% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\section{\texorpdfstring{Частицы в искривленном пространстве"=времени}{Chastitsy v iskrivlyonnom prostranstve-vremeni}}
\setcounter{page}1

Общая теория относительности отличается от специальной, во-первых, тем, что пространство"=время общей теории относительности представляет собой псевдориманово многообразие общего вида $M$ сигнатуры $(1,d-1)$, а, во-вторых, тем, что сама структура многообразия имеет динамику, зависящую от движения вещества. Разберемся сначала с первой частью "--- движением \emph{пробных} частиц в заданном искривленном пространстве"=времени. Под пробной частицей мы будем понимать частицу настолько легкую, что влиянием ее собственного гравитационного поля на пространство"=время и через него на ее собственное движение можно пренебречь.

Прежде всего, метрика в пространстве"=времени, также как и в специальной теории относительности, определяет собственное время частицы. Элемент собственного времени $ds$ не зависит от системы координат и определяется как
\eq$$
ds^2=g_{\mu\nu}(x)\,dx^\mu dx^\nu.
\label{ds2}
$$
Можно предположить, что действие свободной частицы выражается через собственное время так же, как и в специальной теории относительности:
\eq$$
S[x]=-m\int^B_Ads=-m\int^{\tau_B}_{\tau_A}d\tau\,\sqrt{g_{\mu\nu}(x){dx^\mu\over d\tau}{dx^\nu\over d\tau}}.
\label{S-free-fall}
$$
Параметр $\tau$, параметризующий кривую $x(\tau)$, вообще говоря, произволен. Достоинство лагранжева формализма состоит в том, что с его помощью нетрудно получить уравнение движения в произвольной параметризации. Действие (\ref{S-free-fall}) \emph{репараметризационно"=инвариантно}, то есть инвариантно относительно преобразований
\eq$$
\tau=\alpha(\tau'),
\label{rep-inv}
$$
где $\alpha$ произвольная гладкая взаимно"=однозначная вещественная функция. Физический смысл этой инвариантности состоит в том, что физическим объектом является не функция $x(\tau)$, а мировая линия, то есть кривая на многообразии~$M$. Репараметризации (\ref{rep-inv}) являются примером так называемых \emph{калибровочных преобразований}, связывающих математически разные функции, описывающие одну и ту же физическую реальность. Чтобы выбрать какое"=нибудь одно решение $x(\tau)$ из бесконечного количества решений, отвечающих одной и той же мировой линии, нужно наложить на эту функцию какое"=то условие или, как говорят физики, \emph{зафиксировать калибровку}. Удобно наложить следующее условие:
\eq$$
{d\over d\tau}\left(g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu\right)=0
\label{g-conserv-gauge}
$$
Полагая
\eq$$
g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu=C^2,
\label{s=Ctau-gauge}
$$
получим, что этой калибровке $s=C\tau+C_1$, то есть параметр $\tau$ и есть, с точностью до множителя и выбора начального момента, собственное время. Оставшиеся свободными две константы $C$ и $C_1$ связаны с \emph{остаточной калибровочной симметрией} после фиксации калибровки.

Общее лагранжево уравнение для $x(\tau)$ довольно сложное, но в калибровке (\ref{g-conserv-gauge}) оно упрощается и совпадает с приведенным в Лекции~\ref{lec-maindifgeom} \emph{уравнением геодезической}
\eq$$
\ddot x^\lambda+\Gamma^\lambda_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu=0,
\label{geodesic}
$$
где $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$ суть символы Кристоффеля для связности Леви"=Чивиты~(\ref{Gamma-Levi-Civita}). То есть мировой линией частицы, свободно падающей в гравитационном поле, является геодезическая. Теперь важно проверить согласованность условия фиксации калибровки~(\ref{g-conserv-gauge}) с решением~(\ref{geodesic}). Иными словами, надо проверить, что (\ref{g-conserv-gauge}) выполняется на \emph{каждом} решении~(\ref{geodesic}). Это нетрудно сделать.

