\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,pictex,russian,fullpage}

\allowdisplaybreaks

\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1{\begin{equation}#1\end{equation}}
\def\Align#1{\begin{align}#1\end{align}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}#1\end{aligned}}
\def\Gather#1{\begin{gather}#1\end{gather}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}#1\end{gathered}}
\def\Multline#1{\begin{multline}#1\end{multline}}
\def\Subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\bn{{\boldsymbol n}}
\def\bp{{\boldsymbol p}}
\def\br{{\boldsymbol r}}
\def\bR{{\boldsymbol R}}
\def\bS{{\boldsymbol S}}
\def\bJ{{\boldsymbol J}}
\def\bsigma{{\boldsymbol\sigma}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\cH{{\cal H}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\trho{{\tilde\rho}}
\def\ta{{\tilde a}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\eff{{\rm eff}}
\def\const{{\rm \,const\,}}
\def\eF{{\epsilon_F}}
\def\Ech{{E_{\text{ch}}}}
\def\Esp{{E_{\text{sp}}}}
\def\Espel{{E_{\text{sp}}^{\text{el}}}}
\def\Eim{{E_{\text{im}}}}
\def\el{{\text{el}}}
\def\im{{\text{im}}}

\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}

\def\aux{{\tilde1}}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.3truecm> [0.1,0.3] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\begin{document}

\centerline{\bf Лекция~11}
\centerline{\bf Задача Кондо: решение уравнений Бете}
\bigskip
В прошлой лекции были получены уравнения Бете для $sd$-модели:
\Gather{
e^{ip_aL}=e^{iJS}\prod^n_{i=1}{v_i+i/2\over v_i-i/2},
\label{cyclicfin}
\\
\left(v_i+i/2\over v_i-i/2\right)^N
{v_i+iS+1/g\over v_i-iS+1/g}
=-\prod^n_{j=1}{v_i-v_j+i\over v_i-v_j-i},
\label{Bethefin}
\\
a=1,\ldots,N,
\qquad
i,j=1,\ldots,n,
\nonumber
}
причем 
\eq{
g={1\over S+1/2}\tg J(S+1/2).
\label{gdef}
}
Энергия системы равна%
%
\footnote{Мы приняли $v_F=1$. Чтобы восстановить физические определения
переменных, следует всюду сделать замену $E\to E/v_F$, $J\to J/v_F$.}
%
\eq{
E=\sum^N_{a=1}p_a.
\label{energy}
}
Теперь мы будем исследовать эти уравнения в термодинамическом пределе
$L\to\infty$, $N\to\infty$.

Прологорифмируем уравнения Бете:
\Gather{
p_aL=2\pi I_a+JS-\sum^n_{i=1}(\pi+p(v_i)),
\label{b1}
\\
Np(v_i)+\delta_S(v_i)
=2\pi J_i+\sum^n_{j=1}\Phi(v_i-v_j),
\label{b2}
\\
p(v)=2\arctg2v,
\qquad
\delta_S(v)=p((v+1/g)/2S),
\qquad
\Phi(v)=p(v/2),
\label{pfuncdef}
\\
I_a\in\Z,
\qquad
J_i\in\Cases{\Z,&\text{$n\in2\Z+1$},\\
\Z+1/2.&\text{$n\in2\Z$}.}
\label{IJdef}
}
При этом все числа $J_i$ должны быть попарно различны и все числа $I_a$ тоже.

Полная энергия системы (\ref{energy}) разбивается на два вклада:
\Align{
E&=\Ech+\Esp,
\label{Esplit}
\\
\Ech
&={2\pi\over L}\sum^N_{a=1}I_a-{\pi N^2\over2L},
\label{Echdef}
\\
\Esp
&={\pi N^2\over2L}+{NJS\over L}-{N\over L}\sum^n_{i=1}(\pi+p(v_i))
\nonumber
\\
&=-{2\pi\over L}\sum^n_{i=1}J_i+{\pi\over L}N\left({N\over2}-n\right)
+{NJS\over L}+{1\over L}\sum^n_{i=1}\delta_S(v_i),
\label{Espdef}
}
Слагаемое $-\pi N^2/2L$ добавлено к зарядовой энергии, чтобы при $J=0$,
$n=N/2$ отношение $\Esp/\Ech$ обращалось в ноль в термодинамическом
пределе.

