% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,hyperref}
\usepackage[cm]{fullpage}
\usepackage{tikz}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

\allowdisplaybreaks

\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}}
\long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}}
\def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}}
\def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}}
\def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}}
\def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}}
\def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}}
\def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}}
\def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}}
\def\Multline#1$$#2$${\begin{multline#1}#2\end{multline#1}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
%\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
%\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
%\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
%\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
%\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\bn{{\boldsymbol n}}
\def\bp{{\boldsymbol p}}
\def\br{{\boldsymbol r}}
\def\bR{{\boldsymbol R}}
\def\bS{{\boldsymbol S}}
\def\bJ{{\boldsymbol J}}
\def\bsigma{{\boldsymbol\sigma}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\cH{{\cal H}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\trho{{\tilde\rho}}
\def\ta{{\tilde a}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\eff{{\rm eff}}
\def\const{{\rm \,const\,}}
\def\eF{{\epsilon_F}}
\def\Ech{{E_{\text{ch}}}}
\def\Esp{{E_{\text{sp}}}}
\def\Espel{{E_{\text{sp}}^{\text{el}}}}
\def\Eim{{E_{\text{im}}}}
\def\el{{\text{el}}}
\def\im{{\text{im}}}

\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}

\def\aux{{\tilde1}}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.3truecm> [0.1,0.3] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\begin{document}

\centerline{\bf Лекция~12}
\centerline{\bf Задача Кондо: решение уравнений Бете}
\bigskip
В прошлой лекции были получены уравнения Бете для $sd$"=модели:
\Gather$$
e^{ip_aL}=e^{iJS}\prod^n_{i=1}{v_i+i/2\over v_i-i/2},
\label{cyclicfin}
\\
\left(v_i+i/2\over v_i-i/2\right)^N
{v_i+iS+g^{-1}\over v_i-iS+g^{-1}}
=-\prod^n_{j=1}{v_i-v_j+i\over v_i-v_j-i},
\label{Bethefin}
\\
a=1,\ldots,N,
\qquad
i,j=1,\ldots,n,
\nonumber
$$
причем
\eq$$
g={1\over S+1/2}\tg J(S+1/2).
\label{gdef}
$$
Энергия системы равна%
%
\footnote{Мы приняли $v_F=1$. Чтобы восстановить физические определения переменных, следует всюду сделать замену $E\to E/v_F$, $J\to J/v_F$.}
%
\eq$$
E=\sum^N_{a=1}p_a.
\label{energy}
$$
Прологарифмируем уравнения Бете:
\Gather$$
p_aL=2\pi I_a+JS-\sum^n_{i=1}(\pi+p(v_i)),
\label{b1}
\\
Np(v_i)+\delta_S(v_i)
=2\pi J_i+\sum^n_{j=1}\Phi(v_i-v_j),
\label{b2}
\\
p(v)=2\arctg2v,
\qquad
\delta_S(v)=p((v+g^{-1})/2S),
\qquad
\Phi(v)=p(v/2),
\label{pfuncdef}
\\
I_a\in\Z,
\qquad
J_i\in\Z+{N-n\over2}.
\label{IJdef}
$$
При этом все числа $J_i$ должны быть попарно различны и все числа $I_a$ тоже.

Полная энергия системы (\ref{energy}) разбивается на два вклада:
\Align$$
E&=\Ech+\Esp,
\label{Esplit}
\\
\Ech
&={2\pi\over L}\sum^N_{a=1}I_a-{\pi N^2\over2L},
\label{Echdef}
\\
\Esp
&={\pi N^2\over2L}+{NJS\over L}-{N\over L}\sum^n_{i=1}(\pi+p(v_i))
\nonumber
\\
&=-{2\pi\over L}\sum^n_{i=1}J_i+{\pi\over L}N\left({N\over2}-n\right)
+{NJS\over L}+{1\over L}\sum^n_{i=1}\delta_S(v_i),
\label{Espdef}
$$
Слагаемое $-\pi N^2/2L$ добавлено к зарядовой энергии, чтобы при $J=0$, $n=N/2$ отношение $\Esp/\Ech$ обращалось в ноль в термодинамическом пределе.