Сохранение $g(\dot x,\dot x)$ имеет важное следствие для геометрии геодезических. Из него немедленно следует следующая теорема. Все геодезические делятся на три класса:
\begin{enumerate}[\indent1)]
\item времениподобные геодезические, для которых $g(\dot x,\dot x)>0$ на всем протяжении;
\item светоподобные (\emph{изотропные}) геодезические, для которых $g(\dot x,\dot x)=0$;
\item пространственноподобные геодезические, для которых $g(\dot x,\dot x)<0$.
\end{enumerate}

Действие (\ref{S-free-fall}) дает времениподобные геодезические, так что мы можем положить $C=1$ в~(\ref{s=Ctau-gauge}) и отождествить параметр $\tau$ с собственным временем~$s$. Светоподобные геодезические не могут быть получены из действия~({\ref{S-free-fall}}). Однако физически их можно рассматривать как предел времениподобных мировых линий при $m\to0$. Это следует из того, что в любых процессах взаимодействия частиц частицы малой массы будут чаще всего вылетать с большими скоростями $dx^i/dx^0$, так что в пределе нулевой массы они будут всегда вылетать со скоростью света, что соответствует $g(\dot x,\dot x)=0$. Пространственноподобные геодезические могут быть формально получены из действия $\mu\int d\tau\,\sqrt{-g(\dot x,\dot x)}$, но исключаются как мировые линии частиц из соображений причинности.%
%
\footnote{В квантовой теории поля частицы с мнимой массой $m=\i\mu$ исключаются по другой причине. Таким частицам отвечают конфигурации полей вблизи максимума, а не минимума потенциальной энергии, так что появление мнимой массы означает абсолютную неустойчивость «вакуумной» конфигурации. Решения же с вещественной массой не допускают распространения возмущений вне светового конуса.}
%

Чтобы прояснить связь с ньютоновской механикой, запишем действие нерелятивистской частицы в виде
\eq$$
S=\int dt\,\left(-m+{mv^2\over2}-m\phi(t,\boldr)\right),
\label{S-nonrel}
$$
где первый член $-m$ добавлен просто для согласованности с релятивистским действием, а $\phi(t,\boldr)$ "--- ньютоновский гравитационный потенциал. Сравнивая с (\ref{S-free-fall}), мы получим
$$
ds=\left(1-{v^2\over2}+\phi\right)\,dt.
$$
Считая второе и третье слагаемое малым и учитывая, что $d\boldr=\boldv\,dt$, получаем
\eq$$
ds^2=(1+2\phi)dt^2-d\boldr^2.
\label{ds2-nonrel}
$$
Мы видим, что в данном приближении
\eq$$
g_{00}=1+2\phi,
\qquad
g_{0i}=0,
\qquad
g_{ij}=-\delta_{ij}.
\label{g-nonrel}
$$
Это связывает гравитационный потенциал с метрическим тензором. В дальнейшем, изучая нерелятивистский предел уравнений Эйнштейна (лекция~\ref{lec-wgf}), мы увидим, как получить ньютоновскую форму гравитационного потенциала $\phi(t,\boldr)=-G\sum_im_i/|\boldr-\boldr_i(t)|$ для системы медленно движущихся тел с массами $m_i$ в точках $\boldr_i(t)$. Мы увидим также, что приближение (\ref{g-nonrel}) не согласуется с уравнениями Эйнштейна, поскольку при выводе мы пренебрегли в $g_{ij}$ членами, дающими малый (порядка $\phi v^2$) вклад в действие для частицы, но сравнимый с $g_{00}$ (порядка $\d_i\d_j\phi$) вклад в кривизну. Тем не менее, важно запомнить, что мировая линия нерелятивистской частицы откланяется от прямой не в силу искривления пространства, а в силу \emph{изменения скорости течения времени}.