Найдем сначала основное состояние. Чтобы процедура минимизации энергии
была корректно определена, следует ввести обрезание $-\eF$ по для
отрицательных импульсов. Именно, следует потребовать, чтобы в
$N$-частичном основном состоянии все уровни отрицательного импульса
(энергии) в интервале $[-\eF,0]$ были бы заполнены. Поскольку плотность
состояний по $p_a$ равна $2{L\over2\pi}$, имеем
\eq{
N={L\eF\over\pi}.
}
Поэтому термодинамический предел определяется как
$$
L\to\infty,
\qquad
N\to\infty,
\qquad
{N\over L}={\eF\over\pi}=\const,
$$
Уровень Ферми $\eF$ следует рассматривать как параметр модели.

Числа $I_a$ должны удовлетворять условию
$$
I_a\gtrsim-{\eF\over2\pi L}=-{N\over2}.
$$
В основном состоянии $I_a$ пробегают значения примерно от $-N/2$ до
$N/2$ и, следовательно, $\sum_aI_a\ll N^2$. Поэтому в термодинамическом
пределе зарядовая энергия равна
\eq{
\Ech=-{\pi N^2\over2L}=-L{\eF^2\over2\pi}.
\label{Echfin}
}

Найдем допустимую область для чисел $J_i$. При $v_i\to+\infty$
из~(\ref{b2}) имеем $J_i\to(N+2-n)/2$, а при $v_i\to-\infty$ имеем
$J_i\to-(N+2-n)/2$. Поэтому
\eq{
-{N+1-n\over2}\le J_i\le{N+1-n\over2}.
\label{Jirange}
}
Чтобы найти минимум по спиновым состояниям электронов, предположим, что
$J$ достаточно мало, так что двумя последними членами в~(\ref{Espdef})
можно пренебречь. Первый член в $\Esp$ падает с ростом $J_i$, поэтому
можно предположить, что основному состоянию соответствуют полное
заполнение достаточно больших $J_i$. Следовательно, имеется некоторое
значение $J_{\text{min}}$, такое что в основном состоянии корням
отвечают все
\eq{
J_{\text{min}}\le J_i\le{N-n\over2}.
\label{JiGSrange}
}
В переменных $v_i$ это соответствует интервалу
\eq{
-b\le v<+\infty
\label{vGSrange}
}
Полагая $J_i=i$ в~(\ref{b2}) и дифференцируя по $v_i$, получим
\eq{
\rho(v)=a_1(v)+{1\over N}a_{2S}(v+1/g)
-\int^\infty_{-b}dv'\,a_2(v-v')\rho(v'),
\qquad
-b\le v<\infty,
\label{b2int}
}
где $\rho(v)={1\over N}{dI\over dv}$, а
\eq{
a_t(v)={2\over\pi}{t\over4v^2+t^2}.
\label{atdef}
}
При этом
\eq{
n=N\int^\infty_{-b}dv\,\rho(v).
\label{rhonorm}
}
Это значит, что суммарный спин равен
\eq{
S^z={N\over2}+S-N\int^\infty_{-b}dv\,\rho(v).
}

