% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\section{\texorpdfstring{Вселенная де Ситтера и инфляционные модели}{Vselennaya de Sittera i infliatsionnye modeli}}
\setcounter{page}1

В прошлый раз мы обсудили космологические модели Фридмана. Во всех моделях такого типа присутствует начальная сингулярность, в которой плотность вещества равна бесконечности. Можно предположить, что имеется некоторый малый масштаб расстояний и времен, за которым классическая общая теория относительности перестает работать из-за квантовых эффектов. Этот масштаб можно попробовать оценить, составив комбинацию размерности длины из гравитационной постоянной $G$, скорости света $c$ и постоянной планка $\hbar$:
\eq$$
l_\Pl=\sqrt{\hbar G\over c^3}\simeq1.6\cdot10^{-33}\>\text{cm},
\qquad
t_\Pl=\sqrt{\hbar G\over c^5}\simeq5.4\cdot10^{-44}\>\text{с}.
\label{lPl-def}
$$
Этот масштаб принято называть \emph{планковской длиной}. Аналогично вводятся масштабы массы и энергии
\eq$$
m_\Pl=\sqrt{\hbar c\over G}\simeq2.2\cdot10^{-5}\>\text{г},
\qquad
E_\Pl=\sqrt{\hbar c^5\over G}\simeq2.0\cdot10^{16}\>\text{эрг},
\qquad
T_\Pl={E_\text{Pl}\over k_B}\simeq1.4\cdot10^{32}\>\text{К}.
\label{mPl-def}
$$

Предположим, что начальные данные для фридмановских моделей следует задавать в момент времени, сравнимый с планковским. Тогда возникает несколько проблем.

{\bf 1.~Проблема плоской Вселенной.} В настоящий момент времени $t_0\simeq4.4\cdot10^{17}\>\text{с}$ Вселенная в настоящее время представляется с высокой степенью точности плоской, то есть для плотности Вселенной $\rho$ имеем
\eq$$
|\delta\Omega_0|={|\rho_0-\rho_c|\over\rho_c}\lesssim0.1.
\label{deltaOmega0-estimation}
$$
В то же время, согласно уравнению (\ref{Eeq-cosmol-etaeta}) (или эквивалентной ему формуле для постоянной Хаббла (\ref{Hubble-fin})) имеем
\eq$$
\delta\Omega={\rho-\rho_c\over\rho_c}={\varepsilon\over\dot a^2}.
\label{deltaOmega-fin}
$$
Если считать, что между «начальным» моментом $t_\Pl$ и моментом времени $t_r\sim10^{13}\>\text{с}$ Вселенная была в стадии радиационного доминирования, так что $\dot a^2\sim t^{-1}$, а начиная с $t_r$ и почти до настоящего момента $t_0\sim10^{17}\>\text{с}$ "--- в пылевидной стадии, так что $\dot a^2\sim t^{-2/3}$, имеем
\eq$$
|\delta\Omega(t_\Pl)|\sim|\delta\Omega_0|\left(t_\Pl\over t_r\right)\left(t_r\over t_0\right)^{2/3}\sim10^{-60}.
\label{deltaOmegaPl-estim}
$$
Итак, \emph{чтобы Вселенная оставалась приблизительно плоской в настоящее время, она должна быть невероятно близка к плоской в момент времени, когда фридмановские модели начинают работать.}

{\bf 2.~Проблема однородности и изотропии Вселенной.} Оценка устойчивости однородной и изотропной вселенной относительно возмущений показывает, что анизотропия и неоднородность фридмановских вселенных должна расти со временем. Для наблюдаемой однородности и изотропии в настоящее время, а также, особенно, для высокой ($\sim10^{-4}$) изотропии реликтового излучения требуется невероятно высокая однородность и изотропия на планковском времени. Более подробный разбор выходит за рамки нашего курса. С этой проблемой тесно связана следующая проблема.

