% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\section{\texorpdfstring{Термодинамический анзац Бете: результаты}{Termodinamicheskij anzac Bete: rezultaty}}
\label{lec-TBA}
\setcounter{page}1

Вернемся к случаю одной частицы и рассмотрим предел высоких температур. Легко заметить, что уравнение (\ref{TBA-YYeq}) имеет постоянное решение $\epsilon(\theta)=\epsilon_0$ при $R=0$:
\eq$$
{\epsilon_0\over\log(1-\sigma\e^{-\epsilon_0})}=\sigma\nu,
\qquad
\nu=\int{d\theta\over2\pi}\,\phi'(\theta)={\phi(+\infty)-\phi(-\infty)\over2\pi}.
\label{TBA-epsilon0-def}
$$

Рассмотрим теперь малые, но конечные значения~$R$. В этом случае имеется значение $\theta_R\gg1$ при котором правая часть~(\ref{TBA-YYeq}) равна единице:
\eq$$
\theta_R\simeq\log{2\over mR}.
\label{TBA-thetaR-def}
$$
Если $|\theta|<\theta_R-\delta$, где $\delta\sim1$, правой частью можно пренебречь и $\epsilon(\theta)=\epsilon_0$. Если же, наоборот, $|\theta|>\theta_R+\delta$, правая часть велика, так что $\epsilon(\theta)\simeq mR\ch\theta$ и $e^{-\epsilon(\theta)}\to0$. Нетривиальным оно становится вблизи $\pm\theta_R$, где имеет форму «кинка» для $e^{-\epsilon}$:
$$
\tikz{
\draw[->,thick] (-6,0) -- (6,0) node[below right] {$\theta$};
\draw[->,thick] (0,0) -- (0,3) node[above right] {$e^{-\epsilon}$};
\draw[-] (-6,0) (-5,0) to[out=0, in=-120] (-4,.9) to[out=60,in=-175] (-2.5,1.9) to[out=5,in=180] (0,2) node[above right] {$e^{-\epsilon_0}$}
  to[out=0,in=175] (2.5,1.9) to[out=-5,in=120] (4,.9) to[out=-60,in=180] (5,0);
\draw[-] (-4,0) -- ++(0,-.1) node[below] {$-\theta_R$}; \draw[-] (4,0) -- ++(0,-.1) node[below] {$\theta_R$};
\draw[dashed] (-6,2) -- (6,2);
}
$$
Но при больших $\theta_R$ решения вблизи этих двух точек не зависят друг от друга и от~$R$. Так как $\epsilon(-\theta)=\epsilon(\theta)$, рассмотрим решение вблизи $\theta_R$. Обозначим $\tilde\epsilon(\theta)=\epsilon(\theta_R+\theta)$. Тогда получаем уравнение
\eq$$
\tilde\epsilon(\theta)-\sigma\int{d\theta'\over2\pi}\,\phi'(\theta-\theta')\log(1-\sigma e^{-\tilde\epsilon(\theta')})=e^\theta.
\label{TBA-kink-eq}
$$
Скейлинговая функция $f(r)$ ($r=mR$) в пределе $r\to0$ выражается через кинковое решение:
\eq$$
f(r)=\sigma r\int{d\theta\over2\pi}\,e^\theta\log(1-\sigma e^{-\epsilon(\theta)})
=\sigma re^{\theta_R}\int{d\theta\over2\pi}\,e^\theta\log(1-\sigma e^{-\tilde\epsilon(\theta)})
=2\sigma\int{d\theta\over2\pi}\,e^\theta\log(1-\sigma e^{-\tilde\epsilon(\theta)}).
\label{TBA-f(r)-kink}
$$
Продифференцируем уравнение (\ref{TBA-kink-eq}) по~$\theta$:
$$
e^\theta=\tilde\epsilon'(\theta)-\sigma\int{d\theta'\over2\pi}\,\phi''(\theta-\theta')\log(1-\sigma e^{-\tilde\epsilon(\theta')}).
$$
Подставляя это в правую часть~(\ref{TBA-f(r)-kink}), мы получаем два слагаемых
$$
f_1(0)=2\sigma\int{d\theta\over2\pi}\,\tilde\epsilon'(\theta)\tilde l(\theta)
