% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\section{\texorpdfstring{Гравитационные волны}{Gravitacionnye volny}}
\setcounter{page}1

До сих пор мы рассматривали специальное решение линейной системы (\ref{Eeq-1order-psigauge}),~(\ref{psigauge}). Мы рассмотрели стационарный случай, в котором само условие стационарности и условие достаточно быстрого убывания на бесконечности ($\sim r^{3-d}$) выделяло определенное решение. В следующей лекции мы рассмотрим специальное решение, определенное условиями запаздывания и убывания. Но мы знаем, что общее решение линейной неоднородной системы равно сумме любого специального решения и общего решения однородной системы. Последнее мы и рассмотрим в этой лекции. В случае линеаризованного уравнения Эйнштейна однородная система состоит из волнового уравнения и условия калибровки:
\eq$$
\sqr\psi_{\mu\nu}=0,
\qquad
\psi^{\bar\mu}_{\nu,\mu}=0.
\label{Eeq-1order-homo}
$$
Мы ослабим ограничения и разрешим решения этого уравнения во всем пространстве, которые не спадают на бесконечности. Сначала найдем комплексные решения в виде плоских волн, а потом наложим условие вещественности на их комбинации. Именно, подставляя функции $\psi_{\mu\nu}$ в виде
\eq$$
\psi_{\mu\nu}(x)=A_{\mu\nu}\e^{-\i kx},
\qquad
A_{\nu\mu}=A_{\mu\nu},
\label{psi-planewave}
$$
в волновое уравнение, получаем спектр
\eq$$
k^{\bar0}=\pm\sqrt{(k^{\bar i})^2}=\pm|\boldk|,
\qquad
\boldk=k^{\bar i}\d_i,
\label{planewave-spectrum}
$$
а подставляя в условие калибровки, получаем уравнение пространственно"=временной поперечности
\eq$$
k^{\bar\mu}A_{\mu\nu}=0.
\label{psigauge-planewave}
$$
Общее решение имеет вид линейной комбинации всех возможных плоских волн
\eq$$
\Gathered{
\psi_{\mu\nu}(x)={1\over2}\sum_{\varepsilon=\pm}\int{d^{d-1}k\over(2\pi)^{d-1}}\,
A^\varepsilon_{\mu\nu}(\boldk)\e^{-\i\varepsilon(|\boldk|x^0-\boldk\boldr)},
\\
|\boldk|A^\pm_{0\nu}(\boldk)+k^{\bar i}A^\pm_{i\nu}(\boldk)=0,
\qquad
A^\pm_{\nu\mu}(\boldk)=A^\pm_{\mu\nu}(\boldk),
\qquad
A^-_{\mu\nu}(\boldk)=\left(A^+_{\mu\nu}(\boldk)\right)^*.
}\label{psi-homo-gensolution}
$$
Последнее равенство во второй строчке представляет собой условие вещественности решения.

Рассмотрим одну монохроматическую плоскую волну, движущуюся вправо вдоль оси~$x^1$, то есть с $k^{\bar0}=k^{\bar1}=\omega\ne0$, $k^{\bar a}=0$ ($a\ge2$):
\eq$$
\psi_{\mu\nu}(x)=\Re A_{\mu\nu}\e^{-\i\omega(x^0-x^1)}.
\label{planewave-x1}
$$
Иными словами $A^+_{\mu\nu}(\boldk)=(2\pi)^{d-1}A_{\mu\nu}\delta(\boldk-\omega\,\d_1)$. Для удобства в этой лекции мы будем обозначать индексы $0,1$ начальными буквами греческого алфавита, а индексы $2,\ldots,d-1$ "--- латинского:
$$
\alpha,\beta,\ldots=0,1;
\qquad
a,b,\ldots=2,\ldots,d-1.
$$
Условие калибровки (\ref{psigauge}) дает $d$ уравнений
\eq$$
A_{0\nu}=-A_{1\nu}.
\label{psigauge-planewave-x1}
$$
Таким образом, из $d(d+1)/2$ величин $A_{\mu\nu}$ осталось $d(d-1)/2$. Тем не менее, количество физически различных поляризаций меньше. Как мы уже отмечали, условие (\ref{psigauge}) не фиксирует калибровку полностью. Остаются еще преобразования
\eq$$
\psi'_{\mu\nu}=\psi_{\mu\nu}+\xi_{\bar\mu,\nu}+\xi_{\bar\nu,\mu}-\eta_{\mu\nu}\xi^\lambda{}_{,\lambda}.
\label{psi-transf}
$$
удовлетворяющие уравнению~(\ref{Square-xi}): $\sqr\xi^\mu=0$. Возьмем вектор $\xi^\mu$ вида
\eq$$
\xi^\mu=\Re X^\mu\,\e^{-\i\omega(x^0-x^1)}.
\label{xi-planewave}
$$
Из (\ref{psi-transf}) получаем
\eq$$
\Aligned{
A'_{00}
&=A_{00}-\i\omega(X^0+X^1),
\\
A'_{0a}
&=A_{0a}+\i\omega X^a,
\\
A'_{ab}
&=A_{ab}-\i\omega(X^0-X^1)\delta_{ab}.
}\label{A-planevave-transf}
$$
Мы видим, что калибровочные преобразования позволяют устранить еще $d$ компонент. Например, положив
$$
X^0+X^1=-\i\omega^{-1}A_{00},
\qquad
X^a=\i\omega^{-1}A_{0a},
\qquad
X^0-X^1=-{\i\omega^{-1}\over d-2}\sum^{d-2}_{a=1}A_{aa},
$$
мы получаем $A'_{\alpha\mu}=0$, $A^{\prime\bar\mu}_\mu=0$, то есть в результате калибровочного преобразования волна стала поперечной и бесследовой. Всего «живых» компонент остается $d(d-3)/2$. Так как числа $A_{\mu\nu}$ комплексные, имеем $d(d-3)$ начальных данных для плоской волны с импульсом $\boldk$.

