% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\section{\texorpdfstring{$O(N)$"=модель: интегрируемость и точная $S$"=матрица}{O(N)-model: integriruemost i tochnaya S-matrica}}
\label{lec-O(N)-integrability}
\setcounter{page}1

Рассмотрим $O(N)$"=модель с действием
$$
S[\bn,\omega]
={1\over2g}\int d^2x\,((\d_\mu\bn)^2-\omega(\bn^2-1))
$$
и классическими уравнениями движения:
$$
\d^\mu\d_\mu\bn+\omega\bn=0,
\qquad
\bn^2=1.
$$
В координатах светового конуса $z$, $\bz$ имеем для действия
\eq$$
S[\bn,\omega]
=-{2\over g}\int d^2x\,
\left(\d\bn\bd\bn+{\omega\over4}(\bn^2-1)\right),
\label{ONaction}
$$
а для уравнений движения
\eq$$
4\d\bd\bn=\omega\bn,
\qquad
\bn^2=1.
\label{ONeqmotion}
$$
Действие (\ref{ONaction}) инвариантно относительно {\it псевдоконформных\/} преобразований
\eq$$
\bn(z,\bz)\to\bn(f_1(z),f_2(\bz)),
\qquad
\omega(z,\bz)\to f'_1(z)f'_2(\bz)\omega(f_1(z),f_2(\bz)).
\label{pseudoconformal}
$$
Эти преобразования включают, в частности, трансляции
$$
f_1(z)=z+c,
\qquad
f_2(\bz)=\bz+\bar c,
$$
масштабное преобразование и преобразование Лоренца в виде
$$
f_1(z)=\lambda z,
\qquad
f_2(\bz)=\bar\lambda\bz,
$$
и преобразование инверсии
$$
f_1(z)=1/z,
\qquad
f_2(\bz)=1/\bz.
$$
В пространстве Минковского параметры с черточкой и без вещественны и независимы, тогда как в эвклидовом пространстве они комплексные и комплексно"=сопряженные друг другу.

При переходе к эвклидову пространству трансляции, масштабное преобразование и инверсия образуют глобальную конформную группу, состоящую из конформных преобразований, взаимнооднозначных на сфере $\C\cup\{\infty\}$. Локальные конформные преобразования, то есть преобразования, взаимнооднозначные только на каких-то областях, даются в этом случае произвольными аналитическими функциями $f(z)\equiv f_1(z)=\overline{f_2(\bz)}$.

Ну а пока продолжим рассмотрение в пространстве Минковского. Тензор энергии"=импульса имеет вид
$$
T_{zz}={1\over g}(\d\bn)^2,
\qquad
T_{\bz\bz}={1\over g}(\bd\bn)^2,
\qquad
T_{z\bz}=T_{\bz z}=-{\omega\over4g}(\bn^2-1).
$$
На уравнениях движения компонента $T_{z\bz}=T_{\bz z}$ обращается в нуль, т.~е.\ $T^\mu_\mu=0$, что выражает масштабную инвариантность модели. Сохранение энергии"=импульса записывается в виде
\eq$$
\bd(\d\bn)^2=0,
\qquad
\d(\bd\bn)^2=0.
\label{im1classical}
$$
В большинстве двумерных теорий энергия и импульс составляют единственные локальные интегралы движения, однако в случае $O(N)$"=модели это не так. Во"=первых, есть тривиальный интеграл движения в виде квадрата тензора энергии"=импульса, следующий из конформной симметрии:
\eq$$
\bd(\d\bn)^4=0,
\qquad
\d(\bd\bn)^4=0.
\label{im-T2}
$$
Во"=вторых, нетрудно получить соотношения
\eq$$
4\bd(\d^2\bn)^2
=\d(\omega(\d\bn)^2)-3\d\omega(\d\bn)^2,
\qquad
4\d(\bd^2\bn)^2
=\bd(\omega(\bd\bn)^2)-3\bd\omega(\bd\bn)^2.
\label{im2classical}
$$
Сейчас мы покажем, что это уравнение означает существование дополнительного интеграла движения. Поскольку $(\d\bn)^2$ сохраняется, с помощью псевдоконформного преобразования $z=f_1(z')$, такого что
$$
dz'=\left|\d\bn\over\d z\right|dz,
$$
можно добиться того, чтобы в новых координатах было
$$
(\d\bn)^2=1.
$$
Тогда (\ref{im2classical}) преобразуется к виду уравнения непрерывности
$$
\bd(\d\d\bn)^2=\d(2\d\bn\bd\bn).
$$
На самом деле (хотя это непросто показать) в модели имеется бесконечное число интегралов движения.

Мы знаем, что в квантовом случае (псевдо)конформная инвариантность модели нарушается, так как поле $\omega$ приобретает ненулевое среднее значение. Поэтому рассуждения с конформными преобразованиями теряют силу. В квантовом случае в уравнениях, из которых следуют законы сохранения, должны возникать аномалии. Аномальные члены не должны нарушать масштабную инвариантность уравнений, в которые переходят законы сохранения. Поэтому, например, в правой части закона сохранения энергии"=импульса допустим только один аномальный член, сводящийся к полной производной:
\eq$$
\bd(\d\bn)^2=-\beta\d\omega.
\label{im1anomaly}
$$
Аналогично модифицируется соотношение (\ref{im-T2}). Правая часть уже не будет полной производной:
\eq$$
\bd(\d\bn)^4=-(2\beta+\alpha')(\d\bn)^2\d\omega+\d(\ldots).
\label{im12anomaly}
$$
То же самое для (\ref{im2classical}):
\eq$$
4\bd(\d^2\bn)^2=-(3+\alpha)(\d\bn)^2\d\omega+\d(\ldots).
\label{im2anomaly}
$$
Из этих трех уравнений можно составить один закон сохранения:
\eq$$
\bd\left(
4(\d^2\bn)^2-{3+\alpha\over2\beta+\alpha'}(\d\bn)^4
\right)=\d(\ldots).
\label{im2quantum}
$$
Итак, имеется по крайней мере два интеграла движения спина 1 и 3:
\eq$$
I_1=\int dz\,(\d\bn)^2,
\qquad
I_3=\int dz\left(
4(\d^2\bn)^2-{3+\alpha\over2\beta+\alpha'}(\d\bn)^4
\right).
\label{ims}
$$
Эти интегралы удовлетворяют уравнению $\bd I_s=0$. Интегралы $I_{-1}$, $I_{-3}$, удовлетворяющие уравнению $\d I_{-s}=0$, можно получить заменой $z\leftrightarrow\bz$. При переходе к обычным координатам $x,t$ и те, и другие величины остаются интегралами движения.

