% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\documentclass{article}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{tikz}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{hyperref}

\begin{document}

\centerline{{\bf\large Общая теория относительности}}
\medskip
\centerline{М.~Ю.~Лашкевич}
\bigskip

\noindent План курса:

\begin{enumerate}
\item Геометрия и физика специальной теории относительности:
\begin{itemize}
\item невырожденная симметричная форма в линейном пространстве и сигнатура;
\item метрика в аффинном пространстве, индексные и безындексные обозначения;
\item принцип наименьшего действия для частиц.
\end{itemize}

\textbf{Семинар:} Преобразование Лоренца, светоподобные координаты, диаграмма Пенроуза.

\item Основные понятия дифференциальной геометрии и пространство"=время:
\begin{itemize}
\item аффинная связность и ковариантные производные;
\item метрика и связность Леви"=Чивиты;
\end{itemize}

\textbf{Семинар:} Физическая интерпретация метрики.

\item Риманова кривизна. Преобразования тензорных полей:
\begin{itemize}
\item Риманова кривизна: два определения;
\item Свойства римановой кривизны;
\item Преобразование полей и производная Ли. Выражение производной Ли через связность Леви"=Чивиты.
\end{itemize}

\textbf{Семинар:} Симметрии и векторные поля Киллинга.

\item Частицы в искривленном пространстве"=времени:
\begin{itemize}
\item частица в искривленном пространстве"=времени, геодезические, внешнее электромагнитное поле;
\item уравнение Гамильтона"--~Якоби.
\end{itemize}

\textbf{Семинар:} Уравнение Гамильтона"--~Якоби.

\item Поля в гравитационном поле. Тензор энергии"=импульса:
\begin{itemize}
\item лагранжев подход к теории поля и канонический тензор энергии"=импульса в плоском пространстве"=времени;
\item метрический тензор энергии"=импульса, его связь с каноническим тензором;
\item тензор энергии"=импульса частицы.
\end{itemize}

\textbf{Семинар:} Тензор энергии"=импульса для различных физических систем.

\item Уравнения гравитационного поля и законы сохранения:
\begin{itemize}
\item действие Эйнштейна"--~Гильберта и уравнения Эйнштейна;
\item задача Коши для уравнений Эйнштейна;
\item псевдотензоры энергии"=импульса Эйнштейна и Ландау"--~Лифшица, суперпотенциал;
\item энергия, импульс и угловой момент как интегралы по поверхности.
\end{itemize}

\textbf{Семинар:} Полная энергия стационарной системы.

\item Слабое гравитационное поле:
\begin{itemize}
\item линеаризованные уравнения Эйнштейна, фиксация калибровки;
\item статические решения линеаризованных уравнений Эйнштейна, остаточная калибровочная свобода;
\item энергия и угловой момент через асимптотики гравитационного поля.
\end{itemize}

\textbf{Семинар:} Задачи на гравитационное поле в линейном приближении.

\item Гравитационные волны:
\begin{itemize}
\item свободные решения однородных линеаризованных уравнений Эйнштейна;
\item плоские волны, монохроматические волны, фиксация калибровки, поляризации;
\item псевдотензор энергии"=импульса плоской гравитационной волны.
\end{itemize}

\textbf{Семинар:} Сильная гравитационная волна.

\item Излучение гравитационных волн:
\begin{itemize}
\item запаздывающее решение волнового уравнения, упрощение в размерности~4;
\item нерелятивистский источник: ограничение, связанное с сохранением энергии и импульса, и квадрупольное излучение;
\item угловое распределение и вычисление полной излученной энергии.
\end{itemize}

\textbf{Семинар:} Взаимодействие гравитационного поля с материей: примеры.

\item Решение Шварцшильда:
\begin{itemize}
\item сферически симметричные уравнения Эйнштейна, их прямое решение;
\item геодезические в метрике Шварцшильда, неполнота шварцильдовских координат;
\item Координаты Эддингтона"--~Финкельштейна, горизонт событий и сингулярность;
\item Координаты Крускала и диаграмма Пенроуза, максимально расширенное многообразие Крускала.
\end{itemize}

\textbf{Семинар:} Гравитационное поле статического сферически"=симметричного тела.

\item Движение частицы в метрике Шварцшильда:
\begin{itemize}
\item решение уравнения Гамильтона"--~Якоби;
\item четыре типа движения в шварцшильдовской метрике, условие их реализации.
\end{itemize}

\textbf{Семинар:} Падение пыли на черную дыру.

\item Движение в сравнительно слабом гравитационном поле и экспериментальная проверка ОТО:
\begin{itemize}
\item почти ньютоновское поле и прецессия перигелия;
\item отклонение луча света слабым гравитационным полем.
\end{itemize}

\textbf{Семинар:} Изотропные поверхности. Инвариантность изображений.

\item Заряженные и вращающиеся черные дыры:
\begin{itemize}
\item решение Рейснера"--~Нордстрёма уравнений Максвелла и Эйнштейна;
\item сингулярность, горизонт событий, горизонт Коши, диаграмма Пенроуза;
\item решение Керра"--~Ньюмена, эргосфера, кольцевая сингулярность, диаграмма Пенроуза.
\end{itemize}

\textbf{Семинар:} Изотропные поверхности. Эволюция изображений.

\item Космологические решения. Фридмановские модели:
\begin{itemize}
\item однородная и изотропная Вселенная, пространства постоянной кривизны;
\item уравнения Фридмана, их решения для пылевидной материи и ультрарелятивистского газа;
\item космологическая постоянная и ускоренное расширение, современная модель расширяющейся Вселенной, темная материя и темная энергия.
\end{itemize}

\textbf{Семинар:} Проблемы моделей Фридмана. Инфляция.

\end{enumerate}


\end{document}