{\bf 3.~Проблема горизонтов.} Предположим, наблюдатель находится в точке $\chi=\vartheta=\varphi=0$ в момент времени~$t_1$. Мы хотим узнать, какую часть пространства он может видеть в пространственном слое при некотором значении времени~$t<t_1$. Эта часть пространства ограничена значениями $\chi\le\chi(t,t_1)$, такими что
\eq$$
\chi(t,t_1)=\eta_1-\eta=\int^{t_1}_t{dt\over a(t)}.
\label{chi-t-t1-def}
$$
Эта величина дает радиус видимости, отнесенный к масштабному фактору. Как мы видели, в плоских фридмановских моделях $a(t)\sim t^\alpha$, где $0<\alpha<1$ ($\alpha=2/3$ на пылевой стадии и $\alpha=1/2$ на стадии радиационного доминирования). Легко видеть, что при $t\to0$ относительный радиус видимости $\chi(t,t_1)$ конечен:
$$
\chi(0,t_1)=\eta_1\sim t_1^{1-\alpha}.
$$
Чем меньше время $t_1$, тем меньшую долю пространства вблизи сингулярности видит наблюдатель. А это значит, что у вещества в моменты времени близкие к начальному нет возможности прийти в какое"=либо равновесие: пространство разделено на маленькие участки, не сообщающиеся между собой из-за конечности скорости света. Поэтому, если начальное состояние неоднородно, в дальнейшем со временем в зону видимости наблюдателя будет попадать все больше областей со своими неоднородностями, и Вселенная будет выглядеть крайне неоднородной и анизотропной.

Эти проблемы могут быть несколько ослаблены, если начальный момент $t_c$ (по современным оценкам $t_c\sim10^{-32}\>\text{с}$, если мы примем шкалу времени, отвечающую радиационно"=доминированной стадии), при котором надо задавать начальные условия уравнениям Фридмана много больше планковского времени $t_\Pl$. Тем не менее, это кардинально не меняет ситуацию. Например, в этом случае должно быть $|\delta\Omega(t_c)|\sim10^{-49}$, что тоже фантастически малая величина. Значит, необходимо тщательнейшим образом приготовить начальное условие для радиационно"=доминированной стадии. Должна быть какая"=то стадия развития Вселенной, которая их обеспечит.

Есть еще несколько проблем ({\bf проблема большой массы и энтропии, проблема барионной асимметрии, проблема образования галактик} и~др.), которые мы здесь не будем рассматривать, и которые также указывают на то, что \emph{стадии радиационного доминирования должна предшествовать стадия, которая обеспечит необходимые начальные условия}. Эта стадия должна быть связана с новой физикой, так как никакая известная материя эту стадию реализовать не может.

Удобнее начать конструирование этой дополнительной стадии с проблемы горизонтов. Мы хотели бы, чтобы $\chi(t,t_1)\to\infty$ при $t\to0$. Это возможно при $\alpha\ge1$. Однако, как легко показать, в таких системах $\rho\sim a^{-2/\alpha}$ и $p={2\over3\alpha}-1<0$. Мы не знаем разумных физических моделей с такой зависимостью, кроме предельного случая $\alpha\to\infty$, который отвечает некоторым моделям теории поля, которые мы обсудим в конце лекции. В данный момент примем $\alpha=\infty$, так что
\eq$$
\rho=-p=\const,
\label{rho-inflation}
$$
что соответствует космологической постоянной. Мы не будем считать это эффектом космологической постоянной по следующей причине. В момент времени $t_c$ «космологическая постоянная» быстро снизилась на много порядков, возможно, до современного чрезвычайно низкого значения. Эта предрадиационная фаза называется \emph{стадией инфляции}.

Итак, рассмотрим расширение Вселенной с материей, имеющей уравнение состояния~(\ref{rho-inflation}). Если плотность $\rho$ достаточно велика, масштабный фактор экспоненциально быстро растет и член $\varepsilon a^{-2}$ под корнем в (\ref{Hubble-fin}) становится пренебрежимо мал. Это решает проблему плоской Вселенной. Чтобы не усложнять формул, впредь мы будем полагать кривизну пространства равной нулю и считать $a(t)=H^{-1}\e^{Ht}$, где $H=\sqrt{{8\pi\over3}G\rho}$. Коэффициент пропорциональности мы положили равным единице, так как мы можем его изменить сдвигом по времени $t\to t+\const$. Коэффициент $H^{-1}$ введен для того, чтобы масштабный параметр имел естественную размерность длины. Итак, имеем
\Align$$
ds^2
&=dt^2-H^{-2}\e^{2Ht}(d\chi^2+\chi^2\,d\omega^2)
=dt^2-H^{-2}\e^{2Ht}(dx^2+dy^2+dz^2)
\notag
\\
&={d\eta^2-d\chi^2-\chi^2\,d\omega^2\over H^2\eta^2}
={d\eta^2-dx^2-dy^2-dz^2\over H^2\eta^2},
\qquad
\eta=-\e^{-Ht},
\label{ds2-inflation}
$$
где
$$
d\omega^2=d\vartheta^2+\sin^2\vartheta\,d\varphi^2.
$$
Важно отметить, что в системе нет сингулярности: метрика определена для всех моментов времени $t\lesssim t_c$, $\eta<\eta_c<0$. Формально метрика (\ref{ds2-inflation}) решает проблему горизонтов
\eq$$
\chi(t,t_1)=\e^{-Ht}-\e^{-Ht_1}\mathrel{\underset{t\to-\infty}\longrightarrow}\infty.
\label{chi-inf-inflation}
$$
На самом деле решение несколько сложней, потому что \emph{метрика (\ref{ds2-inflation}) неполна в прошлом}.