Можно показать, что эти интегралы коммутируют. Из существования четырех коммутативных интегралов движения можно заключить невозможность множественного рождения частиц в столкновениях двух частиц.

Пусть $|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle$ "--- асимптотическое состояние из $n$ частиц с быстротами $\theta_1,\ldots,\theta_n$. Пользуясь тем, что $p_z=-{m\over2}e^\theta$, $p_\bz={m\over2}e^{-\theta}$, нетрудно проверить, что
$$
I_s|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle=P_s(e^{\theta_1},\ldots,e^{\theta_n})|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle,
$$
где функция $P_s$ однородна степени $s$:
$$
P_s(\lambda x_1,\ldots,\lambda x_n)=\lambda^sP(x_1,\ldots,x_n).
$$
Если мы рассмотрим «далекое прошлое» или «далекое будущее», где частицы находятся достаточно далеко друг от друга, интегралы (\ref{ims}) будут отличны от нуля только вблизи частиц. Так что функция $P_s$ распадется в одночастичные функции: $P_s(x_1,\ldots,x_n)=P_s(x_1)+\cdots+P_s(x_n)$. Очевидно, $P_s(x)\sim x^s$, поэтому
$$
\Aligned{
I_{\pm1}|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle
&=\const\sum^n_{i=1}me^{\pm\theta_i}|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle,
\\
I_{\pm3}|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle
&=\const\sum^n_{i=1}m^3e^{\pm3\theta_i}|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle.
}
$$
Отсюда получаем четыре уравнения для рассеяния двух частиц в $n$ частиц:
$$
e^{s\theta_1}+e^{s\theta_2}
=\sum^n_{i=1}e^{s\theta'_i}
\qquad(s=-3,-1,1,3).
$$
Если зафиксировать быстроты частиц в конечном состоянии, будет четыре уравнения для двух неизвестных $\theta_1$ and $\theta_2$. Эти уравнения могут иметь решения только при специальных значениях конечных быстрот $\theta'_1,\ldots,\theta'_n$. Но из аналитичности амплитуд следует, что амплитуды таких процессов должны быть тождественно равны нулю. Единственным исключением является случай $n=2$, когда в амплитудах могут быть $\delta$"=функции, отвечающие граничным значениям полюсов вне массовой поверхности.

Можно показать, что в модели имеется бесконечно много коммутирующих интегралов движения $I_s$ с нечетными спинами $s$. В общем случае имеем
\eq$$
I_s|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle
=\const\sum^n_{i=1}e^{s\theta_i}|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle.
\label{im-eigenvalues}
$$
Аналогично предыдущему заключаем, что модель допускает только рассеяния $n$ частиц в $n$, причем частицы сохраняют импульсы и только меняют внутренние состояния.

Теперь сделаем важное

{\itshape{\bfseries Предположение факторизованного рассеяния.} Амплитуда рассеяния $n$ частиц в $n$ распадается в произведение всех попарных амплитуд рассеяния в любом порядке с суммированием по внутренним состояниям промежуточных частиц.}

Графически это предположение можно изобразить так:
\eq$$
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[->] (-1.333,-1.5) node[below left] {$p_1\!\!\!$} -- (1.619,1.5) node[above right] {$\!\!p_1$};
\draw[->] (-0.572,-1.5) node[below] {$p_2$} -- (1.048,1.5) node[above] {$p_2$};
\draw[->] (0.095,-1.5) node[below] {$p_3$} -- (-0.667,1.5) node[above] {$p_3$};
\draw[->] (1.429,-1.5) node[below right] {$\!\!p_4$} -- (-1.619,1.5) node[above left] {$p_4\!\!\!$};
\draw[-,fill=white] (0,0) circle (.9);
}
\quad=\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[->] (-1.333,-1.5) node[below left] {$p_1\!\!\!$} -- (1.619,1.5) node[above right] {$\!\!p_1$};
\draw[->] (-0.572,-1.5) node[below] {$p_2$} -- (1.048,1.5) node[above] {$p_2$};
\draw[->] (0.095,-1.5) node[below] {$p_3$} -- (-0.667,1.5) node[above] {$p_3$};
\draw[->] (1.429,-1.5) node[below right] {$\!\!p_4$} -- (-1.619,1.5) node[above left] {$p_4\!\!\!$};
}
\label{factscat}
$$
В принципе, гипотезу факторизованного рассеяния можно проверять в диаграммной технике порядок за порядком по $1/N$. А можно воспользоваться следующими качественными рассуждениями. Предположим, что имеется конечный радиус взаимодействия частиц $R$, за пределами которого виртуальные частицы почти не рождаются. Это значит, что если $|x_i-x_j|\gg R$ ($\forall i,j$), волновая функция почти не отличается от волновой функции $n$ свободных частиц. Благодаря существованию $I_{\pm3}$ парное рассеяние частиц можно свести к прохождению частиц друг через друга с изменением внутренних состояний. Поэтому можно выбрать базис волновых функций без отраженных волн. Пусть $\sigma$, $\tau$ "--- элементы группы перестановок $S_n$ чисел $1,\ldots,n$. Тогда система $n$ бозонов будет описываться волновой функцией
\Multline$$
\psi_{\beta_1p_1,\ldots,\beta_np_n}(\alpha_1x_1,\ldots,\alpha_nx_n)
=\sum_{\tau\in S_n}
A^{\alpha_{\sigma_1}\ldots\alpha_{\sigma_n}}
_{\beta_{1\,\hphantom\sigma}\ldots\beta_n}[\tau]
e^{i\sum^n_{i=1}p_{\tau_i}x_{\sigma_i}}
\\
\text{при}\quad
x_{\sigma_1}<x_{\sigma_2}<\cdots<x_{\sigma_n},
\quad
|x_i-x_j|\gg R.
\label{psifunction}
$$
Зависимость коэффициентов $A$ от импульсов мы опустили. Легко убедиться, что функция (\ref{psifunction}) симметрична по отношению к перестановкам пар $\alpha_ix_i\leftrightarrow\alpha_jx_j$.