Рассмотрим теперь лагранжеву формулировку уравнений движения частицы в чуть более общем виде "--- в присутствии электромагнитного поля:
\eq$$
S[x]=\int^B_A(-m\,ds-eA_\mu\,dx^\mu)
=\int^{\tau_B}_{\tau_A}d\tau\,(-m\sqrt{g(\dot x,\dot x)}-eA(\dot x)).
\label{S-em-particle}
$$
Если мы наложим калибровочное условие (\ref{s=Ctau-gauge}) с $C=1$ (то есть $\tau=s$), мы получим уравнение движения
\eq$$
\ddot x^\lambda+\Gamma^\lambda_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu={e\over m}F^\lambda{}_\kappa\dot x^\kappa,
\qquad
F_{\mu\nu}=A_{\nu;\mu}-A_{\mu;\nu}=A_{\nu,\mu}-A_{\mu,\nu}.
\label{particle-em-eqmo}
$$

Рассмотрим теперь гамильтоново описание движения частиц в гравитационном поле. Забудем о фиксации калибровки и будем считать «время» $\tau$ произвольным параметром. Этот произвол ведет в гамильтоновом подходе к возникновению \emph{связи}. Это значит, что фазовая траектория частицы всегда лежит в некотором подмногообразии пространства канонических переменных. Действительно, нетрудно проверить, что матрица $\d^2L/\d\dot x^\mu\d\dot x^\nu$ вырождена и имеет ранг~3. Следовательно, имеется по крайней мере одна связь между обобщенными координатами $x^\mu$ и импульсами $P_\mu=\d L/\d\dot x^\mu$. Это отражает тот факт, что на самом деле частица имеет три степени свободы, а не четыре. Действительно, имеем%
%
\footnote{Обращу ваше внимание, что при таком определении пространственные компоненты $P_i$ имеют правильный знак, а временная компонента "--- противоположный: $P_0=-E$. В литературе по квантовой теории поля и теории элементарных частиц чаще всего выбирают противоположный знак.}
%
\eq$$
P_\mu={\d L\over\d\dot x^\mu}=-{mg_{\mu\nu}\dot x^\nu\over\sqrt{g(\dot x,\dot x)}}-eA_\mu.
\label{P-def}
$$
Отсюда немедленно получаем \emph{связь} между каноническими переменными
\eq$$
\chi(x,P)\equiv g^{\mu\nu}(P_\mu+eA_\mu)(P_\nu+eA_\nu)-m^2=0
\label{p2-m2=0}
$$
Для гамильтониана имеем
\eq$$
H_0(x,P)=P_\mu\dot x^\mu-L(x,\dot x)=0
\label{Htau=0}
$$
Как показал Дирак, наличие связи означает, что мы имеем право модифицировать гамильтониан, добавив связь~$\chi$:
\eq$$
H_\alpha(x,P)=H_0(x,P)+\alpha(x,P)\chi(x,P)
=\alpha(x,P)\left(g^{\mu\nu}(P_\mu+eA_\mu)(P_\nu+eA_\nu)-m^2\right).
\label{Halpha-def}
$$
где $\alpha(x,P)$ "--- произвольная гладкая функция канонических переменных без особенностей. Очевидно,
$$
\dot\chi=\{H_\alpha,\chi\}=\alpha\{\chi,\chi\}+\{\alpha,\chi\}\chi=0
$$
на уравнении связи $\chi=0$. Это значит, что условие согласованности связи с эволюцией системы не накладывает никаких дополнительных связей на систему. Стандартным образом получаем уравнения движения
\eq$$
\Aligned{
\dot P_\mu
&=-{\d H_\alpha\over\d x^\mu}
=-\alpha\left(\d_\mu g^{\lambda\nu}(P_\lambda+eA_\lambda)+2eg^{\lambda\nu}\d_\mu A_\lambda\right)(P_\nu+eA_\nu),
\\
\dot x^\mu
&={\d H_\alpha\over\d P_\mu}=2\alpha g^{\mu\nu}(P_\nu+eA_\nu).
}\label{Halpha-eqmotion}
$$
Если мы наложим условие $\alpha=\const$, мы (после подходящего перемасштабирования параметра $\tau$) опять получим уравнение движения~(\ref{particle-em-eqmo}).