Чтобы увидеть неполноту метрики (\ref{ds2-inflation}), решим уравнение Гамильтона"--~Якоби для свободно падающей частицы:
\eq$$
\left(\d S\over\d\eta\right)^2-\left(\d S\over\d\boldr\right)^2={m^2\over H^2\eta^2}.
\label{HJ-inflation}
$$
Полагая
$$
S(\boldP;\eta,\boldr)=\boldP\boldr+S_\eta(\boldP;\eta),
$$
находим
\eq$$
S_\eta(\boldP;\eta)=-\int d\eta\,\sqrt{\boldP^2+m^2H^{-2}\eta^{-2}}.
\label{Seta-fin}
$$
Дифференцируя функцию действия $S$ по $\boldP$, получаем уравнение геодезической в виде
\eq$$
\boldr=\boldP\int{d\eta\over\sqrt{\boldP^2+m^2H^{-2}\eta^{-2}}}.
\label{geodesic-inflation}
$$
Нетрудно вычислить собственное время в интервале времени $[t,t_1]$ ($t\le t_1$):
\eq$$
\tau={m\over H^2}\int^{\eta_1}_\eta{d\eta\over\eta^2\sqrt{\boldP^2+m^2H^{-2}\eta^{-2}}}
=m\int^{t_1}_t{dt\over\sqrt{\boldP^2H^2\e^{-2Ht}+m^2}}.
\label{tau-inflation}
$$
В случае $\boldP=0$ (неподвижная частица) имеем $\tau=t_1-t$ и $\tau\to\infty$ при $t\to-\infty$. Однако при сколь угодно малых ненулевых импульсах мы получаем конечное собственное время:
$$
\tau<{m\over HP}\int^{t_1}_tdt\,\e^{Ht}={m\over H^2P}(\e^{Ht_1}-\e^{Ht})<{m\over H^2P}\e^{Ht_1}.
$$

Чтобы прояснить ситуацию, перейдем к координатам светового конуса
\eq$$
u=\eta-\chi,
\qquad
v=\eta+\chi.
\label{uv-etachi-inflation}
$$
Легко получаем
\eq$$
ds^2=\left(2\over H(u+v)\right)^2\left(du\,dv-\left(v-u\over2\right)^2d\omega^2\right).
\label{ds2-uv-inflation}
$$
Чтобы нарисовать диаграмму Пенроуза, сделаем преобразование координат к компактной области:
\eq$$
u=2\tg{u'\over2},
\qquad
v=2\th{v'\over2}.
\label{uv-u'v'-inflation}
$$
Для метрики получаем
\Align$$
ds^2
&={1\over H^2\sin^2{u'+v'\over2}}\left(du'\,dv'-\sin^2{v'-u'\over2}\,d\omega^2\right)
\notag
\\
&={d\eta^{\prime2}-d\chi^{\prime2}-\sin^2\chi'\,d\omega^2\over H^2\sin^2\eta'}
\notag
\\
&=dt^{\prime2}-H^{-2}\ch^2Ht'\,\left(d\chi^{\prime2}+\sin^2\chi'\,d\omega^2\right),
\label{ds2-u'v'-inflation}
$$
где $\eta',\chi',t'$ определяются равенствами
\eq$$
u'=\eta'-\chi',
\qquad
v'=\eta'+\chi',
\qquad
\cos\eta'=\th Ht'.
\label{u'v'-eta'chi'-inflation}
$$
Теперь нетрудно нарисовать диаграмму Пенроуза для области, покрываемой картой~(\ref{ds2-inflation}). Она представлена на Рис.~\ref{inflation-diagram}(a). Виден смысле условия~(\ref{chi-inf-inflation}): зона видимости включает бесконечное прошлое. В то же время в координатах $u',v'$ на линии $u'=-\pi$ ($u=-\infty$) нет никакой особенности метрики. Метрика гладко продолжается на всю область $-\pi<\eta'<0$, $0<\chi'<\pi$ (Рис.~\ref{inflation-diagram}(b)). Поверхности $\eta'=0,\pi$ отвечают бесконечному прошлому и бесконечному будущему. Любое движение до этих точек требует бесконечного собственного времени или бесконечного аффинного параметра, поэтому за них многообразие не может быть продолжено. Поверхности же $\chi'=0,\pi$ являются особыми для метрики, поскольку являются на самом деле точками: пространство оказывается замкнутым.