={\sigma\over\pi}\int^\infty_{\epsilon_0}d\epsilon\,\log(1-\sigma e^{-\epsilon}),
\quad\text{где }
\tilde l(\theta)=\log(1-\sigma e^{-\tilde\epsilon(\theta)}),
$$
и
$$
f_2(0)=-2\int{d\theta\over2\pi}\int{d\theta'\over2\pi}\,\phi''(\theta-\theta')\tilde l(\theta)\tilde l(\theta').
$$
В силу нечетности и быстрого убывания $\phi''(\theta)$ слагаемое $f_2(r)$ обратилось бы в нуль, если бы интегралы коммутировали. Некоммутативность этих двух интегралов связана с тем, что $\tilde l(\theta)$ стремиться к конечному значению $\tilde l_0=\log(1-\sigma e^{-\epsilon_0})$ при $\theta\to-\infty$. Сначала возьмем по частям сначала интеграл по~$\theta'$:
$$
f_2(0)=-{1\over2\pi^2}\int d\theta\,\tilde l(\theta){d\over d\theta}\int d\theta'\,(\phi(\theta-\theta')+\pi\nu)\tilde l'(\theta')
$$
Постоянное слагаемое $\pi\nu$ (пропадающее при дифференцировании по~$\theta$) добавлено к~$\phi$ для того, чтобы интеграл стремился к нулю при $\theta\to-\infty$. После этого можно взять по частям интеграл по~$\theta$:
$$
f_2(0)
={1\over2\pi^2}\left(\pi\nu\int d\theta\,d\theta'\,\tilde l'(\theta)\tilde l'(\theta')
  +\int d\theta\,d\theta'\,\tilde l'(\theta)\phi(\theta-\theta')\tilde l'(\theta').\right).
$$
Второй интеграл равен нулю в силу нечетности функции~$\phi$ и сходимости однократных интегралов, а первый элементарно берется:
$$
f_2(0)={\nu\tilde l_0^2\over2\pi}=\sigma{\epsilon_0\tilde l_0\over2\pi}.
$$
Окончательно получаем
\eq$$
f(0)={\sigma\over\pi}\left(-{\epsilon_0\over2}\log(1-\sigma e^{-\epsilon_0})+\int^\infty_{\epsilon_0}d\epsilon\,\log(1-\sigma e^{-\epsilon})\right).
\label{TBA-f(0)-fin}
$$
Эту функцию принято записывать через так называемый \emph{дилогарифм Роджерса}:
\eq$$
\Gathered{
\rL(z)=-{1\over2}\int^z_0du\,\left({\log(1-u)\over u}+{\log u\over1-u}\right),
\\
\rL(-z)=-\rL\left(z\over z+1\right),
\qquad
\rL(1/z)=2\rL(1)-\rL(z).
}\label{Rdilog}
$$
Имеем
\eq$$
f(0)=-{\sigma\over\pi}\rL(\sigma e^{-\epsilon_0}).
\label{TBA-f(0)-dilog}
$$
Надо сказать, что дилогарифм Роджерса встречается во множестве задач, связанных с термодинамическим анзацем Бете, и потому хорошо изучен, найдены его значения во множестве специальных точек. Нам будут важны следующие значения:%
%
\footnote{В области $0<z<1$ дилогарифм Роджерса связан с дилогарифмом Эйлера"--~Спенса формулой $\rL(z)=\Li_2(z)+{1\over2}\log z\log(1-z)$.}
%
\eq$$
{\rm L(0)}=0,
\qquad
{\rm L(1)}={\pi^2\over6}=\rL(z)+\rL(1-z),
\qquad
{\rm L\left(1-\sqrt5\over2\right)}=-{\pi^2\over15}.
\label{Rdilog-specvals}
$$

Рассмотрим несколько примеров. Начнем с тривиальных. Для свободной частицы $S(\theta)=1$, $\nu=0$ и $\epsilon_0=0$. Поэтому имеем
$$
c^{FB}=c_\eff^{FB}={6\over\pi^2}\rL(1)=1
$$
в бозонном случае и
$$
c^{FF}=c_\eff^{FF}=-{6\over\pi^2}\rL(-1)={6\over\pi^2}\rL\left(1\over2\right)={1\over2}
$$
в фермионном случае (модель Изинга при нулевом магнитном поле).