Спиновая энергия равна
\eq{
\Esp={N\eF\over2}-{N\eF\over\pi}\int^\infty_{-b}dv\,\rho(v)(\pi+p(v)).
\label{Espimexpr}
}
Разложим плотность по степеням $1/N$ до первого порядка
\eq{
\rho(v)=\rho_0(v)+{\rho_1(v)\over N}.
\label{rhovexp}
}
Уравнение для $\rho_0$
\eq{
\rho_0(v)=a_1(v)
-\int^\infty_{-b}dv'\,a_2(v-v')\rho_0(v'),
\qquad
-b\le v<\infty,
\label{b2int0}
}
совпадает с интегральным уравнением для XXX-модели. Вычитая
(\ref{b2int0}) из~(\ref{b2int}), получим
\eq{
\rho_1(v)=a_{2S}(v+1/g)-\int^\infty_{-b}a_2(v-v')\rho_1(v'),
\qquad
-b\le v<\infty.
\label{b2int1}
}
Намагниченность распадается на электронную и примесную части:
\eq{
S^z=NM_\el+M_\im,
\qquad
M_\el={1\over2}-\int^\infty_{-b}dv\,\rho_0(v),
\qquad
M_\im=S-\int^\infty_{-b}dv\,\rho_1(v).
\label{Szexp}
}
Спиновая энергия распадается на две части
\Align{
\Esp
&=\Espel+\Eim,
\label{Espexp}
\\
\Espel
&=\eF\left({N\over2}-n\right)-2\eF\int^\infty_{-b}dv\,J_0(v)\rho_0(v),
\label{Espeldef}
\\
\Eim
&=-{\eF\over\pi}\int^\infty_{-b}dv\,\rho_1(v)(\pi+p(v)).
\label{Eimdef}
}
Электронную часть энергии нетрудно вычислить. Действительно,
$$
\int^\infty_{-b}dv\,J(v)\rho(v)
={1\over N}\int^\infty_{-b}dv\,J(v){dJ(v)\over dv}
={1\over N}\int^{(N-n)/2}_{J_{\text{min}}}dJ\,J
={1\over2N}\left(N-n\over2\right)^2-{J_{\text{min}}^2\over2N}.
$$
Кроме того,
$$
{N-n\over2}-J_{\text{min}}=N\int^\infty_{-b}dv\,\rho(v)=n.
$$
Отсюда
\eq{
J_{\text{min}}={N-3n\over2}
\label{Jminexpr}
}
и
\eq{
\int^\infty_{-b}dv\,J(v)\rho(v)
={n\over2}-{n^2\over N}.
\label{intJrhoexpr}
}
Окончательно, находим в лидирующем по $1/N$ порядке
\eq{
\Espel=N\eF M_\el^2=N\eF{(S^z)^2\over N^2}.
\label{Espelexpr}
}
Отсюда легко получить связь между $S^z$ и магнитным полем $H$.
Действительно, минимизацией функции $\Espel(H)=\Espel-HS^z$ по $S^z$
находим 
\eq{
H={2\eF\over N}S^z.
\label{HSzrel}
}
Это просто вклад $s$-электронов в парамагнетизм Паули. Эта формула
точна в нулевом порядке по $1/N$ и ее можно использовать в дальнейшем
для вычисления связи между $H$ и $b$. Чтобы получить (\ref{HSzrel}) нам
не потребовалось решать явно уравнения Бете~(\ref{b2int0}). Однако
решать их непременно придется, если мы захотим установить связь между
$b$ и $n$.

Начнем со случая $b=\infty$. Интегральные уравнения (\ref{b2int0})
и~(\ref{b2int1}) в этом случае можно решить методом Фурье. Легко
проверить, что
\eq{
\tilde a_t(k)=\int^\infty_{-\infty}dv\,a_t(v)e^{ikv}
=e^{-t|k|/2}.
\label{atFourier}
}
Отсюда имеем
$$
\trho_0(k)=e^{-|k|/2}-e^{-|k|}\trho_0(k),
\qquad
\trho_1(k)=e^{-S|k|-ik/g}-e^{-|k|}\trho_1(k).
$$
Следовательно,
\eq{
\trho_0(k)={1\over2\ch{k\over2}},
\qquad
\trho_1(k)={e^{-(S-1/2)k-ik/g}\over2\ch{k\over2}}.
\label{trhoksolutions}
}
Особый интерес представляет точка $k=0$:
\eq{
\trho_0(0)=\int dv\,\rho_0(v)={1\over2},
\qquad
\trho_1(0)=\int dv\,\rho_1(v)={1\over2}.
\label{trho0}
}
Отсюда получаем
\Subeq{
\Align{
M_\el
&=0,
\label{MelH0}
\\
M_\im
&=S-1/2.
\label{MimH0}
}}
Первая формула (\ref{MelH0}) означает, что случай $b=-\infty$
соответствует случаю нулевого электронного магнитного момента, т.~е.\
нулевого внешнего магнитного поля. Более точно, это соответствует
пределу $H\to0^+$, поскольку конечным $b$ соответствует положительное
магнитное поле. Формула (\ref{MimH0}) означает, что в слабом магнитном
поле цепочка приобретает момент $S^z=S-1/2$, то есть спин цепочки равен
$S-1/2$. Это значит, что спин примеси частично экранируется электронами
и {\it основное состояние $2S$-кратно вырождено}.