Для описания гравитационной волны удобно выбрать $d(d-3)/2$ комбинаций компонент, инвариантных относительно остаточных калибровочных преобразований: $\psi_{ab}$ ($a<b$) и $\psi_{aa}-\psi_{a+1,a+1}$ ($a=2,\ldots,d-2$). В частности, в четырехмерном пространстве это $\psi_{23}$ и $\psi_{22}-\psi_{33}$. Вместе с их производными по времени они образуют $d(d-3)$ функции пространственных координат, необходимые для решения задачи Коши. В четырехмерном пространстве"=времени нужно задать четыре функции. Решения однородного уравнения в размерностях $d\le3$ полностью устраняются калибровкой, и гравитация в этих размерностях не имеет собственных динамических степеней свободы. Хотя мы рассматривали слабые возмущения плоского пространства"=времени, выводы, касающиеся задачи Коши в ОТО, имеют общий характер.

Изучая плоские волны, мы можем рассуждать по"=другому. Рассмотрим общее решение уравнений (\ref{Eeq-1order-homo}), не зависящее от координат~$x^a$. В плоскости $(x^0,x^1)$ удобно перейти к \emph{координатам светового конуса} $x^\pm=x^0\pm x^1$. Тогда
\eq$$
ds^2=h_{++}(dx^+)^2+h_{--}(dx^-)^2+(1+2h_{+-})\,dx^+\,dx^--(\delta_{ab}-h_{ab})\,dx^a\,dx^b.
\label{lightcone-1order}
$$
Уравнения (\ref{Eeq-1order-homo}) для постоянных по $x^a$ функций принимают вид
\eq$$
\d_+\d_-\psi_{\mu\nu}=0,
\qquad
\d_+\psi_{-\mu}+\d_-\psi_{+\mu}=0.
\label{Eeq-1order-planewave}
$$
Из волнового уравнения немедленно находим
\eq$$
\psi_{\mu\nu}=\psi^R_{\mu\nu}(x^-)+\psi^L_{\mu\nu}(x^+).
\label{psi-psiRL}
$$
Функция $\psi^R_{\mu\nu}(x^-)$ описывает волну, движущуюся направо, а функция $\psi^L_{\mu\nu}(x^+)$ "--- волну, движущуюся налево. Калибровочное условие дает $\dot\psi^L_{-\mu}(x^+)=-\dot\psi^R_{+\mu}(x^-)$. Левая часть этого уравнения зависит только от $x^+$, а правая "--- только от~$x^-$. Это значит, что обе функции постоянны. Исключая линейные решения для $\psi^{R,L}_{\mu\nu}$ как не соответствующие физическому условию малости и постоянные ненулевые решения, как отвечающие другой задаче (мы еще обсудим это в следующей лекции), находим:
\eq$$
\psi^L_{-\mu}=\psi^R_{+\mu}=0.
\label{psiRL-gauge}
$$
Нетрудно показать, что калибровочным преобразованием вида (\ref{psi-transf}) можно обратить в нуль компоненты $\psi^L_{+\mu},\psi^R_{-\mu}$ и следы $\psi^{R,L}=\eta^{\mu\nu}\psi^{R,L}_{\mu\nu}$ (поперечная калибровка). Тогда $h_{\mu\nu}=\psi_{\mu\nu}$ и решения будут иметь вид
\eq$$
h_{ab}(x)=h^R_{ab}(x^-)+h^L_{ab}(x^+),
\qquad
h_{\alpha\mu}=0,
\qquad
\eta^{ab}h^{R,L}_{ab}=0.
\label{h-hRL-transverse}
$$
Мы видим, что эволюция системы волн определяется $d(d-3)$ функциями $h^{R,L}_{ab}$ ($a<b$), $h^{R,L}_{aa}-h^{R,L}_{a+1,a+1}$ ($2\le a\le d-2$) в согласии с нашими предыдущими соображениями.