Мы пока не определили смысл параметров $\beta_i$. В принципе, мы можем этого и не делать. Но если мы хотим, чтобы $\beta_i$ соответствовало, скажем, состоянию $\alpha_i$ входящей частицы $i$, мы можем потребовать
\eq$$
A^{\alpha_1\ldots\alpha_n}_{\beta_1\ldots\beta_n}[\id]
=\prod^n_{i=1}\delta^{\alpha_i}_{\beta_i}.
\label{psinorm}
$$
Если при этом $p_1>p_2>\cdots>p_n$, параметры $\beta_i$ естественно описывают внутренние состояния падающих частиц. Хотя эта нормировка нарушает симметрию по импульсам (см.\ задачу~5), она будет нам удобна, поскольку обеспечивает аналитичность волновых функций как функций импульсов.

Перестановка двух частиц эквивалентна рассеянию этих частиц. Разумеется, рассеяние меняет настоящие состояния частиц~$\alpha_i$, а не метки волновой функции~$\beta_i$. Пусть $s^i\in S_n$ "--- перестановка чисел $i$ и $i+1$, то есть $s^i_i=i+1$, $s^i_{i+1}=i$, $s^i_j=j$ ($j\ne i,i+1$). Тогда
\eq$$
A^{\alpha_1\ldots\alpha_{i+1}\alpha_i\ldots\alpha_n}
_{\beta_1\ldots\beta_i\,\beta_{i+1}\ldots\beta_n}[\tau s^i]
=\sum_{\alpha'_i\alpha'_{i+1}}
S^{\alpha_i\alpha_{i+1}}_{\alpha'_i\alpha'_{i+1}}(p_{\tau_i},p_{\tau_{i+1}})
A^{\alpha_1\ldots\alpha'_i\alpha'_{i+1}\ldots\alpha_n}
_{\beta_1\ldots\beta_i\,\beta_{i+1}\ldots\beta_n}[\tau].
\label{Arelation}
$$