Найдем сначала основное состояние. Чтобы процедура минимизации энергии была корректно определена, следует ввести обрезание $-\eF$ для отрицательных импульсов. Именно, следует потребовать, чтобы в $N$"=частичном основном состоянии все уровни отрицательного импульса (энергии) в интервале $[-\eF,0]$ были бы заполнены. Поскольку плотность состояний по $p_a$ равна $2{L\over2\pi}$, имеем
\eq$$
N={L\eF\over\pi}.
\label{N-eF-rel}
$$
Поэтому термодинамический предел определяется как
$$
L\to\infty,
\qquad
N\to\infty,
\qquad
{N\over L}={\eF\over\pi}=\const,
$$
Уровень Ферми $\eF$ следует рассматривать как параметр модели.

Числа $I_a$ должны удовлетворять условию
$$
I_a\gtrsim-{\eF L\over2\pi}=-{N\over2}.
$$
В основном состоянии $I_a$ пробегают значения примерно от $-N/2$ до $N/2$ и, следовательно, $\sum_aI_a\ll N^2$. Поэтому в термодинамическом пределе зарядовая энергия равна
\eq$$
\Ech=-{\pi N^2\over2L}=-L{\eF^2\over2\pi}.
\label{Echfin}
$$

Найдем допустимую область для чисел $J_i$. При $v_i\to+\infty$ из~(\ref{b2}) имеем $J_i\to(N+2-n)/2$, а при $v_i\to-\infty$ имеем $J_i\to-(N+2-n)/2$. Поэтому
\eq$$
-{N-n\over2}\le J_i\le{N-n\over2}.
\label{Jirange}
$$
Чтобы найти минимум по спиновым состояниям электронов, предположим, что константа $J$ достаточно мала, так что двумя последними членами в~(\ref{Espdef}) можно пренебречь. Первый член в $\Esp$ падает с ростом $J_i$, поэтому можно предположить, что основному состоянию соответствуют полное заполнение (полу)целых чисел достаточно большими значениями $J_i$. Следовательно, имеется некоторое значение $J_{\text{min}}$, такое что в основном состоянии корням отвечают все
\eq$$
J_\text{min}\le J_i\le{N-n\over2}.
\label{JiGSrange}
$$
В переменных $v_i$ это соответствует интервалу
\eq$$
-b\le v<+\infty
\label{vGSrange}
$$
Полагая
$$
J_i={N-n\over2}+1-i,
$$
получим
\eq$$
J_{\text{min}}={N-3n\over2}+1,
\label{Jminexpr}
$$
а также
\eq$$
\sum^n_{i=1}J_i=n\left({N+1\over2}-n\right).
\label{sumJi}
$$
Отметим, что из (\ref{Jminexpr}) и (\ref{JiGSrange}) следует, что
\eq$$
n\le{N+1\over2}
\quad\Leftrightarrow\quad
S^z\ge S-{1\over2},
\label{nmax}
$$
где $S^z=N/2+S-n$ "--- проекция полного спина системы.

Вычислим намагниченность и спиновую энергию системы в ведущем порядке по $N^{-1}$. В этом приближении вкладом примеси можно пренебречь, и мы получаем
\eq$$
M\equiv{S^z\over N}\simeq{1\over2}-{n\over N},
\label{M-def}
$$
и
\eq$$
\Esp\approx2\eF{(S^z)^2\over N}=2N\eF M^2.
\label{Esp-leading}
$$
Отсюда легко получить связь между $S^z$ и магнитным полем $H$. Действительно, минимизацией функции $\Espel(H)=\Espel-HS^z$ по $S^z$ находим
\eq$$
H={4\eF\over N}S^z.
\label{HSzrel}
$$
Это просто вклад $s$"=электронов в парамагнетизм Паули. Эта формула точна в нулевом порядке по $1/N$ и ее можно использовать в дальнейшем для вычисления связи между $H$ и $b$. Чтобы получить (\ref{HSzrel}) нам не потребовалось решать явно уравнения Бете~(\ref{b2int0}). Однако решать их непременно придется, если мы захотим установить связь между $b$ и $n$.

