% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,hyperref}
\usepackage[cm]{fullpage}
\usepackage{tikz}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

\allowdisplaybreaks

\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}}
\long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}}
\def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}}
\def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}}
\def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}}
\def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}}
\def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}}
\def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}}
\def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}}
\def\Multline#1$$#2$${\begin{multline#1}#2\end{multline#1}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
%\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
%\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
%\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
%\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
%\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}}
\def\bJ{{\text{\bfseries\itshape J}}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\cH{{\cal H}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\ta{{\tilde a}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\eff{{\rm eff}}
\def\const{\mathinner{\rm const}}

\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.3truecm> [0.1,0.3] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother


\begin{document}

\centerline{\bf Лекция~8}
\centerline{\bf Спиновая цепочка Гайзенберга и ее скейлинговый предел}
\bigskip
Рассмотрим цепочку из $N$ спинов $S=1/2$, то есть пространство
\eq$$
\cH_N=\underbrace{\C^2\otimes\cdots\otimes\C^2}_N,
\label{HNspace}
$$
на котором действует гамильтониан
\eq$$
H_{XYZ}=-{1\over2}\sum^N_{n=1}
\left(J_x\sigma^x_n\sigma^x_{n+1}
+J_y\sigma^y_n\sigma^y_{n+1}
+J_z\sigma^z_n\sigma^z_{n+1}\right).
\label{HXYZgen}
$$
Здесь $\sigma^i_n$ действует на $n$-ю компоненту в $\cH_N$, причем $(N+1)$-я компонента отождествляется с первой. Такая модель называется {\it XYZ"=моделью Гайзенберга\/} с циклическими граничными условиями. В случае $J_x=J_y$ модель называют {\it XXZ"=моделью\/}, а в случае $J_x=J_y=\pm J_z$ "--- {\it XXX"=моделью}. Мы будем считать $N$ четным числом.

Поскольку физика не зависит от общего множителя в гамильтониане, обычно вводят обозначения
\eq$$
\Gamma=J_y/J_x,
\qquad
\Delta=J_z/J_x
$$
При этом принимается, что
$$
J_x>0,
\qquad
|\Gamma|\le1,
\qquad
|\Delta|\le|\Gamma|
\quad\text{или}\quad
|\Delta|\ge1.
$$
Без ограничения общности мы положим $J_x=1$. Гамильтониан записывается в виде
\eq$$
H_{XYZ}=-{1\over2}\sum^N_{n=1}
\left(
(1+\Gamma)(\sigma^+_n\sigma^-_{n+1}+\sigma^-_n\sigma^+_{n+1})
+(1-\Gamma)(\sigma^+_n\sigma^+_{n+1}+\sigma^-_n\sigma^-_{n+1})
+\Delta\sigma^z_n\sigma^z_{n+1}
\right).
\label{HXYZ}
$$
Здесь
\eq$$
\sigma^+={\sigma^x+i\sigma^y\over2}=\pMatrix{0&1\\0&0},
\qquad
\sigma^-={\sigma^x-i\sigma^y\over2}=\pMatrix{0&0\\1&0}
\label{sigmapm}
$$
"--- операторы повышения и понижения спина.

Применим к этому гамильтониану преобразование Йордана"--~Вигнера:
\eq$$
\sigma^z_n=2a^+_na_n-1,
\qquad
\sigma^+_n=a^+_n\exp\biggl(i\pi\sum^{n-1}_{j=1}a^+_ja_j\biggr),
\qquad
\sigma^-_n=a_n\exp\biggl(-i\pi\sum^{n-1}_{j=1}a^+_ja_j\biggr),
\label{JW}
$$
где $a_n$, $a^+_n$ "--- фермионные операторы:
$$
a^+_ma_n+a_na^+_m=\delta_{mn},
\qquad
a_ma_n+a_na_m=a^+_ma^+_n+a^+_na^+_m=0.
$$
Обратное преобразование имеет вид
\eq$$
a_n=\sigma^-_n\prod^{n-1}_{j=1}(-\sigma^z_j),
\qquad
a^+_n=\sigma^+_n\prod^{n-1}_{j=1}(-\sigma^z_j).
\label{JWinv}
$$
Получаем
\Align$$
H_{XYZ}
&=-\sum^N_{n=1}
\biggl({1+\Gamma\over2}(a^+_{n+1}a_n+a^+_na_{n+1})
+{1-\Gamma\over2}(a^+_na^+_{n+1}-a_na_{n+1})
\nonumber
\\
&\quad
+2\Delta(a^+_na_na^+_{n+1}a_{n+1}-a^+_na_n)\biggr).
\label{HXYZfermion}
$$