Переставим теперь три последовательные частицы, например, $123\to321$. Такой переход можно выполнить двумя способами:
$$
\Matrix{
            &        &132&\to&312&        &\\
            &\nearrow&            &   &            &\searrow&\\
123&        &            &   &            &        &321.\\
            &\searrow&            &   &            &\nearrow&\\
            &        &213&\to&231&        &
}
$$
Первый способ приводит к соотношению
\eq$$
A^{\alpha_3\alpha_2\alpha_1\ldots}_{\cdots}[321\ldots]
=\sum_{\beta_1,\beta_2,\beta_3}\left(\sum_{\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3}
S^{\alpha_1\alpha_2}_{\gamma_1\gamma_2}(p_1,p_2)
S^{\gamma_1\alpha_3}_{\beta_1\gamma_3}(p_1,p_3)
S^{\gamma_2\gamma_3}_{\beta_2\beta_3}(p_2,p_3)\right)
A^{\beta_1\beta_2\beta_3\ldots}_{\cdots}[123\ldots].
\label{rel1}
$$
Проще это записать в матричном виде
$$
A_{321\ldots}
=S_{12}(p_1,p_2)S_{13}(p_1,p_3)S_{23}(p_2,p_3)
A_{123\ldots},
$$
где индексы $1,2,3$ указывают номер пространства, на которое действуют матрицы или в котором живут векторы. Еще удобней это изобразить графически
$$
\sum_{\text{внутренние линии}}
\quad
\tikz[baseline=-2pt,yscale=1.2]{
  \draw[->] (1,-1) node[below right] {$\!\!p_3$} --
    node[pos=.1, above right=-3pt] {$\beta_3$}
    node[pos=.35, below left=-3pt] {$\gamma_3$}
    node[pos=.7, below left=-3pt] {$\alpha_3$} (-1,1);
  \draw[->] (.5,-1) node[below] {$p_2$} --
    node[pos=.1, left=-2pt] {$\beta_2$}
    node[pos=.5, right=-2pt] {$\gamma_2$}
    node[pos=.9, left=-1pt] {$\alpha_2$} (.5,1);
  \draw[->] (-1,-1) node[below left] {$p_1\!\!\!$} --
    node[pos=.25, above left=-3pt] {$\beta_1$}
    node[pos=.65, above left=-3pt] {$\gamma_1$}
    node[pos=.9, below right=-3pt] {$\alpha_1$} (1,1);
}
$$
Второй способ приводит другому соотношению
\eq$$
A^{\alpha_3\alpha_2\alpha_1\ldots}_{\cdots}[321\ldots]
=\sum_{\beta_1,\beta_2,\beta_3}\left(\sum_{\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3}
S^{\alpha_2\alpha_3}_{\gamma_2\gamma_3}(p_2,p_3)
S^{\alpha_1\gamma_3}_{\gamma_1\beta_3}(p_1,p_3)
S^{\gamma_1\gamma_2}_{\beta_1\beta_2}(p_1,p_2)\right)
A^{\beta_1\beta_2\beta_3\ldots}_{\cdots}[123\ldots],
\label{rel2}
$$
или проще
$$
A_{321\ldots}
=S_{23}(p_2,p_3)S_{13}(p_1,p_3)S_{12}(p_1,p_2)
A_{123\ldots},
$$
или графически
$$
\sum_{\text{внутренние линии}}
\quad
\tikz[baseline=-2pt,yscale=1.2]{
  \draw[->] (1,-1) node[below right] {$\!\!p_3$} --
    node[pos=.25, above right=-3pt] {$\beta_3$}
    node[pos=.65, above right=-3pt] {$\gamma_3$}
    node[pos=.85, below left=-3pt] {$\alpha_3$} (-1,1);
  \draw[->] (-.5,-1) node[below] {$p_2$} --
    node[pos=.1, right=-1pt] {$\beta_2$}
    node[pos=.5, left=-2pt] {$\gamma_2$}
    node[pos=.9, right=1pt] {$\alpha_2$} (-.5,1);
  \draw[->] (-1,-1) node[below left] {$p_1\!\!\!$} --
    node[pos=.15, above left=-2pt] {$\beta_1$}
    node[pos=.35, below right=-2pt] {$\gamma_1$}
    node[pos=.75, below right=-2pt] {$\alpha_1$} (1,1);
}
$$
Условие того, что (\ref{rel1}) и (\ref{rel2}) приводят к одинаковому соотношению, называется {\it уравнением Янга"--~Бакстера\/} и записывается в виде
\eq$$
\sum_{\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3}
S^{\alpha_1\alpha_2}_{\gamma_1\gamma_2}(p_1,p_2)
S^{\gamma_1\alpha_3}_{\beta_1\gamma_3}(p_1,p_3)
S^{\gamma_2\gamma_3}_{\beta_2\beta_3}(p_2,p_3)
=
\sum_{\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3}
S^{\alpha_2\alpha_3}_{\gamma_2\gamma_3}(p_2,p_3)
S^{\alpha_1\gamma_3}_{\gamma_1\beta_3}(p_1,p_3)
S^{\gamma_1\gamma_2}_{\beta_1\beta_2}(p_1,p_2),
\label{YBlong}
$$
или более кратко
\eq$$
S_{12}(p_1,p_2)S_{13}(p_1,p_3)S_{23}(p_2,p_3)
=S_{23}(p_2,p_3)S_{13}(p_1,p_3)S_{12}(p_1,p_2),
\label{YB}
$$
или графически
\eq$$
\tikz[baseline=-2pt,yscale=1.2]{
  \draw[->] (1,-1) node[below right] {$\!\!p_3$} --
    node[pos=.1, above right=-3pt] {$\beta_3$}
    node[pos=.7, below left=-3pt] {$\alpha_3$} (-1,1);
  \draw[->] (.5,-1) node[below] {$p_2$} --
    node[pos=.1, left=-2pt] {$\beta_2$}
    node[pos=.9, left=-1pt] {$\alpha_2$} (.5,1);
  \draw[->] (-1,-1) node[below left] {$p_1\!\!\!$} --
    node[pos=.25, above left=-3pt] {$\beta_1$}
    node[pos=.9, below right=-3pt] {$\alpha_1$} (1,1);
}
\quad=\quad
\tikz[baseline=-2pt,yscale=1.2]{
  \draw[->] (1,-1) node[below right] {$\!\!p_3$} --
    node[pos=.25, above right=-3pt] {$\beta_3$}
    node[pos=.85, below left=-3pt] {$\alpha_3$} (-1,1);
  \draw[->] (-.5,-1) node[below] {$p_2$} --
    node[pos=.1, right=-1pt] {$\beta_2$}
    node[pos=.9, right=1pt] {$\alpha_2$} (-.5,1);
  \draw[->] (-1,-1) node[below left] {$p_1\!\!\!$} --
    node[pos=.15, above left=-2pt] {$\beta_1$}
    node[pos=.75, below right=-2pt] {$\alpha_1$} (1,1);
}
\label{YBgraph}
$$
Два графика на (\ref{YBgraph}) отличаются положением одной из линий относительно пересечения двух других. На первом графике, например, вторая проходит слева от вершины, где пересекаются первая и третья частицы, а на втором "--- справа. Иными словами, уравнение Янга"--~Бакстера выражает условие того, что линии в~(\ref{factscat}) можно как угодно смещать, пронося через вершины. То есть неважно, в каком порядке мы будем рассматривать попарные рассеяния частиц: в любом случае мы получим один и тот же ответ.

Второе условие на $S$"=матрицу более элементарно. Вернемся к соотношению (\ref{Arelation}). Понятно, что если мы дважды переставим два последовательных индекса в коэффициентах~$A$, т.~е.\ произведем преобразования
$$
12\to21\to12,
$$
мы должны получить тождественное преобразование. Отсюда следует {\it условие унитарности}%
%
\footnote{Термин не вполне точный, поскольку это условие не означает положительности норм состояний. Это условие гарантирует только отсутствие других каналов рассеяния.}
%
\eq$$
\sum_{\gamma_1,\gamma_2}S^{\alpha_2\alpha_1}_{\gamma_2\gamma_1}(p_2,p_1)
S^{\gamma_1\gamma_2}_{\beta_1\beta_2}(p_1,p_2)
=\delta^{\alpha_1}_{\beta_1}\delta^{\alpha_2}_{\beta_2},
\label{unitarity-long}
$$
или
\eq$$
S_{21}(p_2,p_1)S_{12}(p_1,p_2)=1,
\label{unitarity}
$$
или
\eq$$
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[->] (.5,-1) node[below] {$\beta_2$} to[out=150,in=-150,looseness=1.5] (.5,1) node[above] {$\alpha_2$};
  \draw[->] (-.5,-1) node[below] {$\beta_1$} to[out=30,in=-30,looseness=1.5] (-.5,1) node[above] {$\alpha_1$};
}
\quad=\quad
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[->] (.5,-1) node[below] {$\beta_2$} -- (.5,1) node[above] {$\alpha_2$};
  \draw[->] (-.5,-1) node[below] {$\beta_1$} -- (-.5,1) node[above] {$\alpha_1$};
}
\label{unitarity-graph}
$$