Оставив только одну движущуюся направо волну, изучим, как меняются под ее влиянием пространственные расстояния. Так как поперечной калибровке отвечает синхронная система координат ($g_{0\mu}=\delta_{0\mu}$), имеем
\eq$$
dl^2=(dx^1)^2+(\delta_{ab}-h_{ab})\,dx^a\,dx^b.
\label{dl2-planewave}
$$
Если мы возьмем $(d-2)$"=мерную сферу в плоскости, перпендикулярной волне, то функции $h_{ab}$ описывают небольшие центрально"=симметричные деформации такой сферы, причем величина $h_{aa}$ дает нам уменьшение диаметра сферы в направлении оси~$x^a$, а $h_{ab}$ ($a\ne b$) дает уменьшение диаметра сферы в диагональном направлении $x^a=x^b$ в плоскости $x^ax^b$ и увеличение диаметра в перпендикулярном ему диагональном направлении $x^a=-x^b$. В силу бесследовости объем сферы в первом порядке по~$h_{ab}$ сохраняется: $\det(\gamma_{ab})=\det(\delta_{ab}-h_{ab})\simeq1-\tr(h_{ab})=1$.

Важно, что эта $(d-2)$"=мерная сфера может быть физически реализована как система частиц. Именно, свободные пробные частицы, неподвижные в системе координат, в которой реализуется поперечная калибровка, остаются неподвижными в этой системе координат в течение всего времени прохождения волны. Действительно, в силу калибровки $h_{0\mu}=0$ имеем $\Gamma^\mu_{00}={1\over2}g^{\mu\nu}(2h_{0\nu,0}-h_{00,\nu})=0$. Это значит, что уравнение движения свободной частицы имеет вид
$$
\ddot x^\mu=-2\Gamma^\mu_{i0}\dot x^i\dot x^0-\Gamma^\mu_{ij}\dot x^i\dot x^j,
$$
То есть, если частица имеет нулевую скорость ($\dot x^i=0$) в какой"=то момент времени, то она имеет и нулевое ускорение ($\ddot x^i=0$). Значит, она будет оставаться неподвижной в поле волны сколь угодно долго.

Рассмотрим подробно случай $d=4$. Имеется две независимые компоненты
\eq$$
h_+=h_{22}=-h_{33},
\qquad
h_\times=h_{23}.
\label{h+x-def}
$$
В плоскости, поперечной к направлению движения волны имеем
\eq$$
dl_\perp^2=(1-h_+)(dx^2)^2+(1+h_+)(dx^3)^2-2h_\times\,dx^2\,dx^3.
\label{dl2-planewave-4d}
$$
Рассмотрим маленькую окружность радиуса $dr$ в плоскости $x^2x^3$ (точнее, в соответствующем касательном пространстве), перпендикулярной волновому вектору. Будем задавать точку на окружности углом $\theta$, отсчитываемым от оси $x^2$. Тогда координаты этой точки отличаются от координат центра окружности на величины
$$
dx^2=dr\cos\theta,
\qquad
dx^3=dr\sin\theta.
$$
Отсюда имеем
\eq$$
dl_\perp=dr\left(1-{h_+\over2}\cos2\theta-{h_\times\over2}\sin2\theta\right)
=dr\left(1-{h_*\over2}\cos2(\theta-\varphi)\right),
\label{dl-planewave-circ}
$$
где
$$
h_+=h_*\cos2\varphi,
\qquad
h_\times=h_*\sin2\varphi.
$$
Этот результат можно интерпретировать следующим образом. Предположим, у нашей волны $h_+$ и $h_\times$ пропорциональны (в случае монохромной волны это значит, что отношение $A_{22}/A_{23}$ вещественно), то есть $\varphi=\const$. Тогда кольцо в плоскости $x^2x^3$, будет сжиматься и растягиваться вдоль прямой, повернутой под углом $\varphi$ к оси $x^2$, и одновременно растягиваться и сжиматься вдоль перпендикулярной ей прямой. Мы будем называть такую волну волной с линейной (или плоской) поляризацией. В отличие от линейной поляризации электромагнитных волн угол $\varphi$ наклона плоскости поляризации определен не по модулю $\pi$, а по модулю~$\pi\over2$. Действительно, правая часть (\ref{dl-planewave-circ}) не меняется при замене $\varphi\to\varphi+{\pi\over2}$, $h_*\to-h_*$. Иными словами, плоская поляризация определяется двумя перпендикулярными плоскостями, параллельным лучу.