Теперь перейдем к нетривиальным случаям. Рассмотрим матрицу рассеяния бризера в модели синус"=Гордона:
\eq$$
S_{11}(\theta)={\th{1\over2}(\theta+i\pi p)\over\th{1\over2}(\theta-i\pi p)}.
\label{SG-S11-rep}
$$
Начнем со случая $-1<p<0$, который соответствует модели sh"=Гордона. Это «фермионная» $S$"=матрица для бозонов: $S(0)=-1$. В этой модели имеется всего одна частица, поэтому это рассмотрение кажется осмысленным. В этом случае $\nu=1$ и уравнение~(\ref{TBA-epsilon0-def}) не имеет решения. Формально мы можем положить $e^{-\epsilon_0}=+\infty$. Отсюда имеем
$$
c_\eff^{ShG}=-{6\over\pi^2}\rL(-\infty)={6\over\pi^2}\rL(1)=1.
$$
Итак, модель sh"=Гордона на малых масштабах ведет себя как модель свободного безмассового бозона.

Теперь рассмотрим матрицу~(\ref{SG-S11-rep}) при $0<p<1$. В отличие от предыдущего случая, здесь $\nu=-1$ и уравнение~(\ref{TBA-epsilon0-def}) имеет решение
$$
e^{-\epsilon_0}={\sqrt5-1\over2}.
$$
Отсюда получаем эффективный центральный заряд
\eq$$
c^{LY}_\eff={2\over5}.
\label{ceff-LY}
$$
Очевидно, эта величина имеет смысл только тогда, кода спектр состоит из одной этой частицы. Спектр модели синус"=Гордона содержит также солитоны и высшие бризеры (на последнее указывает полюс в~$S_{11}(\theta)$). Если учесть все эти частицы, окажется, что эффективный центральный заряд модели синус"=Гордона равен единице. То есть, опять же, модель синус"=Гордона на малых масштабах ведет себя как свободный безмассовый бозон. Ответ~(\ref{ceff-LY}) верен для случая $p=2/3$, когда мы отождествляем связанное состояние с одной частицей. Этот ответ согласуется с гипотезой о том, что такая теория является возмущением теории Ли"--~Янга c центральным зарядом $c=-22/5$ и $\Delta_\tmin=-1/5$.

Оценим число~$N$ частиц в системе. Согласно формуле~(\ref{TBA-N-epsilon}), имеем
$$
{N\over L}\simeq-{\d\over\d R}\log{2\over mR}\log(1+e^{-\epsilon_0})\sim R^{-1}.
$$
Таким образом, среднее расстояние между частицами по порядку величины равно $R\ll\xi$ и, таким образом, предположение~(\ref{L-gg-xiN}) термодинамического анзаца Бете не выполнено. Возникает вопрос, почему все же термодинамический анзац Бете работает. Ответ на этот вопрос дан в работе Классена и Мельцера\cite{KlMel}. Они обратили внимание на то, что, как показали Дашен, Ма и Бернштейн в 1969 году \cite{DMB}, вириальные коэффициенты газа полностью определяются $S$"=матрицей составляющих его частиц. Точные $S$"=матрицы дают точные вириальные коэффициенты и, коль скоро газ не испытывает фазового перехода при повышении температуры, его статистическая сумма является аналитическим продолжением статистической суммы из области $R\gg\xi$. Это значит, что условием применимости термодинамического анзаца Бете является отсутствие фазового перехода для системы частиц.