Последнее условие \emph{перекрестной} или \emph{кроссинг"=инвариантности} верно только в релятивистской теории. Его естественно сразу записать графически:
\eq$$
\tikz[baseline=-2pt,scale=.7]{
  \draw[->] (1,-1) node[below right=-1pt] {$p_2$} --
    node[pos=.15,above right=-3pt] {$\beta_2$}
    node[pos=.85,below left=-3pt] {$\alpha_2$} (-1,1);
  \draw[->] (-1,-1) node[below left=-1pt] {$p_1\!$} --
      node[pos=.15,above left=-3pt] {$\beta_1$}
      node[pos=.85,below right=-3pt] {$\alpha_1$} (1,1);
}
\quad=\quad
\tikz[baseline=-2pt,scale=.7]{
  \draw[->] (1,-1) node[below right=-2pt] {$p_2$} --
    node[pos=.15,above right=-3pt] {$\beta_2$}
    node[pos=.85,below left=-3pt] {$\alpha_2$} (-1,1);
  \draw[<-] (-1,-1) --
      node[pos=.15,above left=-3pt] {$\bar\beta_1$}
      node[pos=.85,below right=-3pt] {$\bar\alpha_1$} (1,1) node[above right=-3pt] {$\!\!-p_1$};
}
\label{cross-graph}
$$
Здесь импульсы $p_1$ и $p_2$ понимаются как пространственно"=временные импульсы, черта над индексом внутреннего состояния частицы изображает античастицу. Формульно это записывается так
\eq$$
S^{\alpha_1\alpha_2}_{\beta_1\beta_2}(p_1,p_2)
=\sum_{\alpha'_1\beta'_1}C_{\beta_1\beta'_1}S^{\alpha_2\beta'_1}_{\beta_2\alpha'_1}(p_2,-p_1)C_{\alpha'_1\alpha_1},
\label{cross-long}
$$
где $C$ "--- матрица $CPT$"=сопряжения.

Если выразить импульсы через быстроты, получим:

\noindent{\it 1.~Уравнение Янга"--~Бакстера}
\eq$$
S_{12}(\theta_1-\theta_2)S_{13}(\theta_1-\theta_3)S_{23}(\theta_2-\theta_3)
=S_{23}(\theta_2-\theta_3)S_{13}(\theta_1-\theta_3)S_{12}(\theta_1-\theta_2)
\label{YBtheta}
$$
{\it 2.~Унитарность}
\eq$$
S_{12}(\theta)S_{21}(-\theta)=1
\label{unitarity-theta}
$$
{\it 3.~Кроссинг"=симметрия}
\eq$$
S_{12}(\theta)=C_1S_{2\tilde1}(i\pi-\theta)C_1,
\label{cross-theta}
$$
где тильда над цифрой~1 означает транспонирование по индексам, отвечающим этому пространству.

Условия {\it бутстрапа\/} (\ref{YBtheta}--\ref{cross-theta}) чрезвычайно ограничительны. Вместе с симметрией модели и условиями аналитичности они позволяют найти точное выражение для $S$"=матрицы. Рассмотрим условия аналитичности. $S$"=матрица является мероморфной функцией $\theta$. Физическому листу отвечает область
\eq$$
0\le\Im\theta<\pi,
\label{physsheet}
$$
причем точка $\theta=i\pi$ отвечает точке ветвления $s=(m_1-m_2)^2$ по
переменной
$$
s=m_1^2+m_2^2+2m_1m_2\ch\theta,
$$
а точке $\theta=0$ отвечает точка $s=(m_1+m_2)^2$. Линии
$\Im\theta=\pi$ отвечает в плоскости $s$ левый разрез
$(-\infty,(m_1-m_2)^2]$, а линии $\Im\theta=0$ "--- правый разрез
$[(m_1+m_2)^2,\infty)$.

На мнимой оси $S$"=матрица вещественна:
\eq$$
S(iu)\in\R\qquad\text{при}\quad u\in\R,
\label{reality}
$$
причем все полюсы $S$"=матрицы на физическом листе находятся на мнимой оси. Части этих полюсов отвечают связанные состояния, однако чтобы установить, отвечает ли данный полюс связанному состоянию, обычно требуется дополнительное исследование.