\begin{figure}[t]
\centering
\begin{subfigure}{.48\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=4]
\fill[draw=none,fill=gray!15] (0,-1) -- (.45,-.55) -- (.3,-.4) -- (0,-.7) -- cycle;
\draw[-] (0,0) -- node[anchor=south] {$t=+\infty$} (1,0) node[anchor=west] {$\chi=+\infty$}
  -- node[anchor=north,rotate=45] {$u=-\infty$} (0,-1) node[anchor=north] {$t=-\infty$} -- node[anchor=south,rotate=90] {$\chi=0$} (0,0);
\draw[->] (0,0) -- +(-.2,.2) node [anchor=south east] {$u$};
\draw[->] (0,0) -- +(.2,.2) node [anchor=south west] {$v$};
\draw[dashed] (.3,-.4) node[anchor=south] {$x$} -- (0,-.7);
\draw[dashed] (.3,-.4) -- (.45,-.55);
\draw[dashed] plot[domain=-.517:-.15,samples=35] ({.5-asin(sin(180*\x)/(-1.060)-cos(180*\x))/180},\x) node[coordinate] (Atconst) {};
\draw[dashed] plot[domain=-.15:0,samples=15] ({.5-asin(sin(180*\x)/(-1.060)-cos(180*\x))/180},\x);
\path[->] (1,-.2) node[anchor=west] {$t=\const$} edge[out=180,in=-20] (Atconst);
\end{tikzpicture}
\caption{}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{.48\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=4]
\fill[draw=none,fill=gray!15] (0,-1) -- (.9,-1) -- (.3,-.4) -- (0,-.7) -- cycle;
\draw[-] (0,0) -- node[anchor=south] {$t'=+\infty$} (1,0) -- node[anchor=south,rotate=-90] {$\chi'=\pi$} (1,-1)
  -- node[anchor=north] {$t'=-\infty$} (0,-1) -- node[anchor=south,rotate=90] {$\chi'=0$} (0,0);
\draw[->] (0,0) -- +(-.2,.2) node [anchor=south east] {$u'$};
\draw[->] (0,0) -- +(.2,.2) node [anchor=south west] {$v'$};
\draw[dashed] (.3,-.4) node[anchor=south] {$x$} -- (0,-.7);
\draw[dashed] (.3,-.4) -- (.9,-1);
\draw[dashed] (0,-.4) -- (1,-.4) node[coordinate,pos=.8] (Atprimeconst) {};
\path[->] (1.1,-.2) node[anchor=west] {$t'=\const$} edge[out=180,in=45] (Atprimeconst);
\draw[dash pattern=on 5pt off 5pt] (0,-1) -- node[anchor=south,pos=.75,rotate=45] {$u'=-\pi$} (1,0);
\draw[dash pattern=on 5pt off 5pt] (0,-.5) -- node[anchor=north,pos=.75] {$t'=0$} (1,-.5);
\end{tikzpicture}
\caption{}
\end{subfigure}
\qquad
\caption{Диаграмма Пенроуза экспоненциально расширяющейся вселенной. Каждой точке на диаграмме отвечает двумерная сфера радиуса $\e^{Ht}\chi$ в пространстве $t=\const$ и радиуса $\ch Ht'\sin\chi'$ в пространстве $t'=\const$. (a)~Неполная диаграмма, покрывающая только карту~(\ref{ds2-inflation}). Серым закрашена область, видимая из точки~$x$. (b)~Полная карта. Линии $u=-\infty$ и $v=-\infty$ не являются особыми для метрики. Особыми являются линии $\eta'=0$ ($t'\to+\infty$) и $\eta'=-\pi$ ($t'\to-\infty$).}
\label{inflation-diagram}
\end{figure}