Вычисляя разность двух уравнений (\ref{b2}) с последовательными значениями $i$ и деля на $v_{i-1}-v_i$, получим в термодинамическом пределе интегральное уравнение
\eq$$
\rho(v)=a_1(v)+{1\over N}a_{2S}(v+g^{-1})-\int^\infty_{-b}{dv'\over2\pi}\,a_2(v-v')\rho(v'),
\qquad
-b\le v<\infty.
\label{b2int}
$$
Здесь $\rho(v)={2\pi\over N}{dJ\over dv}$, а
\eq$$
a_t(v)={4t\over4v^2+t^2}.
\label{atdef}
$$
При этом
\eq$$
n=N\int^\infty_{-b}{dv\over2\pi}\,\rho(v).
\label{rhonorm}
$$
Это значит, что суммарный спин равен
\eq$$
S^z={N\over2}+S-N\int^\infty_{-b}{dv\over2\pi}\,\rho(v).
$$

Спиновая энергия равна
\eq$$
\Esp={N\eF\over2}+{\eF JS\over\pi}-{N\eF\over\pi}\int^\infty_{-b}{dv\over2\pi}\,\rho(v)(\pi+p(v)).
\label{Espimexpr}
$$
Разложим плотность по степеням $1/N$ до первого порядка
\eq$$
\rho(v)=\rho_0(v)+{\rho_1(v)\over N}.
\label{rhovexp}
$$
Уравнение для $\rho_0$
\eq$$
\rho_0(v)=a_1(v)
-\int^\infty_{-b}{dv'\over2\pi}\,a_2(v-v')\rho_0(v'),
\qquad
-b\le v<\infty,
\label{b2int0}
$$
совпадает с интегральным уравнением для XXX"=модели. Вычитая (\ref{b2int0}) из~(\ref{b2int}), получим
\eq$$
\rho_1(v)=a_{2S}(v+g^{-1})-\int^\infty_{-b}{dv'\over2\pi}\,a_2(v-v')\rho_1(v'),
\qquad
-b\le v<\infty.
\label{b2int1}
$$
Намагниченность распадается на электронную и примесную части:
\eq$$
S^z=NM_\el+M_\im,
\qquad
M_\el={1\over2}-\int^\infty_{-b}{dv\over2\pi}\,\rho_0(v),
\qquad
M_\im=S-\int^\infty_{-b}{dv\over2\pi}\,\rho_1(v).
\label{Szexp}
$$
Спиновая энергия распадается на две части
\Align$$
\Esp
&=\Espel+\Eim,
\label{Espexp}
\\
\Espel
&=\eF\left({N\over2}-n\right)-2\eF\int^\infty_{-b}{dv\over2\pi}\,J_0(v)\rho_0(v),
\label{Espeldef}
\\
\Eim
&={\eF JS\over\pi}-{\eF\over\pi}\int^\infty_{-b}{dv\over2\pi}\,\rho_1(v)(\pi+p(v)).
\label{Eimdef}
$$
Электронную часть энергии нетрудно вычислить без решения интегрального уравнения и она совпадет с результатом~(\ref{Esp-leading}). Чтобы учесть влияние примеси, придется решить интегральные уравнения.