Рассмотрим сначала случай {\it XY"=модели}, т.~е.\ модели с $\Delta=0$. В этом случае гамильтониан квадратичен по фермионам и легко диагонализуется. Положим
\eq$$
a_n={1\over N^{1/2}}\sum_ka_ke^{ikn}.
\label{fourier}
$$
Тогда
\eq$$
H_{XY}=-\sum_k\left(
(1+\Gamma)\cos k\cdot a^+_ka_k
+i{1-\Gamma\over2}\sin k\cdot(a^+_ka^+_{-k}+a_ka_{-k})
\right).
\label{HXYak}
$$
Гамильтонианы такого вида диагонализуются с помощью преобразования Боголюбова. Для начала рассмотрим простой случай $\Gamma=1$. Очевидно, зона Бриллюэна $-\pi\le k<\pi$ разбивается на две области: 1)~$-{\pi\over2}\le k<{\pi\over2}$ и 2)~$-\pi\le k<-{\pi\over2}$ или ${\pi\over2}\le k<\pi$. Очевидно, энергии в первой области отрицательны и эта часть зоны будет полностью заполнена: $k_F=\pi/2$. По"=другому, можно сказать так: основное состояние системы $|0\rangle$ удовлетворяет соотношению $a_k|0\rangle=0$ во второй области и $a^+_k|0\rangle=0$ в первой области. Это диктует следующее преобразование Боголюбова:
\eq$$
b_k=a_{k-\pi},
\qquad
b^+_k=a^+_{k-\pi},
\qquad
b'_k=ia^+_k,
\qquad
b^{\prime+}_k=-ia_k,
\qquad
-{\pi\over2}\le k<{\pi\over2},
\label{Boglolyubov-Gamma=1}
$$
считая, что $k$ определено по модулю~$2\pi$. Множители $\pm i$ введены произвольно, чтобы упростить дальнейшие формулы. Тогда гамильтониан примет вид
$$
H_{XY}=\sum_{-\pi/2\le k<\pi/2}2\cos k\>(b^+_kb_k+b^{\prime+}_kb'_k).
$$
Операторы $b^+_k$, $b_k$ являются операторами рождения"=уничтожения частиц, а $b^{\prime+}_k$, $b'_k$ "--- античастиц.