Рассмотрим теперь случай нескольких частиц с диагональной матрицей рассеяния. Уравнение (\ref{TBA-YYeq}) в пределе $R\to0$ имеет вид
\eq$$
\epsilon_{0a}=\sum_b\nu_{ab}\sigma_b\log(1-\sigma_be^{-\epsilon_{0b}}),
\qquad
\nu_{ab}={\phi_{ab}(+\infty)-\phi_{ab}(-\infty)\over2\pi}.
\label{TBA-epsilon0-mp}
$$
Сумма берется по всем частицам в спектре. Формула для значения в нуле скейлинговой функции $f(m_\tmin R)=R\cE_0(R)$ имеет практически тот же вид:
\eq$$
f(0)=-{1\over\pi}\sum_a\sigma_a\rL(\sigma_ae^{-\epsilon_{0a}}).
\label{TBA-f(0)-dilog-mp}
$$

Рассмотрим теорию рассеяния бризеров в модели синус"=Гордона. Как мы помним, эта теория становится замкнутой в точках $p=2/(2N-1)$ при отождествлении $n$того и $(2N-1-n)$того бризеров. Константы $\nu_{nn'}$ даются формулами
\eq$$
\nu_{nn'}=\Cases{1-2n,&n'=n;\\-2n,&n<n';\\-2n',&n'<n.}
\label{TBA-SGbr-nu}
$$
Систему уравнений удобно писать в терминах $y_n=e^{-\epsilon_{0n}}$:
\eq$$
y_n(1+y_n)^{2n-1}\prod^{n-1}_{m=1}(1+y_m)^{2m}\prod^{N-1}_{m=n+1}(1+y_m)^{2n}=1,
\qquad
n=1,\ldots,N-1.
\label{TBA-SGbr-epsilon0-eqs}
$$
Эту систему удобно переписать в виде
\eq$$
y_n^{-2}=(1+y_{n-1}^{-1})(1+y_{n+1}^{-1})\quad(1\le n\le N-1),
\qquad
y_0^{-1}=0,
\qquad
y_N=y_{N-1}.
\label{TBA-SGbr-ysys}
$$
Эти две системы не эквивалентны, но, во"=первых, любое решение системы~(\ref{TBA-SGbr-epsilon0-eqs}) удовлетворяет системе~(\ref{TBA-SGbr-ysys}), а во"=вторых, единственное положительное ($\forall n:y_n>0$) решение второй системы совпадает с единственным положительным решением первой системы.

Для дилогарифма Роджерса есть много теорем о его значениях на решениях систем типа~(\ref{TBA-SGbr-ysys}) (\emph{$Y$"=систем}).%
%
\footnote{Обзор этих теорем можно найти в работе~\cite{Nak}.}
%
В частности, система
\eq$$
y_n^{-2}=(1+y_{n-1}^{-1})(1+y_{n+1}^{-1})\quad(1\le n\le l-1),
\qquad
y_0^{-1}=y_l^{-1}=0,
\label{TBA-ysys-long}
$$
имеет единственное положительное решение, и
\eq$$
-{6\over\pi^2}\sum^{l-1}_{n=1}\rL(-y_n)=2-{6\over l+2}
\label{TBA-sumL-ysys}
$$
Если мы заметим, что при $l=2N-1$ любое решение системы~(\ref{TBA-SGbr-ysys}) является симметричным ($y_{l-n}=y_n$) решением системы~(\ref{TBA-ysys-long}), то
\eq$$
c^N_\eff=-{6\over\pi^2}\sum^{N-1}_{n=1}\rL(-y_n)=1-{3\over2N+1}
\label{ceff-ribbon}
$$
совпадает с эффективным центральным зарядом «ленточных» моделей $M(2,2N+1)$.