Начнем со случая $b=\infty$. Интегральные уравнения (\ref{b2int0}) и~(\ref{b2int1}) в этом случае можно решить методом Фурье. Легко проверить, что
\eq$$
\tilde a_t(k)=\int^\infty_{-\infty}{dv\over2\pi}\,a_t(v)e^{ikv}
=e^{-t|k|/2}.
\label{atFourier}
$$
Отсюда имеем
$$
\trho_0(k)=e^{-|k|/2}-e^{-|k|}\trho_0(k),
\qquad
\trho_1(k)=e^{-S|k|-ik/g}-e^{-|k|}\trho_1(k).
$$
Следовательно,
\eq$$
\trho_0(k)={1\over2\ch{k\over2}},
\qquad
\trho_1(k)={e^{-(S-1/2)|k|-ik/g}\over2\ch{k\over2}}.
\label{trhoksolutions}
$$
Особый интерес представляет точка $k=0$:
\eq$$
\trho_0(0)=\int{dv\over2\pi}\,\rho_0(v)={1\over2},
\qquad
\trho_1(0)=\int{dv\over2\pi}\,\rho_1(v)={1\over2}.
\label{trho0}
$$
Отсюда получаем
\subeq{
\label{MH0}
\Align$$
M_\el
&=0,
\label{MelH0}
\\
M_\im
&=S-1/2.
\label{MimH0}
$$}
Первая формула (\ref{MelH0}) означает, что случай $b=-\infty$ соответствует случаю нулевого электронного магнитного момента, т.~е.\ нулевого внешнего магнитного поля. Более точно, это соответствует пределу $H\to0^+$, поскольку конечным $b$ соответствует положительное магнитное поле. Формула (\ref{MimH0}) означает, что в слабом магнитном поле цепочка приобретает момент $S^z=S-1/2$ в согласии с (\ref{nmax}), то есть спин цепочки равен $S-1/2$. Это значит, что спин примеси частично экранируется электронами и {\it основное состояние $2S$"=кратно вырождено}.

Рассмотрим теперь случай
\eq$$
1\ll b<\infty.
\label{finitb}
$$
Условие $b\gg1$ соответствует физически осмысленному режиму не слишком сильного магнитного поля $H\ll\eF$. Интегральные уравнения с одним конечным пределом решаются методом Винера"--~Хопфа. Изложим вкратце этот метод.

Пусть имеется уравнение
\eq$$
f(x)+\int^\infty_0{dx'\over2\pi}\,K(x-x')f(x')=g(x),\qquad x>0.
\label{WHeq}
$$
Можно произвольно продолжить данную функцию $g(x)$ в область отрицательных $x$ и распространить уравнение на всю ось. При этом значения $f(x)$ при $x<0$ несущественны, а решение $f(x)$ при $x>0$ не зависит от этого продолжения.

Сделаем преобразование Фурье:
\eq$$
\tilde f_+(k)=\int^\infty_0{dx\over2\pi}\,e^{ikx}f(x),
\qquad
\tilde f_-(k)=\int^0_{-\infty}{dx\over2\pi}\,e^{ikx}f(x).
\label{WHfpm}
$$
Функция $\tilde f_+(k)$ ($\tilde f_-(k)$) не имеет особенностей в верхней (нижней) полуплоскости. Здесь и ниже такое свойство будет предполагаться для всех функций с индексами $\pm$.

Уравнение (\ref{WHeq}) принимает вид
\eq$$
(1+\tilde K(k))\tilde f_+(k)+\tilde f_-(k)=\tilde g(k).
\label{WHeqk}
$$
Представим ядро $\tilde K(k)$ в виде
\eq$$
1+\tilde K(k)={\tilde K_+(k)\over\tilde K_-(k)}.
\label{WHfactor}
$$
Кроме того, положим
\eq$$
\tilde K_-(k)\tilde g(k)\equiv\tilde q(k)=\tilde q_+(k)+\tilde q_-(k).
\label{WHKgdecomp}
$$
Для достаточно «хорошей» функции $\tilde q(k)$ функции $\tilde q_\pm(k)$ явно находятся в виде
\eq$$
\tilde q_\pm(k)=\pm\int^\infty_{-\infty}{dk'\over2\pi i}\,{\tilde q(k')\over k'-k\mp i0}.
\label{tildeq-split}
$$
Умножая (\ref{WHeqk}) на $\tilde K_-(k)$, получаем
\eq$$
\tilde K_+(k)\tilde f_+(k)+\tilde K_-(k)\tilde f_-(k)=\tilde q_+(k)+\tilde q_-(k).
\label{HWeqdecomp}
$$
Перенесем все функции, не имеющие особенностей в верхней полуплоскости в левую часть:
$$
\tilde K_+(k)\tilde f_+(k)-\tilde q_+(k)=\tilde q_-(k)-\tilde K_-(k)\tilde f_-(k).
$$
Левая часть не имеет особенностей в верхней полуплоскости, а правая "--- в нижней. Таким образом, обе части этого уравнения не имеют особенностей. При некоторых дополнительных ограничениях на рост функций (которые надо проверять отдельно в каждом конкретном случае), отсюда следует, что
\eq$$
\tilde K_+(k)\tilde f_+(k)=\tilde q_+(k),
\qquad
\tilde K_-(k)\tilde f_-(k)=\tilde q_-(k).
\label{WHeqsplitted}
$$
Окончательно,
\eq$$
f(x)=\int^\infty_{-\infty}dk\,{\tilde q_+(k)\over\tilde K_+(k)}e^{-ikx},
\qquad x>0.
\label{WHsolution}
$$
Построение функций, аналитических в верхней или нижней полуплоскости составляет некоторое искусство, но для разумных функций, выражаемых через элементарные функции, это задача вполне решаемая (сводящаяся, более или менее, к подсчету полюсов и нулей).