Связь (\ref{p2-m2=0}) дает возможность немедленно получить уравнение Гамильтона"--~Якоби для частицы в гравитационном поле. Рассмотрим действие $S$ на решении $x(\tau)$ уравнений движения как функцию конечного значения «времени» $\tau=\tau_B$ и конечного положения частицы~$x=x_B$ при постоянном начальном «времени» $\tau_A$ и начальном положении $x_A$ частицы
\eq$$
S(\tau_B,x_B)=\int^B_Ad\tau\,L(x^\bullet,\dot x^\bullet)=\int^B_Ad\tau\,(P_\mu\dot x^\mu-H_0)=\int^B_A(P_\mu\,dx^\mu-H_0\,d\tau).
\label{S(tau,x)-def}
$$
Отсюда имеем
\eq$$
dS(\tau,x)=P_\mu\,dx^\mu-H_0\,d\tau.
\label{dS}
$$
Поскольку $H_0=0$, действие вообще не зависит от~$\tau$, как и должно быть в силу репараметризационной инвариантности. Имеем
\eq$$
dS(x)=P_\mu\,dx^\mu
\quad\Leftrightarrow\quad
P_\mu={\d S\over\d x^\mu}.
\label{P-S-def}
$$
Подставляя это в уравнение связи (\ref{p2-m2=0}), получаем
\eq$$
g^{\mu\nu}\left({\d S\over\d x^\mu}+eA_\mu\right)\left({\d S\over\d x^\nu}+eA_\nu\right)-m^2=0.
\label{HJ-em-particle}
$$
Полученное \emph{уравнение Г\'{а}мильтона"--~Як\'{о}би} не зависит от параметризации кривой и в этом смысле калибровочно"=инвариантно. Это уравнение имеет очевидный предел при $m\to0$, и дает в этом пределе уравнение для действия на светоподобных кривых. Если также $A=0$, эти кривые являются светоподобными геодезическими, а действие представляет собой аффинный параметр на этих кривых.

Как с помощью уравнения Гамильтона"--~Якоби можно решить задачу о движении частицы? Предположим, что нам удалось найти семейство решений $S(x,\alpha)$, зависящих от параметра $\alpha$. Рассмотрим эволюцию во «времени» производной $\d S(x,\alpha)/\d\alpha$:
$$
{d\over d\tau}{\d S(x(\tau),\alpha)\over\d\alpha}={\d\over\d\alpha}\left({\d S\over\d x^\mu}\dot x^\mu\right)
={\d\over\d\alpha}(P_\mu\dot x^\mu)={\d\over\d\alpha}(P_\mu\dot x^\mu-H_0)={\d L(x,\dot x)\over\d\alpha}=0.
$$
Значит,
$$
{\d S(x(\tau),\alpha)\over\d\alpha}=\beta,
$$
где $\beta$ "--- новая константа. Это "--- \emph{алгебраическое} уравнение на $x^\mu$. Теперь, если нам удалось найти решение, зависящее от $d-1$ параметров $\alpha_1,\ldots,\alpha_{d-1}$, такое что всюду
$$
\det{\d^2S\over\d x^i\,\d\alpha_j}\ne0,
$$
мы имеем $d-1$ алгебраических уравнений
\eq$$ {\d S\over\d\alpha_i}=\beta^i,
\qquad
i=1,\ldots,d-1,
\label{S-alpha-stationary}
$$
позволяющих найти $d-1$ переменных $x^1,\ldots x^{d-1}$ как функции времени~$x^0$. Такое решение называется \emph{полным интегралом} уравнения Гамильтона"--~Якоби. $2(d-1)$ констант $\alpha_i,\beta^i$ являются параметрами решения. Переменные $\alpha_i$ и $\beta^i$ представляют собой особые (стационарные) канонические переменные в фазовом пространстве системы, а формулы (\ref{P-S-def}) и (\ref{S-alpha-stationary}) задают каноническое преобразование от переменных $P_i,x^i$ к переменным $\alpha_i,\beta^i$.