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{subfigure}[b]{3.5cm}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-1.5,0) -- (1.5,0) node [anchor=north] {$x^2$};
\draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node [anchor=east] {$x^3$};
\draw[line width=1pt] (0,0) circle(1cm);
\draw[dashed,rotate=58] (-1.5,0) -- (1.5,0);
\draw[dashed,rotate=148] (-1.5,0) -- (1.5,0);
\draw (.3,0) arc [radius=.3, start angle=0, end angle=58] node [midway,anchor=base west] {$\varphi$};
\end{tikzpicture}
\caption{}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}[b]{3.5cm}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-1.5,0) -- (1.5,0) node [anchor=north] {$x^2$};
\draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node [anchor=east] {$x^3$};
\draw[dashed] (0,0) circle(1cm);
\draw[dashed,rotate=58] (-1.5,0) -- (1.5,0);
\draw[line width=1pt,rotate=148] (0,0) ellipse(1.1cm and .9cm);
\draw[dashed,rotate=58] (-1.5,0) -- (1.5,0);
\draw[dashed,rotate=148] (-1.5,0) -- (1.5,0);
\draw (.3,0) arc [radius=.3, start angle=0, end angle=58] node [midway,anchor=base west] {$\varphi$};
\end{tikzpicture}
\caption{}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}[b]{3.5cm}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-1.5,0) -- (1.5,0) node [anchor=north] {$x^2$};
\draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node [anchor=east] {$x^3$};
\draw[dashed] (0,0) circle(1cm);
\draw[dashed,rotate=58] (-1.5,0) -- (1.5,0);
\draw[line width=1pt,rotate=58] (0,0) ellipse(1.1cm and .9cm);
\draw[dashed,rotate=58] (-1.5,0) -- (1.5,0);
\draw[dashed,rotate=148] (-1.5,0) -- (1.5,0);
\draw (.3,0) arc [radius=.3, start angle=0, end angle=58] node [midway,anchor=base west] {$\varphi$};
\end{tikzpicture}
\caption{}
\end{subfigure}
\caption{Изменение формы пространственной окружности в линейно поляризованной гравитационной волне в поперечной плоскости: (a) исходная окружность до того, как ее достигла волна; (b) фаза~$h_*>0$; фаза~$h_*<0$ (в случае монохромной волны, например, через полупериод после фазы (b)).}
\end{figure}

Наличие двух независимых коэффициентов $h_+$ и $h_\times$ означает, что любую поляризацию волны (в том числе, любую плоскую поляризацию) можно представить как линейную комбинацию двух линейно независимых поляризаций, например, поляризаций с $\varphi=0$ (определяемой функцией~$h_+$) и с $\varphi={\pi\over4}$ (определяемой функцией~$h_\times$).

Теперь выясним, какие энергию и импульс переносят гравитационные волны. Рассмотрим плоскую гравитационную волну в виде~(\ref{h-hRL-transverse}). Наша цель состоит в том, чтобы вычислить псевдотензор энергии"=импульса. Согласно определению
\eq$$
|g|t^{\mu\nu}=|g|T^{\mu\nu}_{\text{грав}}+\chi^{\mu\nu\lambda\kappa}{}_{,\lambda\kappa}
=-{|g|\over8\pi G}\left(R^{\mu\nu}-{1\over2}g^{\mu\nu}R\right)+\chi^{\mu\nu\lambda\kappa}{}_{,\lambda\kappa}.
\label{t-def-gen}
$$
Казалось бы, можно положить $T^{\mu\nu}_{\text{грав}}=-T^{\mu\nu}=0$, но это не так. Дело в том, что мы рассматриваем гравитационные волны в линейном приближении, а плотности и потоки энергии и импульса "--- величины \emph{второго порядка} по~$h_{\mu\nu}$. Наше решение обращает в нуль только вклад первого порядка в~$T^{\mu\nu}_{\text{грав}}$, а вклад второго порядка оказывается ненулевым. Есть два способа решить эту проблему. Первый способ состоит в том, чтобы получить явную формулу для $t^{\mu\nu}$ и увидеть, что она представляет собой линейную комбинацию членов, содержащих произведения вида $g^{\mu\nu}{}_{,\lambda}g^{\rho\sigma}{}_{,\kappa}$. В первом порядке $g^{\mu\nu}{}_{,\lambda}=-h^{\mu\nu}{}_{,\lambda}$, поэтому все эти произведения "--- второго порядка, а, значит, во всех коэффициентах можно заменить $g_{\mu\nu}$ на~$\eta_{\mu\nu}$. Этот метод дает правильный ответ, но требует дополнительного обоснования. Поэтому мы используем другой, более последовательный метод. Мы получим уравнения для поправок второго порядка в гравитационной волне и, подставив их в выражение для $\chi^{\mu\nu\lambda\kappa}$, покажем что в выражении для псевдотензора энергии"=импульса $t^{\mu\nu}=|g|^{-1}\chi^{\mu\nu\lambda\kappa}{}_{,\lambda\kappa}$ соответствующие вклады можно выразить через решения линейного уравнения~(\ref{Eeq-1order-homo}).

