
\\
&+\quad\vphantom{\vrule height 1.5cm depth 1.5cm}
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\ln -1.0 -1.0, 1.0 1.0
\ln -1.0 1.0, 1.0 -1.0
\bfpoint -1.0 -1.0
\bfpoint -1.0 1.0
\bfpoint 1.0 -1.0
\bfpoint 1.0 1.0
\put {$x_1$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 -1.0
\put {$x_2$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 -1.0
\put {$x_3$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 1.0
\put {$x_4$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 1.0
\endpicture
+{1\over2}\quad
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -1.0 -1.0, 1.0 -1.0
\rl -1.0 1.0, 1.0 1.0
\circulararc 360 degrees from 0.0 -1.0 center at 0.0 -0.5
\bfpoint -1.0 -1.0
\bfpoint -1.0 1.0
\bfpoint 1.0 -1.0
\bfpoint 1.0 1.0
\put {$x_1$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 -1.0
\put {$x_2$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 -1.0
\put {$x_3$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 1.0
\put {$x_4$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 1.0
\endpicture
+\hbox{(еще 5 диаграмм)}
\\
&+{1\over2}\quad\vphantom{\vrule height 1.5cm depth 1.5cm}
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -1.0 -1.0, 1.0 -1.0
\rl -1.0 1.0, 1.0 1.0
\circulararc 60 degrees from 0.0 -1.0 center at -1.732 0.0
\circulararc 60 degrees from 0.0 1.0 center at 1.732 0.0
\bfpoint -1.0 -1.0
\bfpoint -1.0 1.0
\bfpoint 1.0 -1.0
\bfpoint 1.0 1.0
\put {$x_1$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 -1.0
\put {$x_2$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 -1.0
\put {$x_3$} [Bl] <3pt,-2pt> at 1.0 1.0
\put {$x_4$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 1.0
\endpicture
+\hbox{(еще 2 диаграммы)}
\\
&+\hbox{(еще 4 связных диаграммы с одной петлей)}
\cr
&+\hbox{(еще 15 диаграмм с 2 петлями)}+\cdots.
}
$$

Теперь переформулируем правила вычисления диаграмм в импульсном пространстве:

1.~Нарисовать на каждой линии стрелку в произвольном направлении и написать у каждой линии импульс $p^{(l)}$ и сопоставить каждой линии пропагатор~$G_0(p^{(l)})$.

2.~Сопоставить каждой вершине, в которую входит $k$ линий множитель $(-g_k)\delta\left(P_{\text{втек}}-P_{\text{вытек}}\right)$, где $P_{\text{втек}}$ и $P_{\text{вытек}}$ --- суммы всех импульсов, втекающих в вершину и вытекающих из нее соответственно.

3.~Проинтегрировать по всем импульсам~$p^{(l)})$.

4.~Поделить ответ на число симметрий графа (стрелки игнорировать).

5. Отождествить на каждой внешней линии импульс $p^{(l)}$ с соответствующим $p_i$, если он вытекает из диаграммы, и с $-p_i$, если вытекает. Ответ даст нам $\varphi_{p_1}\ldots\varphi_{p_m}$.