В задаче, которую мы рассматриваем, уравнение лучше решать не совсем прямо. Это позволит упростить задачу при $b\gg1$, что соответствует физическому условию $H\ll\eF$. Положим
$$
f_i(x)=\rho_i(x-b).
$$
Тогда
\eq$$
\tilde K(k)=e^{-|k|},
\qquad
\tilde g_0(k)=e^{ikb-|k|/2},
\qquad
\tilde g_1(k)=e^{ikb-ik/g-S|k|}.
\label{Kgik-def}
$$
Перепишем уравнение (\ref{WHeqk}) в виде
\eq$$
\tilde f_{i+}(k)+{\tilde f_{i-}(k)\over1+\tilde K(k)}={\tilde g_i(k)\over1+\tilde K(k)},
\label{WHeqk1}
$$
а потом сделаем обратное преобразование Фурье:
\eq$$
f_i(x)+\int^0_{-\infty}{dx'\over2\pi}\,R(x-x')f_i(x')=h_i(x),
\label{WHeq1}
$$
где
\eq$$
\Gathered{
R(x)=\int^\infty_{-\infty}dk\,e^{-ikx}\left({1\over1+\tilde K(k)}-1\right)=-\int^\infty_{-\infty}dk\,{e^{-ikx}\over1+e^{|k|}},
\\
h_0(x)={\pi\over\ch\pi(x-b)},
\qquad
h_1(x)=\int^\infty_{-\infty}dk\,e^{-ik(x-b+g^{-1})}{e^{-(2S-1)|k|/2}\over2\ch{k\over2}}.
}\label{Rhi-def}
$$
При $b\gg1$ для вычисления $f_0(x)$ при $x<0$ можно использовать приближение
\eq$$
h_0(x)\simeq2\pi e^{\pi(x-b)}.
\label{h0-approx}
$$
Значит, $\tilde f_{0-}(k)\sim e^{-\pi b}$. Так как $\tilde K(0)=\tilde g_i(0)=1$, имеем
$$
2\tilde f_{i+}(0)+\tilde f_{i-}(0)=1
$$
Отсюда получаем
$$
{H\over4\eF}=M_\el={1\over2}-\int^\infty_{-b}{dv\over2\pi}\,\rho_0(v)={1\over2}-\tilde f_{0+}(0)={1\over2}\tilde f_{0-}(0)\sim e^{-\pi b}.
$$
Точный ответ требует аккуратного решения уравнения методом Винера"--~Хопфа и дает
\eq$$
{H\over2\eF}=e^{-\pi b}\left(2\over\pi e\right)^{1/2}.
\label{bHrel}
$$

Получим еще один несложный результат при $S=1/2$. Рассмотрим предел малых полей $H$, когда $b$ велико, но все же не равно бесконечности. Тогда, помимо (\ref{h0-approx}) мы имеем
\eq$$
h_1(x)\simeq2\pi e^{\pi(x-b)+\pi/g}.
\label{h1-approx}
$$
Отсюда немедленно находим
$$
{\tilde f_{1-}(k)\over\tilde f_{0-}(k)}=e^{\pi/g},
$$
а значит для вклада примеси в магнитную восприимчивость имеем
\eq$$
\chi_\im={M_\im\over H}={e^{\pi/g}\over4\eF},
\quad
\text{если $S=1/2$.}
\label{chim-fin}
$$