Давайте рассмотрим разложение:
\eq$$
g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h^{(1)}_{\mu\nu}+h^{(2)}_{\mu\nu}+\cdots.
\label{g-decomp}
$$
Здесь $h^{(1)}_{\mu\nu}$ "--- решение линеаризованных уравнений Эйнштейна, в нашей задаче "--- (\ref{Eeq-1order-homo}), а $h^{(k)}_{\mu\nu}$ "--- поправка $k$-го порядка. Мы немного изменим обозначения: буквы $h,\psi$ без индексов теперь будут обозначать матрицы, отвечающие соответствующим тензорам, а следы будут обозначаться значком $\tr$: $\tr a=a^{\bar\mu}_\mu=\eta^{\mu\nu}a_{\mu\nu}$, $(ab)_{\mu\nu}=a_\mu{}^{\bar\lambda}b_{\lambda\nu}$ и т.п. Отсюда легко находим:
\eq$$
\Aligned{
g^{\mu\nu}
&=\eta^{\mu\nu}-h^{(1)\overline{\mu\nu}}-h^{(2)\overline{\mu\nu}}+(h^{(1)2})^{\overline{\mu\nu}}+\cdots,
\\
|g|
&=1+\tr h^{(1)}+\tr h^{(2)}+{1\over2}\left((\tr h^{(1)})^2-\tr h^{(1)2}\right)+\cdots.
}\label{ginv-|g|-decomp}
$$
В нашей задаче в силу калибровочных условий $h^{(1)}_{\alpha\nu}=0$, $\tr h^{(1)}=0$. Отсюда получаем во втором порядке
\eq$$
\Aligned{
g^{\alpha\beta}
&=\eta^{\alpha\beta}-h^{(2)\overline{\alpha\beta}},
\\
g^{\alpha b}
&=-h^{(2)\overline{\alpha b}},
\\
g^{ab}
&=\eta^{ab}-h^{(1)\overline{ab}}-h^{(2)\overline{ab}}+(h^{(1)2})^{\overline{ab}},
\\
|g|
&=1+\tr h^{(2)}-{1\over2}\tr h^{(1)2}.
}\label{ginv-|g|-decomp-planewave}
$$
Теперь вычислим символы Кристоффеля. При этом на поправки второго порядка наложим такое же калибровочное условие, как и на поправки первого порядка:
\eq$$
\psi^{(2)\overline{\mu\nu}}{}_{,\nu}=0,
\qquad
\psi^{(2)}_{\mu\nu}=h^{(2)}_{\mu\nu}-{1\over2}\eta_{\mu\nu}\tr h^{(2)}.
\label{psigauge-(2)}
$$
Вклады $h^{(2)}$ входят в выражения до второго порядка только линейно и отдельно от $h^{(1)}$. Для символов Кристоффеля имеем
\eq$$
\Gamma^\lambda_{\mu\nu}={1\over2}\eta^{\lambda\kappa}(h^{(2)}_{\mu\kappa,\nu}+h^{(2)}_{\nu\kappa,\mu}-h^{(2)}_{\mu\nu,\kappa})
+\tilde\Gamma^\lambda_{\mu\nu},
\label{Gamma(2)-contrib}
$$
где $\tilde\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$ содержат только вклады~$h^{(1)}_{\mu\nu}$. Нетрудно проверить, что
\eq$$
\tilde\Gamma^\lambda_{\alpha\nu}={1\over2}(\eta^{\lambda\kappa}-h^{(1)\overline{\lambda\kappa}})h^{(1)}_{\kappa\nu,\alpha},
\qquad
\tilde\Gamma^\lambda_{ab}=-{1\over2}h^{(1)}_{ab}{}^{,\lambda},
\label{tGamma-planewave}
$$
Отсюда следует, что единственные ненулевые компоненты равны
\eq$$
\tilde\Gamma^c_{\alpha b}={1\over2}(\eta^{cd}-h^{(1)\overline{cd}})h^{(1)}_{bd,\alpha},
\qquad
\tilde\Gamma^\gamma_{ab}=-{1\over2}h^{(1)}_{ab}{}^{,\gamma}.
\label{tGamma-planewave-nonzero}
$$
Кроме того, для следа символов Кристоффеля имеем
\eq$$
\Gamma^\lambda_{\alpha\lambda}={1\over2}\left(\tr h^{(2)}-{1\over2}\tr h^{(1)2}\right)_{,\alpha},
\qquad
\Gamma^\lambda_{a\lambda}=0.
\label{Gammatrace-planewave}
$$
Отсюда во втором порядке немедленно получаем
\eq$$
R_{\mu\nu}=-{1\over2}\sqr h^{(2)}_{\mu\nu}+\tilde R_{\mu\nu},
\label{Ricci-2order}
$$
где
\eq$$
\Gathered{
\tilde R_{\alpha\beta}={1\over2}\tr(h^{(1)}h^{(1)}{}_{,\alpha\beta})
+{1\over4}\tr(h^{(1)}{}_{,\alpha}h^{(1)}{}_{,\beta}),
\qquad
\tilde R_{\alpha b}=0,
\qquad
\tilde R_{ab}={1\over2}(h^{(1),\bar\alpha}h^{(1)}{}_{,\alpha})_{ab},
\\
\tilde R={3\over4}\tr(h^{(1),\bar\alpha}h^{(1)}{}_{,\alpha}).
}\label{Ricci-planewave}
$$
Так как это уже выражения второго порядка, мы можем здесь поднимать индексы с помощью $\eta^{\mu\nu}$, а $|g|$ в коэффициентах при тензоре Риччи положить равным единице.