Построим преобразование Боголюбова в общем случае так, чтобы оно переходило в преобразование (\ref{Boglolyubov-Gamma=1}) в пределе $\Gamma\to1$. Положим
\eq$$
a_k=\alpha'_kb'_k+\beta'_kb^{\prime+}_{-k},
\qquad
a^+_k=\beta^{\prime*}_kb'_{-k}+\alpha^{\prime*}_kb^{\prime+}_k,
\qquad
|\alpha'_k|^2+|\beta'_k|^2=1,
\qquad
\alpha'_k\beta'_{-k}+\alpha'_{-k}\beta'_k=0.
\label{Bogolyubov}
$$
Подставляя (\ref{Bogolyubov}) в~(\ref{HXYak}), и требуя, чтобы члены, пропорциональные $b^{\prime+}b^{\prime+}$ и $b'b'$ обратились в нуль, получаем
\eq$$
\alpha'_k=-\sin{\kappa\over2},
\qquad
\beta'_k=i\cos{\kappa\over2},
\qquad
\tg\kappa={1-\Gamma\over1+\Gamma}\tg k.
\label{bglsolution}
$$
Это решение хорошо определено в первой половине, $-\pi/2<k<\pi/2$, зоны Бриллюэна. Оставшуюся половину перенесем в эту же область, и заменой $\kappa\to\kappa-\pi$ получим
\eq$$
\alpha_k=\cos{\kappa\over2},
\qquad
\beta_k=i\sin{\kappa\over2}.
\label{bglsolutionprime}
$$
Гамильтониан равен
\eq$$
H_{XY}=\sum_{-\pi/2<k<\pi/2}\epsilon_k(b^+_kb_k+b^{\prime+}_kb'_k),
\qquad
\epsilon_k=\sqrt{(1+\Gamma)^2\cos^2k+(1-\Gamma)^2\sin^2k}.
\label{HXYbk}
$$
В системе имеется массовая щель величины $(1-|\Gamma|)$. В пределе $\Gamma\to\pm1$ массовая щель исчезает и система попадает в критическую точку, а вблизи критической точки можно осуществить скейлинговый предел $a\to0$ ($a$ "--- параметр решетки) при соответствующем перемасштабировании остальных параметров.

Без ограничения общности можно ограничиться пределом $\Gamma\to1$. Положим $pa=\pi/2-|k|$. Тогда при $|p|a\ll1$ имеем
\eq$$
\epsilon(p)=2a\sqrt{m^2+p^2},
\qquad m={1-\Gamma\over2a}.
\label{FFscaling}
$$
Гамильтониан $H_{FF}={1\over2a}H_{XY}$ представляет собой гамильтониан свободных дираковских фермионов.

Рассмотрим преобразование Боголюбова вблизи точек $\kappa=\pm\pi/2$. Пусть, например $k=\pi/2-pa$. Из (\ref{bglsolution}) мы видим, что при $\Gamma\to1$ параметр $\kappa$ определяется формулой
$$
\ctg\kappa={|p|\over m},
$$
и преобразование Боголюбова тривиально всюду кроме области $p\sim m$. Нас, конечно, интересует область $pa\ll1$, но при этом величина импульса $p$ может быть и много больше массы~$m$. В этой области $\kappa=0$ и преобразование принимает простой вид
\eq$$
\Aligned{
a_{\pi/2-pa}
&=ib^{\prime+}_{-\pi/2+pa},
&\qquad
a_{\pi/2+pa}
&=b_{-\pi/2+pa},
\\
a_{-\pi/2+pa}
&=ib^{\prime+}_{\pi/2-pa},
&\qquad
a_{-\pi/2-pa}
&=b_{\pi/2-pa},
\qquad
m\ll p\ll a^{-1}.\span\omit
}\label{bglsollim}
$$