Я не буду приводить явных формул для решения уравнений (\ref{b2int0}), (\ref{b2int1}) методом Винера"--~Хопфа (подробно этот вывод изложен в~\cite{AFL}). Приведу лишь ответ. При конечном поле намагниченность дается формулой~\cite{FW}
\eq$$
M_\im(H)=S-{1\over2}
+{i\over4\pi^{3/2}}\int^\infty_{-\infty}d\omega\,
\left(H\over T_H\right)^{-2i\omega}
{\Gamma(i\omega+1/2)\over\omega+i0}
\left(-i\omega+0\over e\right)^{-2iS\omega}
\left(i\omega+0\over e\right)^{i(2S-1)\omega},
\label{MHrel}
$$
где переменная $\omega$ есть ни что иное как $k/2\pi$, а
\eq$$
T_H=\left(2\pi\over e\right)^{1/2}{2\eF\over\pi}e^{-\pi/g}\sim T_K.
\label{THdef}
$$
Это выражение допускает разложения при $H\gg T_H$ (что можно сопоставить с рядами по теории возмущений) и при $H\ll T_H$ (что недостижимо по теории возмущений). В лидирующих асимптотиках имеем
\eq$$
M_\im(H)=S\left(1-{1\over\log(H/T_H)^2}-{\log\log(H/T_H)^2\over\log^2(H/T_H)^2}+\cdots\right),
\qquad
H\gg T_H,
\label{MlargeH}
$$
и
\eq$$
\Gathered{
M_\im(H)=(S-1/2)\left(1+{1\over\log(T_H/H)^2}-{\log\log(T_H/H)^2\over\log^2(T_H/H)^2}+\cdots\right),
\qquad
H\ll T_H,\quad S>1/2;
\\
M_\im(H)=\sqrt{2\over\pi e}{H\over T_H}+\cdots,
\qquad
H\ll T_H,\quad S=1/2.
\label{MsmallH}
}
$$

Теперь кратко коснемся проблемы вычисления термодинамических характеристик при конечных температурах. Здесь есть несколько особенностей.

Прежде всего, в отличие от основного состояния, корни уравнений Бете $v_i$ могут быть не только вещественными, но и комплексными. Именно, при $N\to\infty$ корни уравнений Бете образуют {\it $p$"=струны\/} ($p=1,2,\ldots$):
\eq$$
v^p_{j,k}=v^p_j+{i\over2}(p+1-2k)+O(e^{-\const N}),
\qquad
k=1,2,\ldots,p.
\label{strings}
$$
Вещественные корни соответствуют 1"=струнам.