Давайте решим~\cite{ZZ} уравнение Янга"--~Бакстера для $O(N)$"=симметричной ($N\ge3$) $S$"=матрицы $N^2\times N^2$ вида~(\ref{S1S2S3}). Уравнение Янга"--~Бакстера для нее приобретает вид (Рис.~\ref{fig-YBE})
\Align$$
\span
S_2(\theta)S_3(\theta+\theta')S_3(\theta')
+S_3(\theta)S_3(\theta+\theta')S_2(\theta')
=S_3(\theta)S_2(\theta+\theta')S_3(\theta'),
\label{yb1}
\\
\span
S_2(\theta)S_1(\theta+\theta')S_1(\theta')
+S_3(\theta)S_2(\theta+\theta')S_1(\theta')
=S_3(\theta)S_1(\theta+\theta')S_2(\theta'),
\label{yb2}
\\
&NS_1(\theta)S_3(\theta+\theta')S_1(\theta')
+S_1(\theta)S_3(\theta+\theta')S_2(\theta')
+S_1(\theta)S_3(\theta+\theta')S_3(\theta')
+S_1(\theta)S_2(\theta+\theta')S_1(\theta')
\notag
\\
&\qquad
+S_2(\theta)S_3(\theta+\theta')S_1(\theta')
+S_3(\theta)S_3(\theta+\theta')S_1(\theta')
+S_1(\theta)S_1(\theta+\theta')S_1(\theta')
=S_3(\theta)S_1(\theta+\theta')S_3(\theta').
\label{yb3}
$$
\begin{figure}[t]
\Gather$$
\tikz[scale=.7,baseline=-2pt]{
  \draw[red,->] (-1,-1) -- (0,0) -- (-1,1);
  \draw[blue,->] (.5,-1) -- (.5,-.5) -- (0,0) -- (1,1);
  \draw[green,->] (1,-1) -- (.5,-.5) -- (.5,1);
  \draw (1.5,0) node {$+$};
  \begin{scope}[xshift=3cm]
    \draw[red,->] (-1,-1) -- (0,0) -- (-1,1);
    \draw[blue,->] (.5,-1) -- (.5,.5) -- (1,1);
    \draw[green,->] (1,-1) -- (0,0) -- (.5,.5) -- (.5,1);
    \draw (2,0) node {$=$};
  \end{scope}
  \begin{scope}[xshift=7cm]
    \draw[red,->] (-1,-1) -- (-.5,-.5) -- (-.5,.5) -- (-1,1);
    \draw[blue,->] (-.5,-1) -- (-.5,-.5) -- (1,1);
    \draw[green,->] (1,-1) -- (-.5,.5) -- (-.5,1);
  \end{scope}
}\tag{\ref{yb1}}
\\
\tikz[scale=.7,baseline=-2pt]{
  \draw[red,->] (-1,-1) -- (0,0) -- (.5,-.5) -- (.5,1);
  \draw[blue,-] (.5,-1) -- (.5,-.5) -- (1,-1);
  \draw[green,<->] (-1,1) -- (0,0) -- (1,1);
  \draw (1.5,0) node {$+$};
  \begin{scope}[xshift=3cm]
    \draw[red,->] (-1,-1) -- (.5,.5) -- (.5,1);
    \draw[blue,-] (.5,-1) -- (.5,-.5) -- (1,-1);
    \draw[green,<->] (-1,1) -- (.5,-.5) -- (.5,.5) -- (1,1);
    \draw (2,0) node {$=$};
  \end{scope}
  \begin{scope}[xshift=7cm]
    \draw[red,->] (-1,-1) -- (-.5,-.5) -- (-.5,1);
    \draw[blue,->] (-.5,-1) -- (-.5,-.5) -- (0,0) -- (1,-1);
    \draw[green,<->] (-1,1) -- (-.5,.5) -- (0,0) -- (1,1);
  \end{scope}
}\tag{\ref{yb2}}
\\
\tikz[scale=.7,baseline=-2pt]{
  \draw[red,->] (-1,-1) -- (0,0) -- (-1,1);
  \draw[blue,-] (.5,-1) -- (.5,-.5) -- (1,-1);
  \draw[green,<->] (.5,1) -- (.5,.5) -- (1,1);
  \draw[yellow,-] (0,0) -- (.5,-.5) -- (.5,.5) -- cycle;
  \draw (1.5,0) node {$+$};
  \begin{scope}[xshift=3cm]
    \draw[red,->] (-1,-1) -- (0,0) -- (-1,1);
    \draw[blue,-] (.5,-1) -- (.5,.5) -- (0,0) -- (1,-1); \draw[blue] (.5,-.5) node[right] {\tiny$S_2+S_3$};
    \draw[green,<->] (.5,1) -- (.5,.5) -- (1,1);
    \draw (1.5,0) node {$+$};
  \end{scope}
  \begin{scope}[xshift=6cm]
    \draw[red,->] (-1,-1) -- (0,0) -- (-1,1);
    \draw[blue,-] (.5,-1) -- (.5,-.5) -- (1,-1);
    \draw[green,<->] (.5,1) -- (.5,-.5) -- (0,0) -- (1,1); \draw[green] (.5,.5) node[right] {\tiny$S_2+S_3$};
    \draw (1.5,0) node {$+$};
  \end{scope}
  \begin{scope}[xshift=9.5cm]
    \draw[red,->] (-1,-1) -- (.5,.5) -- (.5,-.5) -- (-1,1); \draw[red] (0,0) node[left] {\tiny$S_1+S_2$};
    \draw[blue,-] (.5,-1) -- (.5,-.5) -- (1,-1);
    \draw[green,<->] (.5,1) -- (.5,.5) -- (1,1);
    \draw (2,0) node {$=$};
  \end{scope}
  \begin{scope}[xshift=13.5cm]
    \draw[red,->] (-1,-1) -- (-.5,-.5) -- (-.5,.5) -- (-1,1);
    \draw[blue,-] (-.5,-1) -- (-.5,-.5) -- (0,0) -- (1,-1);
    \draw[green,<->] (-.5,1) -- (-.5,.5) -- (0,0) -- (1,1);
  \end{scope}
}\tag{\ref{yb3}}
$$
\caption{Схематичное изображение уравнений (\ref{yb1})"--~(\ref{yb3}). Соединению двух линий одного цвета в вершине соответствует символ Кронекера в $S$"=матрице. На пересечениях линий одного цвета помечено, какие вклады в $S$"=матрицу им соответствуют.}
\label{fig-YBE}
\end{figure}%
Чтобы решить эту систему, введем обозначение $h(\theta)=S_2(\theta)/S_3(\theta)$. Первое уравнение принимает вид
$$
h(\theta)+h(\theta')=h(\theta+\theta').
$$
Следовательно $h(\theta)\sim\theta$ и
\eq$$
S_3(\theta)=-i{\lambda\over\theta}S_2(\theta).
\label{S32ratio}
$$
Пусть теперь $g(\theta)=S_2(\theta)/S_1(\theta)$. Подставляя
(\ref{S32ratio}) в (\ref{yb2}), получаем
$$
g(\theta+\theta')-g(\theta')
={\theta\over i\lambda}.
$$
Это уравнение имеет решение
$$
g(\theta)={\theta-i\kappa\over i\lambda}.
$$
Подставляя это в (\ref{yb3}), получим
$$
\kappa={N-2\over2}\lambda.
$$
Это значит, что
\eq$$
S_1(\theta)=-{i\lambda\over i(N-2)\lambda/2-\theta}S_2(\theta).
\label{S12ratio}
$$
Это самое общее решение уравнения Янга"--~Бакстера, зависящее от произвольной функции $S_2(\theta)$ и произвольного параметра $\lambda$. Воспользуемся теперь условиями кроссинг"=инвариантности и унитарности, чтобы зафиксировать $S_2$ и $\lambda$.