Теперь исследуем вклад взаимодействия $\Delta\ne0$ в скейлинговом пределе. Удобно стартовать со случая $m=0$ ($\Gamma=1$). Прежде всего, с помощью $b_{\pm\pi/2+pa}$, $b'_{\pm\pi/2+pa}$ надо ввести стандартные релятивистские фермионные операторы. В обозначениях лекции~7 вейлевские фермионы должны иметь вид
\Align$$
{\psi_R(x)\over\sqrt{Na}}
&=\int^\infty_0{m_0^{1/2}dp\over2\pi\sqrt{2p}}\,
(b_{-\pi/2+pa}\chi_\lambda(x)+b^{\prime+}_{-\pi/2+pa}\chi_{\lambda+i\pi}(x))
\biggr|_{m_0\to0\hfill\atop m_0e^\lambda=2p}
\notag\\
&=\pMatrix{1\\0}\int^\infty_0{dp\over2\pi}\,(b_{-\pi/2+pa}e^{ipx}+ib^{\prime+}_{-\pi/2+pa}e^{-ipx})
=\pMatrix{1\\0}\int^\infty_0{dp\over2\pi}\,(a_{\pi/2+pa}e^{ipx}+a_{\pi/2-pa}e^{-ipx}),
\notag\\
{\psi_L(x)\over\sqrt{Na}}
&=\int^0_{-\infty}{m_0^{1/2}dp\over2\pi\sqrt{2|p|}}\,
(b_{\pi/2+pa}\chi_\lambda(x)+b^{\prime+}_{\pi/2+pa}\chi_{\lambda+i\pi}(x))
\biggr|_{m_0\to0\hfill\atop m_0e^{-\lambda}=2|p|}
\notag\\
&=\pMatrix{0\\i}\int^0_{-\infty}{dp\over2\pi}\,(b_{\pi/2+pa}e^{ipx}+ib^{\prime+}_{\pi/2+pa}e^{-ipx})
=\pMatrix{0\\i}\int^0_{-\infty}{dp\over2\pi}\,(a_{-\pi/2+pa}e^{ipx}+a_{-\pi/2-pa}e^{-ipx}),
\notag
$$
Полный дираковский фермион имеет вид
$$
\psi(x)=\psi_R(x)+\psi_L(x)=\pMatrix{\psi_+(x)\\i\psi_-(x)},
$$
где
\eq$$
\psi_\pm(x)=\int^\infty_{-\infty}{dp\over2\pi}\,a_\pm(p)e^{ipx}
\qquad
a_\pm(p)=(Na)^{1/2}a_{\pm\pi/2+pa},
\label{psi_pm-def}
$$
записываются как обычные нерелятивистские фермионы через осцилляторы~$a_\pm(p)$. Заметим, что исходные фермионы $a_n$ выражаются через них как
$$
a_n=a^{1/2}(i^n\psi_-(an)+i^{-n}\psi_+(an)).
$$

Теперь перепишем гамильтониан в виде
\eq$$
H_\Delta\equiv{1\over2a}(H_{XXZ}+\Delta N/2-2\Delta M)
=H_{FF}-{\Delta\over Na}\sum_q\rho_q\rho_{-q}\cos q,
\label{HXXZbk}
$$
где
\eq$$
M=\rho_0=\sum_n a^+_na_n=\sum_ka^+_ka_k
\label{M-def}
$$
"--- фермионное число, а
\eq$$
\rho_q=\sum_ka^+_{k+q}a_k
=\sum_na^+_na_n e^{iqn}
\label{rho_q-def}
$$
"--- фурье"=образ соответствующего тока. Фермионное число, строго говоря, сохраняется точно только в точке $\Gamma=1$. Но оно также сохраняется в скейлинговом пределе, так что вычитание его из гамильтониана в этом пределе ничего не меняет. Основной вклад во взаимодействие будет вносить область наименьших энергий вблизи точек $k=\pm\pi/2$. Поэтому будут иметь значение $\rho_q$ с параметром $q$ в окрестности точек $0$ и~$\pi$. Запишем $\rho_q$ в виде
\eq$$
\rho_{pa}=\rho_{++}(p)+\rho_{--}(p),
\qquad
\rho_{\pi+pa}=\rho_{+-}(p)+\rho_{-+}(p),
\qquad
\rho_{\alpha\beta}(p)=\int{dp'\over2\pi}\,a^+_\alpha(p'+p)a_\beta(p').
\label{rho_pm-def}
$$
Подставляя в (\ref{HXXZbk}), получим
\Multline$$
H_\Delta=H_{FF}-\Delta\int{dp\over2\pi}(\rho_{++}(p)+\rho_{--}(p))(\rho_{++}(-p)+\rho_{--}(-p))
\\
+\Delta\int{dp\over2\pi}(\rho_{+-}(p)+\rho_{-+}(p))(\rho_{+-}(-p)+\rho_{-+}(-p)).
\notag
$$
Переходя к координатному представлению, получаем
\Align$$
H_\Delta
&=H_{FF}-\Delta\int dx\,((\psi^+_+\psi_+)^2+(\psi^+_-\psi_-)^2+2\psi^+_+\psi_+\psi^+_-\psi_-
-\psi^+_-\psi_+\psi^+_+\psi_--\psi^+_+\psi_-\psi^+_-\psi_+)
\notag\\
&=H_{FF}-4\Delta\int dx\,\psi^+_+\psi_+\psi^+_-\psi_-.
\label{H_Delta-fin}
$$
Здесь мы использовали коммутационные соотношения $\psi^+_\alpha(x)\psi_\beta(x)+\psi_\beta(x)\psi^+_\alpha(x)=a^{-1}\delta_{\alpha\beta}$. В частности, $(\psi^+_\alpha\psi_{-\alpha})^2=(\psi^+_\alpha)^2\psi_{-\alpha}^2=0$.