Заметим, что статических переменных ровно столько, сколько должно быть начальных данных в задаче ($x^i,{dx^i\over dx^0}$). В самом деле, мы можем получать семейства решений, меняя начальную точку. Если мы положим $\alpha_i=x_A^i$, то немедленно получим $\beta^i=-P_{Ai}$. Это доказывает существование полного интеграла движения в окрестности точки $x_A$. Так как точка $x_A$ произвольна, можно утверждать, что полный интеграл уравнения Гамильтона"--~Якоби существует в некоторой окрестности любой точки.

Описанный способ построения полного интеграла удобен при численных расчетах. Однако для аналитического решения задач использовать начальные данные в качестве параметров решения затруднительно. В аналитических вычислениях используется метод разделения переменных, который мы обсудим на семинаре. Если все переменные разделяются, и разделенные переменные хорошо определены, решение существует глобально. В таком случае механическую систему называют \emph{интегрируемой}. Хотя большинство задач не являются интегрируемыми, интегрируемые системы играют большую роль в качестве нулевого приближения. Мы продемонстрируем мощь метода разделения переменных в конкретных задачах движения частиц в гравитационном поле в следующих лекциях.


\bigbreak
\bigbreak
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

\begin{asparaenum}[\bf1.]
\item Получите (\ref{particle-em-eqmo}) из действия (\ref{S-em-particle}) при условии~(\ref{g-conserv-gauge}). В обратную сторону покажите, что на любых решениях уравнения~(\ref{particle-em-eqmo}) выполняется условие~(\ref{g-conserv-gauge}).

\item Найдите матрицу $A_{\mu\nu}=(\d^2L/\d\dot x^\mu\d\dot x^\nu)$ для действия (\ref{S-em-particle}) и покажите, что она вырождена в направлении вектора~$\dot x$: $A_{\mu\nu}\dot x^\nu=0$.

\item Покажите, что при $\alpha=\const$ из (\ref{Halpha-eqmotion}) следует уравнение~(\ref{particle-em-eqmo}).

\item Рассмотрим двумерную поверхность в пространстве"=времени, заданную гладкой функцией $x=\varphi(\tau,\sigma)$ двух вещественных параметров. При каждом данном значении $\sigma$ функция $\varphi$ задает кривую $\varphi(\cdot,\sigma)$, а при каждом значении $\tau$ "--- кривую $\varphi(\tau,\cdot)$. Обозначим через $\dot\varphi(\tau,\sigma)={\d\over\d\tau}\varphi^\mu(\tau,\sigma)\,\d_\mu$, $\varphi'(\tau,\sigma)={\d\over\d\sigma}\varphi^\mu(\tau,\sigma)\,\d_\mu$ касательные к двум семействам кривых "--- при данных $\sigma$ и при данных $\tau$. Покажите, что для связности Леви"=Чивиты
$$
\nabla_{\dot\varphi}\varphi'=\nabla_{\varphi'}\dot\varphi.
$$

\starenumi
\item Приливные силы. В условиях предыдущей задачи предположим, что кривые первого сорта являются геодезическими с собственным временем~$\tau$: $\nabla_{\dot\varphi}\dot\varphi=0$. Можно сказать, что вектор $\varphi'(\tau,\sigma)\,d\sigma$ соединяет две соседние геодезические в данный момент собственного времени~$\tau$. Таким образом, вторая ковариантная производная по $\tau$ будет давать относительное ускорение соответствующих материальных точек. Докажите, что
\eq$$
\nabla^2_{\dot\varphi}\varphi'=R(\dot\varphi,\varphi')\dot\varphi.
\label{nabla2varphi'}
$$
\end{asparaenum}