Пространство, изображенное на Рис.~\ref{inflation-diagram}(b), представляет собой сферу, которая сначала экспоненциально быстро сжимается, в момент $t'=0$ сжатие сменяется расширением, которое тоже оказывается экспоненциально быстрым. Мы замечаем, что область видимости наблюдателя в точке $x$ в координатах $t',\chi'$ не охватывает всю область, где определена координата~$\chi$:
$$
\chi(t',t'_1)=\eta'_1-\eta'=\arctg\sh Ht'_1-\arctg\sh Ht'
\mathrel{\underset{t\to-\infty}\longrightarrow}{\pi\over2}+\arctg\sh Ht'_1<\pi.
$$
Тем не менее, на стадии быстрого расширения действительно происходит сглаживание возмущений. Действительно, предположим, что вблизи перешейка имеется некоторая неоднородность с характерным масштабом~$l$. В результате растяжения через время $T\gg H^{-1}$ эта характерная длина увеличится до $\sim\e^{TH}l$ на много порядков больше~$l$. Таким образом, наблюдатель в этот момент времени будет видеть почти однородную вселенную в своей окрестности. Неоднородности он будет наблюдать только вблизи границы видимости, то есть в далеком прошлом. Если затем инфляционная стадия сменится замедленным растяжением, когда удаленные участки вновь входят в горизонт видимости, \emph{окрестность наблюдателя} в течение продолжительного времени будет вести себя как фридмановская вселенная. Это значит, что мы не можем делать твердых заключений об устройстве Вселенной в целом. Однородность и изотропия являются свойствами \emph{видимой части Вселенной}. Сведения о реальной ее неоднородности и анизотропии мы можем черпать из наблюдений удаленных частей Вселенной с большими красными смещениями. Самое древнее событие, которое мы можем наблюдать в данный момент, это рекомбинация первичной электрон"=протонной плазмы, которая произошла в возрасте Вселенной примерно $380\>000$ лет и привела к образованию реликтового излучения. Это "--- основной источник наших данных о ранней Вселенной и о неоднородности Вселенной в целом.

Чтобы оценить, во сколько раз раздулась Вселенная во время инфляционной стадии, давайте оценим, насколько далеко пространство от плоского в конце инфляции. Если считать, что вначале инфляции $|\delta\Omega(t_\Pl)|=\dot a^{-2}(t_\Pl)\sim1$, то к концу инфляции $|\delta\Omega(t_c)|=\dot a^{-2}(t_c)\sim10^{-49}$. Так как на инфляционной стадии $\dot a=Ha$, раздутие Вселенной можно оценить как $a(t_c)/a(t_\Pl)\sim10^{49/2}\sim10^{24}$. С тех пор Вселенная расширилась еще в $(t_r/t_c)^{1/2}(t_a/t_r)^{2/3}\e^{H_0(t_0-t_a)}\sim10^{25}$ раз ($t_a$ "--- начало ускоренной стадии). Соответственно, постоянную Хаббла на инфляционной стадии мы можем оценить снизу как $H\gtrsim|\delta\Omega(t_c)|^{-1/2}/a(t_c)\sim a_\Pl^{-1}\sim10^{43}\>\text{с}^{-1}$. Соответственно, если верить этой картине, стадия инфляции продолжалась примерно $10$ планковских времен.

Чтобы лучше представлять себе пространство с метрикой (\ref{ds2-u'v'-inflation}), изучим его геометрические свойства. Начиная с этого момента мы будем опускать штрихи у параметров этой модели. С физической точки зрения (при $t\gtrsim H^{-1}$) это не очень существенно, а геометрически это исходные переменные (без штрихов) нам не понадобятся.