Прямое вычисление корреляционных функций --- не всегда то, что нам нужно. Важную роль играют так называемые вершинные части, которые позволяют более эффективно суммировать значительные куски корреляционных функций. Запишем производящий функционал в виде
\eq{
Z[J]=e^{-F[J]},
\label{FJdef}
}
где $F[J]$ в теории поля называют \textit{свободной энергией}, по аналогии со статфизикой. Не будем путать эту свободную энергию с функционалом $F[\varphi]$, определенным в предыдущих лекциях. Свободная энергия позволяет определить так называемое \textit{классическое поле}
\eq{
\tilde\vp(x)=-{\delta F[J]\over\delta J(x)}=\langle\varphi(x)\rangle_J
\label{tildevpdef}
}
В полевом описании модели Изинга классическое поле и есть, собственно, среднее значение параметра порядка в неоднородном внешнем поле. Уравнение (\ref{tildevpdef}) позволяет найти поле источника $J(x)$ как функционал классического поля~$\tilde\vp(x)$. В полной аналогии с термодинамическим потенциалом введем \textit{эффективное действие}
\eq{
\Gamma[\tilde\vp]=F[J]+\int d^dxJ(x)\tilde\vp(x)
\label{Gammadef}
}
с естественным следствием
\eq{
\left.\delta\Gamma[\varphi]\over\delta\varphi(x)\right|_{\varphi=\langle\varphi\rangle_J}
=J(x).
\label{GammaJ}
}
Разложим функционал $\Gamma[\varphi]$ в ряд по $\varphi$:
\eq{
\Gamma[\varphi]=\sum_{n=0}^\infty{1\over n!}\int d^{dn}x\,\Gamma_n(x_1,\ldots,x_n)
\varphi(x_1)\ldots\varphi(x_n).
\label{Gamma_ndef}
}
Функции $\Gamma_n$ называют \textit{вершинными частями}. Очевидно, $\Gamma_0$ не имеет значения, а $\Gamma_1(x)=-J(x)$, где $J(x)$ соответствует нулевому полю. Что касается $\Gamma_2$, то
\Align{
\Gamma_2(x_1,x_2)
&=\left.
\delta^2\Gamma[\vp]\over\delta\vp(x_1)\,\delta\vp(x_2)
\right|_{\vp=0}
\notag
\\
&=-\left.\delta J(x_1)\over\delta\tilde\vp(x_2)\right|_{\vp=0}
=-\left[
\delta\tilde\vp(x_2)\over\delta J(x_1)
\right]^{-1}_{J=0}
=-\left[
\delta^2 F[J]\over\delta J(x_1)\,\delta J(x_2)
\right]^{-1}_{J=0}
\notag
\\
&=-[\langle\vp(x_1)\vp(x_2)\rangle
-\langle\vp(x_1)\rangle\langle\vp(x_2)\rangle]^{-1}=-[\llangle\vp(x_1)\vp(x_2)\rrangle]^{-1}
\notag
\\
&=-G^{-1}(x_1,x_2),
\label{Gamma2}
}
Здесь $G(x_1,x_2)\equiv\llangle\vp(x_1)\vp(x_2)\rrangle$ --- \textit{точный} пропагатор (в отличие от затравочного пропагатора~$G_0$), а минус первая степень понимается в операторном смысле. Теперь рассмотрим диаграммную технику
для $\Gamma_2$. Пусть
$$
\Gamma_2(x_1,x_2)
=-G_0^{-1}(x_1,x_2)-\Sigma(x_1,x_2)
=-G_0^{-1}(x_1,x_2)+
\mpicture{0.5cm}
\rl -0.8 0.0 , -0.5 0.0
\rl 0.5 0.0 , 0.8 0.0
\setdashes
\circle -0.5 0.0 , 0.0 0.0
\setsolid
\put {$x_1$} [Br] <-2pt,3pt> at -0.5 0.0
\put {$x_2$} [Bl] <2pt,3pt> at 0.5 0.0
\put {$-\Sigma$} [Bc] <0pt,-2.5pt> at 0.0 0.0
\endmpicture
$$
($G_0$ --- невозмущенный пропагатор,
$-\Sigma$ --- {\it массовый оператор\/}). Тогда (в операторном виде)
\Align{
G
&=G_0+G_0(-\Sigma)G_0+G_0(-\Sigma)G_0(-\Sigma)G_0+\cdots
\notag
\\
&=
\mpicture{0.5cm}
\rl -0.5 0.0, 0.5 0.0
\bfpoint -0.5 0.0
\bfpoint 0.5 0.0
\endmpicture
+
\mpicture{0.5cm}
\rl -1.0 0.0 , -0.5 0.0
\rl 0.5 0.0 , 1.0 0.0
\bfpoint -1.0 0.0
\bfpoint 1.0 0.0
\setdashes
\circle -0.5 0.0 , 0.0 0.0
\setsolid
\put {$-\Sigma$} [Bc] <0pt,-2.5pt> at 0.0 0.0
\endmpicture
+
\mpicture{0.5cm}
\rl -1.0 0.0 , -0.5 0.0
\rl 0.5 0.0 , 1.0 0.0
\rl 2.0 0.0 , 2.5 0.0
\bfpoint -1.0 0.0
\bfpoint 2.5 0.0
\setdashes
\circle -0.5 0.0 , 0.0 0.0
\circle 1.0 0.0 , 1.5 0.0
\setsolid
\put {$-\Sigma$} [Bc] <0pt,-2.5pt> at 0.0 0.0
\put {$-\Sigma$} [Bc] <0pt,-2.5pt> at 1.5 0.0
\endmpicture
+\cdots.
\label{Gequation}
}
Очевидно, что $-\Sigma$ дается всеми {\it одночастично-неприводимыми\/}
диаграммами, т.~е.\ диаграммами, которые остаются связными после разрезания
любой внутренней линии. Кроме того, внешним линиям не сопоставляется
пропагаторов.