Из уравнений Эйнштейна в вакууме $R_{\mu\nu}=0$ мы немедленно получаем уравнение для поправки второго порядка к метрике:
\eq$$
\sqr h^{(2)}_{\mu\nu}=2\tilde R_{\mu\nu}.
\label{h(2)-eq}
$$
Для плоской волны имеем
\subeq{\label{h(2)-eq-planewave}
\Align$$
\sqr h^{(2)}_{\alpha\beta}
&={1\over2}\left(\tr(h^{(1)2})_{,\alpha\beta}-\tr h^{(1)}_{,\alpha}h^{(1)}_{,\beta}\right),
\label{h(2)-eq-planewave-alphabeta}
\\
\sqr h^{(2)}_{\alpha b}
&=0,
\label{h(2)-eq-planewave-alphab}
\\
\sqr h^{(2)}_{ab}
&={1\over2}\sqr(h^{(1)2})_{ab}.
\label{h(2)-eq-planewave-ab}
$$}
Также имеем
\eq$$
\sqr\tr h^{(2)}={3\over4}\sqr\tr h^{(1)2}.
\label{h(2)-trace-planewave}
$$
Мы всюду учитывали уравнение движения для вклада первого порядка $\sqr h^{(1)}_{ab}=0$. Подняв индексы в~(\ref{h(2)-eq-planewave-alphabeta}) и вычислив дивергенцию нетрудно привести ее к виду половины градиента правой части~(\ref{h(2)-trace-planewave}) и, тем самым, убедиться, что условие калибровки (\ref{psigauge-(2)}) согласовано с уравнениями движения.

Найдем величины $\chi^{\mu\nu\lambda\kappa}$. Подставляя (\ref{ginv-|g|-decomp-planewave}) в определение (\ref{chi-def}), получаем
\subeq{\label{chi-planewave}
\Align$$
16\pi G\chi^{\alpha\beta\gamma\delta}
&=\left(1+\tr h^{(2)}-{1\over2}\tr h^{(1)2}\right)(\eta^{\alpha\beta}\eta^{\gamma\delta}-\eta^{\alpha\gamma}\eta^{\beta\delta})
\notag
\\
&\quad
-h^{(2)\overline{\alpha\beta}}\eta^{\gamma\delta}-\eta^{\alpha\beta}h^{(2)\overline{\gamma\delta}}
+h^{(2)\overline{\alpha\gamma}}\eta^{\beta\delta}+\eta^{\alpha\gamma}h^{(2)\overline{\beta\delta}},
\label{chi-planewave-alphabeta}
\\
16\pi G\chi^{\alpha b\gamma\delta}
&=-h^{(2)\overline{\alpha b}}\eta^{\gamma\delta}+\eta^{\alpha\gamma}h^{(2)\overline{b\delta}},
\label{chi-planewave-alphab}
\\
16\pi G\chi^{ab\gamma\delta}
&=\left(1+\tr h^{(2)}-{1\over2}\tr h^{(1)2}\right)\eta^{ab}\eta^{\gamma\delta}
-\left(h^{(1)\overline{ab}}+h^{(2)\overline{ab}}-(h^{(1)2})^{\overline{ab}}\right)\eta^{\gamma\delta}-\eta^{ab}h^{(2)\gamma\delta}.
\label{chi-planewave-ab}
$$}
Чтобы получить $t^{\mu\nu}$, надо продифференцировать это по $x^\gamma,x^\delta$. Явно выполним вычисление для второй строчки:
$$
16\pi G\chi^{\alpha b\gamma\delta}{}_{,\gamma\delta}=-\sqr h^{(2)\overline{\alpha b}}+(h^{(2)\overline{b\delta}}{}_{,\delta})^{,\bar\alpha}
=0
$$
Первое слагаемое обращается в нуль в силу уравнения движения~(\ref{h(2)-eq-planewave-alphab}), а второе слагаемое "--- в силу калибровочного условия~(\ref{psigauge-(2)}). Мы получили естественный результат, что плотность импульса (=~плотность потока энергии) в направлении, перпендикулярном к направлению распространения волны, равна нулю. Аналогично, применяя уравнения движения (\ref{h(2)-eq-planewave}) и калибровочное условие (\ref{psigauge-(2)}) к производным от правых частей (\ref{chi-planewave-alphabeta}) и~(\ref{chi-planewave-ab}) и опуская индекс $(1)$ и черточки над индексами, получаем
\subeq{\label{t-planewave-dd}
\Align$$
t^{\alpha\beta}
&={1\over32\pi G}\left(\tr h^{,\alpha}h^{,\beta}-{1\over4}\eta^{\alpha\beta}\sqr\tr h^2\right),
\label{t-planewave-dd-alphabeta}
\\
t^{\alpha b}
&=0,
\label{t-planewave-dd-alphab}
\\
t^{ab}
&={1\over32\pi G}\left(\sqr(h^2)^{ab}-{1\over4}\eta^{ab}\sqr\tr h^2\right).
\label{t-planewave-dd-ab}
$$}
Немного удивляют ненулевые поперечные компоненты напряжений $t^{ab}$, однако вспомним, что этот результат получен для произвольного двумерного решения уравнения~(\ref{Eeq-1order-homo}), состоящего из двух встречных волн:
$$
h_{\mu\nu}(x)=h^R_{\mu\nu}(x^0-x^1)+h^L_{\mu\nu}(x^0+x^1),
$$
Если мы положим $h^L_{\mu\nu}=0$ (волна распространяется только вправо), все члены, содержащие даламбертиан $\sqr$ в правых частях, обратятся в нуль, так как будут выражаться даламбертианом от функций одной световой координаты $x^-=x^0-x^1$. Таким образом, для распространяющейся вправо волны получим
\eq$$
t^{\alpha\beta}={1\over32\pi G}h^{a,\alpha}_bh^{b,\beta}_a,
\qquad
t^{\alpha b}=0,
\qquad
t^{ab}=0.
\label{t-planewave-R}
$$
В лоренц"=инвариантном виде можно написать
\eq$$
t^{\mu\nu}={1\over32\pi G}\tr h^{,\mu}h^{,\nu}={1\over32\pi G}h^{\lambda,\mu}_\kappa h^{\kappa,\nu}_\lambda.
\label{t-planewave}
$$
Эту формулу мы используем на следующей лекции, чтобы узнать потери энергии движущегося тела на излучение гравитационных волн.