Условие кроссинг"=симметрии имеет вид
\Align$$
S_2(\theta)
&=S_2(i\pi-\theta),
\label{cross22}
\\
S_1(\theta)
&=S_3(i\pi-\theta).
\label{cross13}
$$
Подставляя сюда (\ref{S32ratio}) и (\ref{S12ratio}), получаем
\eq$$
\lambda={2\pi\over N-2}.
\label{lambdavalue}
$$
Условие унитарности (Рис.~\ref{fig-unitarity})
\Align$$
\span
S_2(\theta)S_2(-\theta)+S_3(\theta)S_3(-\theta)=1,
\label{unit1}
\\
\span
S_2(\theta)S_3(-\theta)+S_3(\theta)S_2(-\theta)=0,
\label{unit2}
\\
&NS_1(\theta)S_1(-\theta)
+S_1(\theta)S_2(-\theta)
+S_1(\theta)S_3(-\theta)
\notag
\\
&\qquad
+S_2(\theta)S_1(-\theta)
+S_3(\theta)S_1(-\theta)
=0
\label{unit3}
$$
\begin{figure}[t]
\Gather$$
\tikz[scale=.5,baseline=-2pt]{
\draw[red,->] (-.3,-1) to[out=30,in=50-180] (0,-.75) to[out=50,in=-50] (0,.75) to[out=180-50,in=-30] (-.3,1) -- +(180-30:.2);
\draw[blue,->] (.3,-1) to[out=180-30,in=-50] (0,-.75) to[out=180-50,in=50-180] (0,.75) to[out=50,in=30-180] (.3,1) -- +(30:.2);
\draw (1,0) node {$+$};
\begin{scope}[xshift=2cm]
  \draw[red,->] (-.3,-1) to[out=30,in=50-180] (0,-.75) to[out=180-50,in=50-180] (0,.75) to[out=180-50,in=-30] (-.3,1) -- +(180-30:.2);
  \draw[blue,->] (.3,-1) to[out=180-30,in=-50] (0,-.75) to[out=50,in=-50] (0,.75) to[out=50,in=30-180] (.3,1) -- +(30:.2);
  \draw (1.5,0) node {$=$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=5cm]
  \draw[red,->] (-.3,-1) -- (-.3,1);
  \draw[blue,->] (.3,-1) -- (.3,1);
\end{scope}
}\tag{\ref{unit1}}
\\
\tikz[scale=.5,baseline=-2pt]{
\draw[red,->] (-.3,-1) to[out=30,in=50-180] (0,-.75) to[out=180-50,in=50-180] (0,.75) to[out=50,in=30-180] (.3,1) -- +(30:.2);
\draw[blue,->] (.3,-1) to[out=180-30,in=-50] (0,-.75) to[out=50,in=-50] (0,.75) to[out=180-50,in=-30] (-.3,1) -- +(180-30:.2);
\draw (1,0) node {$+$};
\begin{scope}[xshift=2cm]
  \draw[red,->] (-.3,-1) to[out=30,in=50-180] (0,-.75) to[out=50,in=-50] (0,.75) to[out=50,in=30-180] (.3,1) -- +(30:.2);
  \draw[blue,->] (.3,-1) to[out=180-30,in=-50] (0,-.75) to[out=180-50,in=50-180] (0,.75) to[out=180-50,in=-30] (-.3,1) -- +(180-30:.2);
  \draw (1.5,0) node {$=$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=5cm]
  \draw (0,0) node {$0$};
\end{scope}
}\tag{\ref{unit2}}
\\
\tikz[scale=.5,baseline=-2pt]{
\draw[red,-] (-.3,-1) to[out=30,in=50-180] (0,-.75) to[out=-50,in=180-30] (.3,-1);
\draw[blue,->] (-.3,1) to[out=-30,in=180-50] (0,.75) to[out=50,in=30-180] (.3,1) -- +(30:.2); \draw[blue,->] (-.3,1) -- +(180-30:.2);
\draw[yellow,-] (0,.75) to[out=-50,in=50] (0,-.75) to[out=180-50,in=50-180] cycle;
\draw (1,0) node {$+$};
\begin{scope}[xshift=2cm]
\draw[red,-] (-.3,-1) to[out=30,in=50-180] (0,-.75) to[out=-50,in=180-30] (.3,-1);
\draw[blue,->] (-.3,1) to[out=-30,in=180-50] (0,.75) to[out=-50,in=50] (0,-.75) to[out=180-50,in=50-180] (0,.75) to[out=50,in=30-180] (.3,1)
  -- +(30:.2); \draw[blue,->] (-.3,1) -- +(180-30:.2); \draw[blue] (0,.75) node[right=2pt] {\tiny$S_2+S_3$};
\draw (1.5,0) node {$+$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=5cm]
\draw[red,-] (-.3,-1) to[out=30,in=50-180] (0,-.75) to[out=50,in=-50] (0,.75) to[out=50-180,in=180-50] (0,-.75) to[out=-50,in=180-30] (.3,-1);
  \draw[red] (0,-.75) node[right] {\tiny$S_2+S_3$};
\draw[blue,->] (-.3,1) to[out=-30,in=180-50] (0,.75) to[out=50,in=30-180] (.3,1)
  -- +(30:.2); \draw[blue,->] (-.3,1) -- +(180-30:.2);
  \draw (2,0) node {$=$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=8.5cm]
  \draw (0,0) node {$0$};
\end{scope}
}\tag{\ref{unit3}}
$$
\caption{Схематичное изображение уравнений (\ref{unit1})"--~(\ref{unit3}).}
\label{fig-unitarity}
\end{figure}%
удовлетворяется, если
\eq$$
S_2(\theta)S_2(-\theta)={\theta^2\over\theta^2+\lambda^2}.
\label{unit22}
$$
Теперь нам надо решить совместно уравнения (\ref{cross22}) и (\ref{unit22}). Понятно, что решение этих уравнений неоднозначно. Решение переходит в решение, если домножить его на функцию
$$
{\sh\theta+i\sin\alpha\over\sh\theta-i\sin\alpha}
$$
с произвольным $\alpha$. Мы будем искать <<минимальное>> решение, то есть такое решение, которое будет иметь наименьшее количество нулей и полюсов на физическом листе.