Сравнивая (\ref{H_Delta-fin}) с формулами для модели Тирринга, заключаем, что
\eq$$
g=-2\Delta
\qquad
(\Delta\ll1).
\label{gDeltapert}
$$
Понятно, что эта формула верна только при малых $\Delta$. Достаточно вспомнить, что массовый член $\bpsi\psi$ в модели Тирринга не имеет размерности массы, так что скейлинговый закон (\ref{FFscaling}) заведомо не выполняется при $\Delta\ne0$.

При выводе этих формул я немного обманул вас. Дело в том, что произведение $\psi^+_\alpha\psi_\alpha$ содержит регулярный вклад. Действительно, если мы бозонизуем фермионы с помощью конструкции из лекции~2 при $g\to0$, мы получим
$$
\Aligned{
\psi^+_+(z')\psi_+(z)
&={i\over2\pi}\left({1\over z'-z}-i\d\phi(x)+O(z'-z)\right),
\\
\psi^+_-(\bar z')\psi_-(\bar z)
&=-{i\over2\pi}\left({1\over\bar z'-\bar z}-i\bar\d\phi(x)
+O(\bar z'-\bar z)\right).
}
$$
Это приводит к тому, что члены $(\psi^+_\alpha\psi_\alpha)^2$ дают вклады в гамильтониан, пропорциональные $(\d_x\phi)^2$, что приводит к перенормировке пространственной компоненты импульса~\cite{LP}.

Можно ли установить точную связь между параметром $g$ модели Тирринга и параметром $\Delta$ XYZ"=модели? Это возможно, поскольку XYZ"=модель допускает точное решение~\cite{Baxter}. К сожалению, это решение очень сложно, и я не могу его здесь привести. Из решения можно извлечь корреляционную длину $r_c$, которая при $\Gamma\to1$ пропорциональна
\eq$$
r_c\sim\left(1-\Delta^2\over1-\Gamma\right)^{1/(2-2\mu/\pi)},
\qquad
\Delta=-\cos\mu.
\label{rc}
$$
Вспоминая, что $1-\Gamma$ пропорциональна затравочной массе $m_0$ в модели Тирринга, а $m_0\sim m^{2-\beta^2}$, где $m$ "--- масса физических возбуждений, получаем
\eq$$
\beta^2={2\mu\over\pi},
\qquad
{g\over\pi}={\pi/2-\mu\over\mu}.
\label{gDelta}
$$
При $\Delta\to0$ ($\mu\to\pi/2$) воспроизводится (\ref{gDeltapert}).