Для $\Gamma_3$ имеем
$$
\Aligned{
\Gamma_3(x_1,x_2,x_3)
&=\left.
\delta\Gamma_{2,J}(x_1,x_2)\over\delta \tilde\vp(x_3)
\right|_{J=0}
\\
&=-\int d^Dy_3\,\left.
{\delta[\langle\vp(x_1)\vp(x_2)\rangle_J-\tilde\vp(x_1)\tilde\vp(x_2)]^{-1}
\over\delta J(y_3)}
{\delta J(y_3)\over\delta\tilde\vp(x_3)}
\right|_{J=0}
\\
&=-\int d^{3D}y\,
\Gamma_{2,J}(x_1,y_1)\Gamma_{2,J}(x_2,y_2)\Gamma_{2,J}(x_3,y_3)
\\
&\quad\times
\bigl(\langle\vp(y_1)\vp(y_2)\vp(y_3)\rangle_J
\\
&\qquad
-\tilde\vp(y_1)\langle\vp(y_2)\vp(y_3)\rangle_J
-\tilde\vp(y_2)\langle\vp(y_1)\vp(y_3)\rangle_J
-\tilde\vp(y_3)\langle\vp(y_1)\vp(y_2)\rangle_J
\\
&\qquad+3\tilde\vp(y_1)\tilde\vp(y_2)\tilde\vp(y_3)\bigr)
\biggr|_{J=0}
\\
&=\int d^{3D}y\,
G^{-1}(x_1,y_1)G^{-1}(x_2,y_2)G^{-1}(x_3,y_3)
G(y_1,y_2,y_3).
}
$$
Нетрудно также найти, что
$$
\Aligned{
\Gamma_4(x_1,\ldots,x_4)
&=\int d^{4D}y\,
\prod_{i=1}^4 G^{-1}(x_i,y_i)
\biggl(G(y_1,\ldots,y_4)
\\
&\quad
-\int d^{2D}z\,
\bigl(G(y_1,y_2,z_1)G^{-1}(z_1,z_2)G(z_2,y_3,y_4)
+(\text{еще 2 слагаемых})\bigr)
\biggr),
}
$$
Общее правило состоит в том, что $\Gamma_n$ вычисляются как сумма \textit{одночастично-неприводимых диаграмм}, то есть диаграмм, которые не распадаются на несвязные части при разрезании по одной линии. Кроме того, внешние линии диаграмм для вершинных функций <<укорочены>>, то есть им не следует сопоставлять затравочные пропагаторы.

\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

{\bf1.}~Построить диаграммную технику для теории комплексного скалярного поля $\vp$ с действием
$$
\cS[\vp]=\int d^dx\,\left(
|\d_\mu\vp|+m^2|\vp|^2+{g\over4}|\vp|^4\right).
$$

{\bf2.}~Построить диаграммную технику для теории $n$-компонентного вещественного скалярного поля $\bvp$ с действием
$$
\cS[\bvp]=\int d^dx\,\left(
{1\over2}\d_\mu\bvp\d^\mu\bvp+{m^2\over2}\bvp^2+{g\over8}(\bvp^2)^2\right).
$$






\end{document}