\bigbreak
\bigbreak
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

\begin{asparaenum}[\bf1.]
\item Покажите, что «остаточным» калибровочным преобразованием вида (\ref{psi-transf}) решение (\ref{psi-psiRL}) с калибровочным условием (\ref{psiRL-gauge}) можно привести к виду~(\ref{h-hRL-transverse}). (N.B.! При решении задачи не надо использовать преобразование Фурье.)

\item Для монохромной волны (\ref{planewave-x1}) найдите такое соотношение на $A_{22},A_{23}$, при котором угол $\varphi$ меняется линейно со временем (\emph{круговая поляризация}). Сколько имеется таких круговых поляризаций?

\item Выведите формулы (\ref{Gamma(2)-contrib}), (\ref{tGamma-planewave}), (\ref{Ricci-2order}), (\ref{Ricci-planewave}), со всеми подробностями. Покажите, что уравнения (\ref{h(2)-eq-planewave}) совместны с калибровочным условием~(\ref{psigauge-(2)}).

\item Из формулы (\ref{chi-planewave}) выведите (\ref{t-planewave-R}) в предположении $h^L_{\mu\nu}=0$.

\starenumi
\item Покажите, что, если подставить в правую часть (\ref{t-def-gen}) вместо $R_{\mu\nu}$ величины $\tilde R_{\mu\nu}$, а вместо $\chi^{\mu\nu\lambda\kappa}$ величины $\tilde\chi^{\mu\nu\lambda\kappa}$, отличающиеся тем, что в них $h^{(2)}$ положено равным нулю, ответ будет совпадать с~(\ref{t-planewave-dd}). Объясните, почему ответы совпали.
\end{asparaenum}

\bigbreak
\bigbreak
\centerline{\bf Семинар~\thesection}
\medskip
\centerline{\bf Сильная гравитационная волна}
\medskip
Рассмотрим решение уравнений гравитационного поля в вакууме, которое зависит лишь от одной координаты, которую обозначим~$x^-$:
\eq$$
g_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}(x^-)
\quad\Leftrightarrow\quad
\d_i g_{\mu\nu}=0\quad(i\ne\mathord-).
\label{gmunu-xminus}
$$
Такое решение допускает замену координат вида
\eq$$
x^i=x^{\prime i}+\varphi^i(x^{\prime-}),
\qquad
x^-=\varphi^-(x^{\prime-}),
\label{xminus-trans}
$$
где буква $i$ пробегает все остальные значения, кроме~$-$. При этом метрика преобразуется по правилу
\eq$$
g'_{--}=(\dot\varphi^-g_{--}+2\dot\varphi^ig_{-i})\dot\varphi^-+g_{ij}\dot\varphi^i\dot\varphi^j,
\qquad
g'_{-i}=\dot\varphi^-g_{-i}+\dot\varphi^jg_{ij},
\qquad
g'_{ij}=g_{ij},
\label{g0i-xminus-trans}
$$
где точкой мы обозначили производную по~$x^{\prime-}$. Если $\det(g_{ij})\ne0$, можно преобразованием (\ref{xminus-trans}) добиться того, чтобы $g'_{-i}=0$. После этого мы можем применить такое же преобразование c $\varphi^{\prime i}=0$, чтобы добиться $g''_{--}=1$. Тогда координата $x^{\prime\prime-}$ есть временная координата в синхронной системе координат. Нас этот случай интересовать не будет.