Вернемся к задаче об одной частице и изучим следующие члены в разложении~$f(r)$. В первом приближении надо учесть влияние второй экспоненты на кинк $\tilde\epsilon(\theta)$. Добавим вклад второй экспоненты в правую часть~(\ref{TBA-kink-eq}):
$$
\tilde\epsilon(\theta)+\delta\epsilon(\theta)
-\sigma\int{d\theta'\over2\pi}\,\phi'(\theta-\theta')\log(1-\sigma e^{-\tilde\epsilon(\theta')-\delta\epsilon(\theta')})
=e^\theta+\left(\textstyle{mR\over2}\right)^2e^{-\theta}.
$$
Раскладывая по $\delta\epsilon$, получаем
\eq$$
\delta\epsilon(\theta)=\left(mR\over2\right)^2\tilde\psi_-(\theta),
\label{deltaepsilon-psi}
$$
где $\tilde\psi_-(\theta)$ является решением линейной задачи
\eq$$
\psi_\pm(\theta)-\int{d\theta'\over2\pi}\,\phi'(\theta-\theta'){\psi_\pm(\theta')\over e^{\epsilon(\theta')}-\sigma}=e^{\pm\theta}
\label{TBA-psi-eq}
$$
при $\epsilon(\theta)=\tilde\epsilon(\theta)$. Найдем решения этой линейной задачи. Заметим, что уравнение для $\tilde\psi_+$ получается дифференцированием уравнения~(\ref{TBA-kink-eq}) по~$\theta$. Следовательно,
\eq$$
\tilde\psi_+(\theta)=\tilde\epsilon'(\theta).
\label{TBA-psi+-fin}
$$
Подставляя решение $\tilde\epsilon+\delta\epsilon$ вместо $\tilde\epsilon$ в правую часть~(\ref{TBA-f(r)-kink}), получаем
$$
f(r)=f(0)+{r^2\over2}\int{d\theta\over2\pi}\,{e^\theta\tilde\psi_-(\theta)\over e^{\tilde\epsilon(\theta)}-\sigma}.
$$
Подставляя в правую часть уравнение для $\psi_+$, получаем
$$
f''(0)=\int{d\theta\over2\pi}\,{\tilde\psi_+(\theta)\tilde\psi_-(\theta)\over e^{\tilde\epsilon(\theta)}-\sigma}
-\int{d\theta\over2\pi}{d\theta'\over2\pi}\,{\phi'(\theta-\theta')\tilde\psi_+(\theta)\tilde\psi_-(\theta')
  \over(e^{\tilde\epsilon(\theta)}-\sigma)(e^{\tilde\epsilon(\theta')}-\sigma)}.
$$
Применяя теперь уравнение для~$\psi_-$ и используя~(\ref{TBA-psi+-fin}), получаем
\eq$$
f''(0)=\int{d\theta\over2\pi}\,{e^{-\theta}\tilde\psi_+(\theta)\over e^{\tilde\epsilon(\theta)}-\sigma}
=\sigma\int{d\theta\over2\pi}\,e^{-\theta}{\d\over\d\theta}\log(1-\sigma e^{-\tilde\epsilon(\theta)}).
\label{TBA-f''(0)-intexpression}
$$
Мы видим, что интеграл определяется формой кинка на левом крае. Его нетрудно вычислить, если фаза $S$"=матрицы спадает как
\eq$$
\phi(\theta)=\pi\nu+Ae^{-\theta}+o(e^{-\theta}),
\qquad
\theta\to\infty.
\label{logS-asymptotic}
$$
В этом случае при $\theta\to-\infty$ имеем
$$
-\sigma e^{-\theta}\int{d\theta'\over2\pi}\,(\phi(\theta-\theta')+\pi\nu){\d\over\d\theta'}\log(1-\sigma e^{-\tilde\epsilon(\theta')})
=\sigma A\int{d\theta'\over2\pi}\,e^{-\theta'}{\d\over\d\theta'}\log(1-\sigma e^{-\tilde\epsilon(\theta')})
=Af''(0).
$$
С другой стороны разность $\tilde\epsilon(\theta)-\epsilon_0=o(e^\theta)$ при $\theta\to-\infty$. Это немедленно следует из требования сходимости интеграла в левой части уравнения~(\ref{TBA-kink-eq}). Поэтому, в силу этого же уравнения, левая часть последнего тождества равна $$
e^{-\theta}\left(\epsilon_0-\sigma\int{d\theta'\over2\pi}\,\phi'(\theta-\theta')\log(1-\sigma e^{-\tilde\epsilon(\theta')})\right)
=1.
$$
Следовательно,
\eq$$
f''(0)=A^{-1}=\lim_{\theta\to\infty}\left((\phi(\theta)-\pi\nu)e^\theta\right)^{-1}.
\label{TBA-f''(0)-fin}
$$
Отсюда имеем
\eq$$
\ve_\infty=-{f''(0)m^2\over2}.
\label{veinf-fin}
$$
Для $S$"=матрицы~(\ref{SG-S11-rep}) имеем $A=4\sin\pi p$. Следовательно, для модели sh"=Гордона ($-1<p<0$)
\eq$$
\ve_\infty={m^2\over8\sin\pi(-p)},
\label{veinf-ShG}
$$
а для модели Ли"--~Янга
\eq$$
\ve_\infty=-{m^2\over4\sqrt3}.
\label{veinf-LY}
$$