Из (\ref{unit22}) заключаем, что $S_2(\theta)$ имеет простой нуль в точке $\theta=0$. Из кроссинг"=симметрии (\ref{cross22}) немедленно заключаем, что простой нуль имеется также в точке $\theta=i\pi$. Из унитарности находим, что в точке $\theta=-i\pi$ имеется полюс. Продолжая поочередно применять кроссинг"=симметрию и унитарность, находим набор полюсов и нулей функции $S_2(\theta)$:
\eq$$
\Aligned{{}
&\text{Нули:}\quad
&&\theta=-2\pi in,i\pi+2\pi in,
\quad&&
\\
&\text{Полюсы:}\quad
&&\theta=-i\pi-2\pi in,2\pi i+2\pi in,\quad&&n=0,1,2,\ldots
}\label{zp1}
$$
Другой набор нулей и полюсов получается следующим образом. Из (\ref{unit22}) следует, что $S_2$ должна иметь полюс в одной из точек $\theta=\mp i\lambda$. Давайте обозначать решения с такими полюсами $S^{(\pm)}_2(\theta)$. Рассуждая как и раньше, получим для $S^{(\pm)}_2(\theta)$
\eq$$
\Aligned{{}
&\text{Нули:}\quad
&&\theta=\mp i\lambda-i\pi-2\pi in,\pm i\lambda+2\pi i+2\pi in,
\quad&&
\\
&\text{Полюсы:}\quad
&&\theta=\mp i\lambda-2\pi in,\pm i\lambda+i\pi+2\pi in,\quad
&&n=0,1,2,\ldots
}\label{zp2}
$$
Собирая (\ref{zp1}), (\ref{zp2}), получим
\eq$$
S^{(\pm)}_2(\theta)
=Q^{(\pm)}(\theta)Q^{(\pm)}(i\pi-\theta),
\qquad
Q^{(\pm)}(\theta)
={\Gamma\left(\pm{\lambda\over2\pi}-i{\theta\over2\pi}\right)
\Gamma\left({1\over2}-i{\theta\over2\pi}\right)
\over
\Gamma\left({1\over2}\pm{\lambda\over2\pi}-i{\theta\over2\pi}\right)
\Gamma\left(-i{\theta\over2\pi}\right)}.
\label{S2pm}
$$
Раскладывая $S$"=матрицу (\ref{S32ratio}), (\ref{S12ratio}), (\ref{S2pm}) с учетом (\ref{lambdavalue}) по $1/N$, получаем
\Align$$
S^{(\pm)}_1(\theta)
&=-{2\pi i\over N(i\pi-\theta)},
\label{S1expand}
\\
S^{(\pm)}_2(\theta)
&=1\mp{2\pi i\over N\sh\theta},
\label{S2expand}
\\
S^{(\pm)}_3(\theta)
&=-{2\pi i\over N\theta}.
\label{S3expand}
$$
Это позволяет отождествить $S^{(+)}(\theta)$ с $S$"=матрицей $O(N)$"=модели, а $S^{(-)}(\theta)$ с $S$"=матрицей $N$"=компонентной модели Гросса"--~Невё. Заметим, что $S^{(\pm)}_1(0)=S^{(\pm)}_2(0)=0$, $S^{(\pm)}_3(0)=\mp1$. Отсюда следует
\eq$$
S^{(\pm)}_{12}(0)=\mp P_{12},
\label{S0sign}
$$
где $P_{12}:a\times b\mapsto b\times a$ "--- оператор перестановки пространств 1 и~2. Это означает, что для частиц в $O(N)$"=модели действует принцип Паули, хотя мы и считали частицы бозонами. Этот принцип Паули даже более сильный, чем в случае свободных фермионов: две частицы не могут иметь одинаковые импульсы.

На самом деле в двумерном пространстве"=времени нельзя сказать, является ли частица бозоном или фермионом. Если говорить о спине, то мы знаем, что такое  спин оператора, но не знаем, что такое спин состояния, так как в одномерном пространстве нет вращений. Кроме того, в одном пространственном измерении есть способ построения алгебры Клиффорда (фермионной алгебры) по алгебре Гайзенберга (бозонной алгебре) и наоборот~\cite{SJM}. Это преобразование уважает понятие частицы, но меняет характер взаимодействия. Именно, матрица рассеяния частиц как фермионов отличается от матрицы рассеяния тех же частиц как бозонов знаком.

\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

\begin{asparaenum}[\bf1.]

\item Получите уравнение~(\ref{im2classical}).

\item Напишите явно асимптотическое выражение для волновой функции~(\ref{psifunction}) для двух и трех частиц ($n=2,3$). Приняв условие~(\ref{Arelation}) для $n=2$ за определение $S$"=матрицы, убедитесь, что отсюда следует~(\ref{Arelation}) для случая $n=3$. Покажите, что произведение трех $S$"=матриц $S_{12}S_{13}S_{23}$ действительно имеет смысл трехчастичной $S$"=матрицы.

\item Выведите~(\ref{S1expand}--\ref{S3expand}).

\item Проверьте~(\ref{S0sign}). Покажите, что из $S(0)=-P$ следует принцип Паули для {\it взаимодействующих бозонов\/}: две частицы не могут иметь одинаковые импульсы.

\starenumi
\item Найдите, как преобразуется волновая функция, определенная уравнением~(\ref{psifunction}), коэффициенты которой заданы условием~(\ref{psinorm}), при перестановке пары соседних индексов: $(\beta_i,p_i)\leftrightarrow(\beta_{i+1},p_{i+1})$.

\end{asparaenum}

\bigbreak
\bigbreak
\centerline{\bf Семинар~\thesection}
\medskip
\centerline{\bf Составляем и решаем уравнения Янга"--~Бакстера,}
\centerline{\bf унитарности и кроссинг"=симметрии (в процессе лекции)}