Пусть $\det(g_{ij})=0$. Пусть $(g^i)$ есть такой вектор, что $g_{ij}g^j=0$. Выберем одну из координат (обозначим ее $x^+$), для которой $g^+\ne0$. Изменяя норму $(g^i)$ мы можем положить $g^+=-1$. Полагая $a,b=2,\ldots,d-1$, получаем
\eq$$
g_{a+}=g_{ab}g^b,
\qquad
g_{++}=g_{ab}g^ag^b.
\label{+coord}
$$
Более высокого вырождения не может быть, поэтому $\det(g_{ab})\ne0$. С помощью преобразования (\ref{xminus-trans}) с любыми функциями $\varphi^\pm$ можно добиться того, чтобы $g'_{-a}=0$, а затем, подобрав подходящим образом $\dot\varphi^{\prime+}$ и $\varphi^{\prime-}$ при условии $\dot\varphi^{\prime a}=-g^a\dot\varphi^{\prime+}$, можно добиться, чтобы $g''_{--}=0$, а  $g''_{-+}={1\over2}$. Опуская штрихи, получаем
\eq$$
g_{--}=0,
\qquad
g_{-+}={1\over2},
\qquad
g_{-a}=0,
\qquad
a=2,\ldots,d-1.
\label{+--gauge}
$$
Тогда метрику можно записать в виде
\eq$$
ds^2=dx^-\,dx^++g_{ab}(dx^a+g^a\,dx^+)(dx^b+g^b\,dx^+).
\label{+--gauge-ggen}
$$
Вычислим тензор Риччи вдоль направлений $\d_a$:
\eq$$
R_{ab}=-g_{ac}\dot g^cg_{bd}\dot g^d.
\label{+--gauge-Rab}
$$
Так как согласно вакуумным уравнениям движения $R_{ab}=0$, мы немедленно находим, что $\dot g^a=0$, то есть $g^a=\const$. Поэтому линейным преобразованием $x^a+g^ax^+\to x^a$ мы можем привести метрику к виду
\eq$$
ds^2=dx^-\,dx^++g_{ab}(x^-)\,dx^a\,dx^b.
\label{+--gauge-gfin}
$$
Ненулевые символы Кристоффеля имеют вид
\eq$$
\Gamma^a_{b-}={1\over2}\kappa^a_b={1\over2}g^{ac}\dot g_{cb},
\qquad
\Gamma^+_{ab}=-\kappa_{ab}=-\dot g_{ab}.
\label{+--gauge-Gamma}
$$
Тогда ($--$)"=компонента уравнения Эйнштейна имеет вид
\eq$$
R_{--}=-{1\over2}\dot\kappa^a_a-{1\over4}\kappa^b_a\kappa^a_b
=-{1\over2}g^{ab}\ddot g_{ab}+{1\over4}g^{ab}\dot g_{bc}g^{cd}\dot g_{da}=0.
\label{+--gauge-R00}
$$
Это "--- единственное уравнение на компоненты $g_{ab}$. Поэтому $d(d-3)/2$ из них можно выбрать произвольно, и только на оставшуюся компоненту писать уравнение. Удобно это сделать в виде:
\eq$$
g_{ab}=-\chi^2\gamma_{ab},
\qquad
\det(\gamma_{ab})=1.
\label{+--gauge-gab-decom}
$$
Из последнего условия следует, что $\gamma^{ab}\dot\gamma_{ab}=0$, где $\gamma^{ab}$ "--- матрица обратная к $\gamma_{ab}$. Для $\chi$ получается замкнутое уравнение второго порядка:
\eq$$
\ddot\chi={1\over4(d-2)}\dot\gamma^{ab}\dot\gamma_{ab}\chi.
\label{+--gauge-chi-eq}
$$
Теперь введем переменные
$$
x^0={x^++x^-\over2},
\qquad
x^1={x^+-x^-\over2}.
$$
Это значит, что если мы задали произвольные функции $\gamma_{ab}(x^0=0,x^1,\ldots,x^{d-1})=\gamma_{ab}(x^-=-x^1)$ с условием $\det(\gamma_{ab})=1$, то есть всего $d(d-3)/2$ произвольные функции, и два числа $\chi(0)$, $\dot\chi(0)$, то мы полностью задали эволюцию системы. Калибровочным преобразованием (\ref{xminus-trans}) всегда можно добиться того, чтобы $\chi(0)=1$, $\dot\chi(0)=0$. Поэтому достаточно задать $d(d-3)/2$ функций. Другие $d(d-3)/2$ функций уже «съедены» условием того, что волна движется в одну сторону (зависит только от $x^-$).

Рассмотрим опять слабую волну $g_{ab}=\eta_{ab}+h_{ab}$ тогда $\chi(x^-)\simeq1$ и
$$
\dot\chi\simeq-{1\over4(d-2)}\int^t_0dt\,(\dot\gamma_{ab})^2.
$$
Величина под интегралом, усредненная по времени, есть, в сущности, интенсивность волны. Если эта интенсивность не меняется, $\chi$ по мере движения волны буде убывать по закону $\chi\simeq1-\const\cdot t^2$. Хотя этот закон будет меняться, наступит момент $t_0$, когда $\chi(t_0)=0$. В окрестности этой области имеем
\eq$$
ds^2=dx^-\,dx^+-A^2(x^--t_0)^2\delta_{ab}\,dx^a\,dx^b.
\label{gravwave-sing}
$$
Казалось бы, мы имеем особенность. Однако замена переменных
\eq$$
x^-=y^-+t_0,
\qquad
x^a={y^a\over Ay^-},
\qquad
x^+=y^+-{\delta_{ab}y^ay^b\over y^-}
\label{gravwave-trans}
$$
разрешает эту особенность:
\eq$$
ds^2=dy^-\,dy^+-\delta_{ab}\,dy^a\,dy^b.
\label{gravwave-nonsing}
$$
Поэтому на самом деле распространение гравитационной волны не приводит к особенности метрики пространства"=времени.