Более тщательный анализ показывает, что выражение $f(r)-f(0)-{1\over2}f''(0)r^2$ действительно раскладывается по целым степеням $r^\alpha$ c некоторым показателем $\alpha>0$, что позволяет найти конформную размерность возмущающего оператора $\Delta_\pert=1-\alpha/2$. Вычисление коэффициента при первой поправке позволяет связать константу связи~$\lambda$ с массой частицы~$m$.

\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

\begin{asparaenum}[\bf1.]

\item Выведите~(\ref{TBA-epsilon0-mp}) и~(\ref{TBA-f(0)-dilog-mp}).

\item Покажите, что для $S$"=матриц бризеров в модели синус"=Гордона при $0<p<1$ набег фазы дается формулой~(\ref{TBA-SGbr-nu}). Выведите (\ref{TBA-SGbr-epsilon0-eqs}), (\ref{TBA-SGbr-ysys}).

\item Покажите, что для моделей, описываемых бризерным сектором модели синус"=Гордона в точках $p=2/(2N-1)$ с отождествлением частиц $n\sim 2N-1-n$ величина~$\epsilon_\infty$ дается формулой~(\ref{veinf-ShG}) с параметром $m=m_1$.

\item Покажите, что при больших значениях $\theta$ функция $\epsilon(\theta)$ имеет асимптотику вида
$$
\epsilon(\theta)={mR\over2}e^\theta+\sum^\infty_{n=1}s_n(mR)(mRe^\theta)^{-n},
$$
где функции $s_n(r)$ конечны при $r\to0$. Выразите $s_1(r)$ через~$f(r)$. Покажите, что остальные коэффициенты $s_n(r)$ можно представить в виде
$$
s_n(mR)=-nA_n\sigma(mR)^n\int{d\theta\over2\pi}\,e^{n\theta}\log(1-\sigma e^{-\epsilon(\theta)}),
\qquad
\phi(\theta)=\pi\nu+\sum^\infty_{n=1}A_ne^{-n\theta},
$$
причем $s_n(0)\ne0$, если $A_n\ne0$. Оцените значения $s_n(0)$ при больших~$n$. Найдите значения $n$, при которых $A_n\ne0$, для модели sh"=Гордона и модели Ли"--~Янга.

\starenumi
\item Рассмотрите модель с матрицей рассеяния фундаментальной частицы
\eq$$
S_{11}(\theta)=S_{1\bar1}(i\pi-\theta)
={\sh{1\over2}\left(\theta+{2\pi i\over N}\right)\over\sh{1\over2}\left(\theta-{2\pi i\over N}\right)},
\label{S11-ZN}
$$
где $N\ge2$ "--- целое число. Эта $S$"=матрица имеет полюс, порождающий серию связанных состояний $n=2,3,\ldots,N$ (см.\ задачу~10.5). При отождествлении $\bar n=N-n$, спектр замыкается ($\Z_N$"=симметричная модель Изинга). Найдите параметры $\nu_{nn'}$ для этой теории и покажите, что эффективный центральный заряд совпадает с центральным зарядом теории $\Z_N$"=парафермионов:
\eq$$
c=2-{6\over N+2}.
\label{c-ZN}
$$
Найдите также значения~$\epsilon_\infty$.


\end{asparaenum}