\bigbreak
\bigbreak
\centerline{\bf Семинар~\thesection}
\medskip
\centerline{\bf Уравнение Гамильтона"--~Якоби}
\medskip
Рассмотрим систему с действием $S[q]=\int^{t_B}_{t_A}dt\,L(q,\dot q,t)$, где $q=(q^1,\ldots,q^n)$. Обобщенные импульсы и гамильтониан равны
$$
p_a={\d L\over\d q^a},
\qquad
H(q,p,t)=p_a\dot q^a-L(q,\dot q,t).
$$
Задача состоит в решении уравнений движения
$$
\dot q^a={\d H\over\d p_a},
\qquad
\dot p_a=-{\d H\over\d q_a}.
$$
Рассмотрим действие как функцию $S=S(q,t)$ конечного времени $t=t_B$ и значений координат $q^a=q^a(t_B)$ на решениях уравнений движения с некоторыми начальными условиями $t_0=t_A$, $q_0^a=q^a(t_A)$. Тогда
$$
dS=d\int dt\,L=d\int dt(p_a\dot q^a-H)=p_a\,dq^a-H(q,p,t)\,dt.
$$
Следовательно,
$$
p_a={\d S\over\d q^a},
\qquad
H=-{\d S\over\d t}.
$$
Отсюда находим \emph{уравнение Гамильтона"--~Якоби}:
$$
{\d S\over\d t}+H\left(q,{\d S\over\d q},t\right)=0.
$$


\begin{enumerate}

\item Метод разделения переменных и интегрируемость.

Предположим, что заменой переменных мы смогли найти такие переменные $q,p$, что уравнение Гамильтона"--~Якоби приняло вид
$$
{\d S\over\d t}+H\left(q^1,\ldots,q^{n-1},{\d S\over\d q_1},\ldots,{\d S\over\d q_{n-1}},
f\left(q^n,{\d S\over\d q^n}\right)\right)=0.
$$
Решим уравнение
$$
f\left(q^n,{\d S\over\d q^n}\right)=\alpha_n
\quad\Leftrightarrow\quad
{\d S\over\d q^n}=g_n(\alpha_n,q^n,t),
$$
где $\alpha_n$ "--- константа. Это уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка и решается в квадратурах:
$$
S(q,t)=\int^{q_n} dx\,g_n(\alpha_n,x,t)+S_{n-1}(q_1,\ldots,q_{n-1},\alpha_n,t).
$$
Легко показать, что величина
\eq$$
\beta^n={\d S\over\d\alpha_n}
\label{beta-n-def}
$$
сохраняется, то есть (\ref{beta-n-def}) является алгебраическим уравнением на переменную $q_n$.

Если процедуру можно продолжить $n$ раз, то мы получаем систему алгебраических уравнений
$$
\beta^a={\d S(q,\alpha,t)\over\d\alpha_a},
$$
выражающую $q$ через~$t$. В этом случае систему называют \emph{интегрируемой}.

Теорема Лиувилля об интегрируемости относится к консервативным системам, в которых лагранжиан (и гамильтониан) явно не зависит от времени~$t$. Если в такой системе имеется $n$ независимых интегралов движения \emph{в инволюции}, то есть
$$
\{I_a,I_b\}=0\quad(\forall a,b=1,\ldots,n),
$$
то при некоторых условиях невырожденности система допускает разделение переменных. При этом на многообразии $M_\alpha=\{(q,p)\>|\>I_a(q,p)=\alpha_a\}$ можно ввести переменные $\varphi^a$, уравнения движения на которых имеет вид
$$
\dot\varphi^a=\omega^a(\alpha_1,\ldots,\alpha_n).
$$
Если многообразие $M_\alpha$ компактно, то оно является тором, причем можно выбрать переменные так, чтобы $\varphi_a+2\pi\sim\varphi_a$, а $I_a$ были канонически сопряженными им переменными. Тогда переменные $I_a$ называются \emph{переменными действия}, а $\varphi^a$ "--- \emph{переменными угла}.

Далее мы разберем несколько примеров.




\item Свободная частица в плоском пространстве"=времени: декартовы, цилиндрические и сферические координаты.

\item Частица в ньютоновском потенциале.

\end{enumerate}