Теперь попробуем сопоставить операторам на решетке операторы в теории поля. Для этого удобнее пользоваться моделью синус"=Гордона. Вспомним, что в гауссовой модели (соответствующей XXZ"=случаю) имеется симметрия
$$
\phi\to\phi+\alpha,
$$
где $\alpha$ "--- произвольная константа. В модели синус"=Гордона эта симметрия нарушается и $\alpha$ должно быть целым кратным $2\pi/\beta$:
\eq$$
\alpha={2\pi n\over\beta}.
\label{alphadisc}
$$
В XXZ"=модели тоже имеется непрерывная симметрия
$$
\sigma^\pm\to e^{\pm i\lambda}\sigma^\pm,
\qquad
\sigma^z\to\sigma^z.
$$
Эта симметрия отвечает сохранению $z$"=проекции полного спина
\eq$$
S^z={1\over2}\sum^N_{n=1}\sigma^z_n=M-{N\over2}.
\label{Sz}
$$
При $\Gamma<1$ член, пропорциональный
$$
\sum_n(\sigma^+_n\sigma^+_{n+1}+\sigma^-_n\sigma^-_{n+1})
$$
и отвечающий массовому члену в модели Тирринга, то есть косинусу в модели синус"=Гордона, нарушает эту симметрию до
\eq$$
\lambda=\pi n.
\label{lambdadisc}
$$
Сравнивая (\ref{alphadisc}) с~(\ref{lambdadisc}), заключаем, что
\eq$$
\alpha={2\lambda\over\beta}
$$
Отсюда следует, что
$$
\sigma^\pm_n\sigma^\pm_{n+1}\sim a^{\beta^2}e^{\pm i\beta\phi}.
$$
Поскольку оператор $\sigma^\pm_n$ коммутирует с оператором $\sigma^\pm_m\sigma^\pm_{m+1}$ ($n\ne m,m+1$), то соответствующий оператор в теории поля должен быть ему взаимно"=локален. Естественно предположить, что
$$
\sigma^\pm_n\sim a^{\beta^2/4}e^{\pm i{\beta\over2}\phi}.
$$

Общие допустимые экспоненциальные операторы в теории имеют вид
\eq$$
V_{m,n}(x)=\exp\left(im{\beta\over2}\phi+in{1\over2\beta}\tilde\phi\right),
\qquad
m,n\in\Z.
\label{genVmn}
$$
В частности, оператор $\sigma^z_n$ пропорционален линейной комбинации $a\d_t\phi$ и $(-1)^na^{1/\beta^2}(V_{0,2}-V_{0,-2})$. Очень подробно связь между решеточными и теоретико"=полевыми переменными описана в работе~\cite{LT}.

Решение XXZ"=модели см.\ в следующей лекции.



\def\refname{\normalsize Литература}
\begin{thebibliography}{9}

\bibitem{LP}{\selectlanguage{english}A.~Luther and I.~Peschel, Phys.\ Rev.~B12 (1975) 3908; A.~Luther, Phys.\ Rev.~B14 (1976) 2153.}

\bibitem{Baxter}Р.~Бэкстер, {\it Точно решаемые модели в статистической механике}, М.~<<Мир>>, 1985.

\bibitem{LT}{\selectlanguage{english}S.~Lukyanov and V.~Terras, Nucl.\ Phys.~B654 (2003) 323 [arXiv:hep-th/0206093].}

\end{thebibliography}


\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip
{\bf1.}~Выведите~(\ref{HXYZfermion}).

{\bf2.}~XY"=цепочка в магнитном поле. Найдите спектр гамильтониана
$$
H=-{1\over2}\sum^N_{n=1}(\sigma^x_n\sigma^x_{n+1}+\Gamma\sigma^y_n\sigma^y_{n+1}
+2h\sigma^z_n).
$$
Найдите критические значения внешнего поля $h$ в зависимости от $\Gamma$, при которых исчезает щель в спектре.

{\bf3.}~Аналогично рассуждению (\ref{FFscaling})"--~(\ref{rho_q-def}) разберите случай $\Gamma\to-1$.

{\bf4.}~Покажите, что все операторы~(\ref{genVmn}) взаимно"=локальны, либо взаимно полулокальны, то есть любое произведение $V_{m_1n_1}(x_1)V_{m_2n_2}(x_2)$ не меняется при обходе $x_2$ вокруг $x_1$ в комплексной плоскости, либо умножается на~$-1$.

{\bf5*.}~В условиях задачи~2 опишите систему в окрестности критических линий. Покажите, что критическое поведение при $|\Gamma|<1$ описывается свободным \emph{майорановским} фермионом.


\end{document}