Можно показать, что если подставить струнное решение в уравнения Бете, то правая часть обратиться в нуль или бесконечность, в то время как левая будет стремиться к нулю или, соответственно, бесконечности при $N\to\infty$. Чтобы построить уравнения для вещественных частей $v^p_j$ струн $v^p_{j,k}$, следует перемножить $p$ уравнений Бете для всех значений $k$. После этого уравнения Бете примут вид
\Gather$$
e^{ip_aL}=e^{iJS}\prod^\infty_{p=1}\prod^{n_p}_{j=1}e_p(v^p_j),
\label{b1strings}
\\
(e_p(v^p_j))^Ne_{p,2S}(v^p_j+g^{-1})
=\prod^\infty_{p'=1}\prod^{n_m}_{j'=1}
E_{pp'}(v^p_j-v^{p'}_{j'}),
\label{b2strings}
$$
где
\eq$$
\Gathered{
e_p(v)=-e^{iP_p(v)}={v+ip/2\over v-ip/2},
\qquad
e_{p,S}(v)=-e^{i\Delta_{p,S}(v)}=\prod^p_{k=1}{v+{i\over2}(p+1-2k)+iS\over v+{i\over2}(p+1-2k)-iS},
\\
E_{pp'}(v)=e^{i\Phi_{pp'}(v)}=e_{|p-p'|}(v)e^2_{|p-p'|+2}(v)\ldots e^2_{p+p'-2}(v)e_{p+p'}(v).
}\label{epEpp-def}
$$
Очевидно,
$$
S^z={N\over2}-\sum^\infty_{p=1}pn_p.
$$
Как и раньше, уравнения следует прологарифмировать и перейти к непрерывному пределу. Однако при ненулевой температуре состояния заполняются неплотно, поэтому если в левой части интегральных уравнений возникают {\it плотности состояний\/} $\rho_p(v)$, то в правой (под интегралами) только {\it плотности частиц\/} $\rho^\bullet_p(v)$. Разность $\rho^\circ_p(v)=\rho_p(v)-\rho^\bullet_p(v)$ представляет собой {\it плотность дырок}. Плотности состояний однозначно определяются плотностями частиц:
\eq$$
\rho_p(v)=P_p(v)+{1\over N}\Delta_{p,S}(v)+\sum_{p'}\int{dv'\over2\pi}\,\Phi_{pp'}(v-v')\rho^\bullet_{p'}(v').
\label{Bethe-inteq}
$$
Так как плотности не определяют состояний однозначно, с ними связана энтропия
\Align$$
S
&=\log\prod_{p,v}
{(N\rho_p(v){dv\over2\pi})!\over(N\rho^\bullet_p(v){dv\over2\pi})!(N\rho^\circ_p(v){dv\over2\pi})!}
\nonumber
\\
&=N\sum^\infty_{p=1}\int {dv\over2\pi}\,(\rho_p(v)\log\rho_p(v)-\rho^\bullet_p(v)\log\rho^\bullet_p(v)-\rho^\circ_p(v)\log\rho^\circ_p(v)).
\label{entropy}
$$
Правильная система уравнений на плотности частиц представляет собой условие минимума свободной энергии
$$
F[\rho^\bullet]=E-TS-HS^z
$$
Это дает систему нелинейных интегральных \emph{уравнений Янга"--~Янга}:
\eq$$
\epsilon_p(v)+\sum_{p'}\int{dv'\over2\pi}\Phi_{pp'}(v-v')\log(1+e^{-\epsilon_{p'}(v')})=T^{-1}\left(P_p(v)+{1\over N}\Delta_{p,S}(v)+pH\right),
\label{YYeq}
$$
где \emph{псевдоэнергии} $\epsilon_p(v)$ определяются соотношением
$$
{\rho^\bullet_p(v)\over\rho_p(v)}={1\over e^{\epsilon_p(v)}+1}.
$$
Эти уравнения можно решить аналитически в пределе низких или высоких температур или численно при конечных температурах. Термодинамические величины выражаются через псевдоэнергии.

\def\refname{\normalsize Литература}
\begin{thebibliography}{9}

\bibitem{AFL}N.~Andrei, K.~Furuya, and J.~H.~Lowenstein, {\it Reviews of Modern Physics}, {\bf55} (1983) 331.

\bibitem{FW}V.~Fateev, P.~Wiegmann, {\it Phys.\ Lett.~A} {\bf81} (1981) 179.

\end{thebibliography}

\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip
{\bf1.}~Выведите формулу (\ref{Esp-leading}) из выражения (\ref{Espeldef}).

{\bf2.}~Покажите, что $e^{-\pi|\omega|}=\left(i\omega+0\over e\right)^{i\omega}\left(-i\omega+0\over e\right)^{-i\omega}$. Затем решите уравнение (\ref{WHeq1}) при $i=0$ в приближении (\ref{h0-approx}) методом Винера"--~Хопфа и выведите (\ref{bHrel}). Убедитесь в сходимости интегралов.

{\bf3.}~Решите уравнение (\ref{b2int1}) методом Винера"--~Хопфа и выведите формулу (\ref{MHrel}) для примесной намагниченности. Убедитесь в сходимости интегралов.

{\bf4.}~Получите первые нетривиальные слагаемые в разложениях (\ref{MlargeH}), (\ref{MsmallH}).

{\bf5$^*$.}~Получите уравнения Бете (\ref{b1strings})"--~(\ref{epEpp-def}) для «струнных» решений.


\end{document}