Рассмотрим пятимерное пространство Минковского с декартовыми координатами $X^I$, $I=0,\allowbreak\ldots,5$. В этом пространстве построим гиперболоид:
\eq$$
\eta_{IJ}X^IX^J=-\alpha^2.
\label{dS-in-Mink}
$$
Этот гиперболоид с индуцированной метрикой является псевдоримановым пространством постоянной положительной кривизны с $K=\alpha^{-2}$. Это пространство называется \emph{пространством де Ситтера 1-го рода} или просто \emph{пространством де Ситтера}. В координатах $t,\chi,\vartheta,\varphi$, определенных равенствами
\eq$$
\Aligned{
X^0
&=\alpha\sh\alpha^{-1}t,
\\
X^1
&=\alpha\ch\alpha^{-1}t\cos\chi,
\\
X^2
&=\alpha\ch\alpha^{-1}t\sin\chi\cos\vartheta,
\\
X^3
&=\alpha\ch\alpha^{-1}t\sin\chi\sin\vartheta\cos\varphi,
\\
X^4
&=\alpha\ch\alpha^{-1}t\sin\chi\sin\vartheta\sin\varphi,
}\label{tchithetaphi-dS}
$$
мы получаем метрику (\ref{ds2-u'v'-inflation}) (штрихи мы опустили!) c $H=\alpha^{-1}$. Иными словами $Ht,\chi,\vartheta,\varphi$ представляют собой угловые координаты на этом пространстве. Группа Лоренца $SO(1,4)$ в пятимерном пространстве представляет собой полный набор непрерывных симметрий пространства де Ситтера. Размерность этой группы равна $10$ и совпадает с размерностью группы Пуанкаре (группа Лоренца $\times$ группа трансляций) четырехмерного пространства Минковского. Таким образом, пространство де Ситтера является псевдоримановым пространством сигнатуры $(1,3)$ максимальной симметрии. Изотропные геодезические в пространстве де Ситтера даются прямыми в пятимерном пространстве. Времениподобные геодезические даются сечениями пространства де Ситтера двумерными времениподобными плоскостями в пятимерном пространстве. Все сечения пространства де Ситтера пространственноподобными гиперплоскостями, проходящими через точку~0, являются «большими кругами» и переходят друг в друга под действием группы $SO(1,4)$. Область, покрываемая метрикой (\ref{ds2-inflation}) покрывает половину пространства де Ситтера и отсекается изотропной гиперплоскостью в пятимерном пространстве, проходящей через точку~$0$.

Интересно также рассмотреть пространство постоянной отрицательной кривизны. Рассмотрим пятимерное пространство с сигнатурой $(2,3)$ и декартовыми координатами $Y^I$, $I=-1,\allowbreak\ldots,3$. Построим в нем гиперболоид
\eq$$
\eta_{IJ}Y^IY^J=\alpha^2.
\label{AdS-in-23}
$$
Это пространство кривизны $K=-\alpha^{-2}$ называется \emph{пространством де Ситтера 2-го рода} или \emph{пространством анти-де Ситтера}. Его тоже можно параметризовать несколькими разными способами. Глобальные координаты на нем даются переменными $\tau,\rho,\vartheta,\varphi$:
\eq$$
\Aligned{
Y^{-1}
&=\alpha\ch\rho\cos\tau,
\\
Y^0
&=\alpha\ch\rho\sin\tau,
\\
Y^1
&=\alpha\sh\rho\cos\vartheta,
\\
Y^2
&=\alpha\sh\rho\sin\vartheta\cos\varphi,
\\
Y^3
&=\alpha\sh\rho\sin\vartheta\sin\varphi.
}\label{taurhothetaphi-AdS}
$$
Метрика в этих координатах имеет вид
\eq$$
ds^2=\alpha^2(\ch^2\rho\,d\tau^2-d\rho^2-\sh^2\rho\,d\omega^2).
\label{ds2-AdS}
$$
Время $\tau$ является циклическим: имеет период $2\pi$. Однако из вида метрики легко понять, что пространство анти-де Ситтера имеет максимальное накрытие с той же метрикой без особенностей, в котором время меняется от $-\infty$ до $+\infty$. Пространственные слои метрики анти-де Ситтера открытые и являются пространствами постоянной отрицательной кривизны~$-\alpha^{-2}$.

Замечательное свойство пространства анти-де Ситтера состоит в том, что все геодезические, испущенные в некоторый момент времени $\tau$ из некоторой точки соберутся в той же точке в момент времени $\tau+\pi$. Это является прямой аналогией поведения геодезических на сфере: геодезические, начинающиеся в южном полюсе обязательно соберутся в северном. Отличие состоит в том, что пространство анти-де Ситтера допускает накрытие с тем же свойством. Другая особенность состоит в том, что в пространстве анти-де Ситтера отсутствуют пространственноподобные поверхности Коши. Времениподобная бесконечность играет роль голой сингулярности производя новые данные в каждый момент времени.

Вернемся к экспоненциально расширяющейся вселенной. Мы вкратце обсудим, какие механизмы могли бы привести к инфляции. Предположим, что имеется скалярное поле $\Phi$ с действием
\eq$$
S[\Phi]=\int d^4x\sqrt{|g|}\left({1\over2}g^{\mu\nu}\,\d_\mu\Phi\,\d_\nu\Phi-V(\Phi)\right).
\label{Phi-acition}
$$
Мы не будем обсуждать природу поля. Может быть, это какое"=то неизвестное фундаментальное поле, а может быть, конденсат каких"=то полей. Как бы то ни было, его тензор энергии"=импульса будет иметь вид
\eq$$
T_{\mu\nu}=\left(\d_\mu\Phi\,\d_\nu\Phi-{1\over2}g_{\mu\nu}g^{\kappa\lambda}\d_\kappa\Phi\,\d_\lambda\Phi\right)
+g_{\mu\nu}V(\Phi).
\label{Phi-Tmunu}
$$
Предположим, что поле $\Phi$ постоянно в пространстве и по какой"=то причине медленно меняется со временем. Тогда
\eq$$
T_{\mu\nu}\simeq g_{\mu\nu}\rho(t),
\qquad
\rho(t)=V(\Phi(t)).
\label{Phi-Tmunu-stat}
$$
Это эквивалентно появлению космологической «постоянной», медленно меняющейся со временем. Если $V(\Phi)>0$, это будет обеспечивать инфляционную стадию. Есть несколько предположений, как это может происходит. В одной из первых теорий предполагался локальный минимум в потенциале, удерживающий поле вблизи этого минимума. В какой"=то момент, в результате изменения потенциала поле «вываливается» из этого минимума и сваливался в основной минимум $V(0)=0$. Более современные теории предполагают то, что в результате первоначальной квантовой флуктуации поле «забрасывается» высоко по потенциалу, а потом уже классическим образом медленно спускается вниз. Можно показать, что при достаточно медленно растущем потенциале (например $V(\Phi)=\lambda\Phi^n$ при достаточно малом $n$ и большом $\lambda$) поле будет «спускаться» достаточно медленно, чтобы обеспечить инфляционную стадию. Рассматриваются также модели с несколькими скалярными полями. Основная цель таких исследований состоит в том, чтобы подобрать модель, которая бы наилучшим образом согласовывалась бы с наблюдательными данными. Если эта цель более или менее достижима, то между такими моделями и теориями поля, возникающими в физике элементарных частиц, до сих пор имеется существенный разрыв.

Для модели (\ref{Phi-acition}) нетрудно написать уравнение движения. Уравнения Лагранжа принимают вид:
\eq$$
\d_\mu(\sqrt{|g|}g^{\mu\nu}\d_\nu\Phi)=-{dV\over d\Phi}.
\label{Phi-eqmo}
$$
Здесь удобнее пользоваться временем~$t$. Полагая, что поле $\Phi$ не зависит от пространственных координат, и используя метрику в виде (\ref{ds2-cosmol}) находим
$$
{d\over dt}\left(a^3{d\Phi\over dt}\right)=-{dV\over d\Phi}.
$$
Окончательно получаем
\eq$$
\Gathered{
\ddot\Phi+3{\dot a\over a}\dot\Phi+V'(\Phi)=0,
\\
{\dot a^2\over a^2}+{\varepsilon\over a^2}={8\pi\over3}G\left({\dot\Phi^2\over2}+V(\phi)\right).
}\label{Phi-a-eqmo}
$$
Нетрудно проверить, что уравнение (\ref{T-rho-p-id}) удовлетворяется автоматически. Важный факт состоит в том, что параметр Хаббла в первом из уравнений играет роль коэффициента трения. Таким образом, расширение Вселенной тормозит «скатывание» поля в потенциальную яму и, тем самым, продлевает инфляционную стадию.