Рассмотрим теперь случай
\eq{
1\ll b<\infty.
\label{finitb}
}
Условие $b\gg1$ соответствует физически осмысленному режиму не слишком
сильного магнитного поля $H\ll\eF$. Интегральные уравнения с одним
конечным пределом решаются методом Винера--Хопфа. Изложим вкратце этот
метод.

Пусть имеется уравнение
\eq{
f(x)+\int^\infty_0 dx'\,K(x-x')f(x')=g(x),\qquad x>0.
\label{WHeq}
}
Можно произвольно продолжить данную функцию $g(x)$ в область
отрицательных $x$ и распространить уравнение на всю ось. При этом
значения $f(x)$ при $x<0$ несущественны, а решение $f(x)$ при $x>0$ не
зависит от этого продолжения.

Сделаем преобразование Фурье:
\eq{
\tilde f_+(k)=\int^\infty_0dx\,e^{ikx}f(x),
\qquad
\tilde f_-(k)=\int^0_{-\infty}dx\,e^{ikx}f(x).
\label{WHfpm}
}
Функция $\tilde f_+(k)$ ($\tilde f_-(k)$) не имеет особенностей в
верхней (нижней) полуплоскости. Здесь и ниже такое свойство будет
предполагаться для всех функций с индексами $\pm$.

Уравнение (\ref{WHeq}) принимает вид
\eq{
(1+\tilde K(k))\tilde f_+(k)+\tilde f_-(k)
=\tilde g(k).
\label{WHeqk}
}
Представим ядро $\tilde K(k)$ в виде
\eq{
1+\tilde K(k)={\tilde K_+(k)\over\tilde K_-(k)}.
\label{WHfactor}
}
Кроме того, положим
\eq{
\tilde K_-(k)g(k)=\tilde q_+(k)+\tilde q_-(k).
\label{WHKgdecomp}
}
Умножая (\ref{WHeqk}) на $\tilde K_-(k)$, получаем
\eq{
\tilde K_+(k)\tilde f_+(k)+\tilde K_-(k)\tilde f_-(k)
=\tilde q_+(k)+\tilde q_-(k).
\label{HWeqdecomp}
}
Перенесем все функции, не имеющие особенностей в верхней полуплоскости в
левую часть:
$$
\tilde K_+(k)\tilde f_+(k)-\tilde q_+(k)
=\tilde q_-(k)-\tilde K_-(k)\tilde f_-(k).
$$
Левая часть не имеет особенностей в верхней полуплоскости, а правая ---
в нижней. Таким образом, обе части этого уравнения не имеют
особенностей. При некоторых дополнительных ограничениях на рост функций
(которые надо проверять отдельно в каждом конкретном случае), отсюда
следует, что
\eq{
\tilde K_+(k)\tilde f_+(k)=\tilde q_+(k),
\qquad
\tilde K_-(k)\tilde f_-(k)=\tilde q_-(k),
\label{WHeqsplitted}
}
откуда следует, что
\eq{
f(x)=\int^\infty_{-\infty}{dk\over2\pi}
{\tilde q_+(k)\over\tilde K_+(k)}e^{-ikx},
\qquad x>0.
\label{WHsolution}
}
Построение функций, аналитических в верхней или нижней полуплоскости
составляет некоторое искусство, но для разумных функций, выражаемых
через элементарные функции, это задача вполне решаемая (сводящаяся,
более или менее, к подсчету полюсов и нулей).

Я не буду приводить явных формул для решения уравнений (\ref{b2int0}),
(\ref{b2int1}) методом Винера--Хопфа (подробно этот вывод изложен
в~[1]). Приведу лишь ответы. Положим
$$
f(x)=\rho(x-b).
$$
Тогда
\eq{
\tilde K_+(k)=(\tilde K_-(-k))^{-1}
=\sqrt{2\pi}\left(ik+0\over2\pi e\right)^{ik/2\pi}
\Gamma^{-1}\left(ik+\pi\over2\pi\right).
\label{Kpmdef}
}
Плотность состояний при $v>-b$ равна
\eq{
\rho_0(v)=\int^\infty_{-\infty}{dk\over2\pi}e^{ik(v+b)}\tilde f_+(k),
\qquad
\tilde f_+(k)={1\over ik+\pi}{\tilde K_+(i\pi)\over\tilde K_+(k)}
+{1\over2\ch k/2}.
\label{rho0WH}
}
Это приводит к связи между магнитным полем и $b$:
\eq{
{H\over2\eF}=e^{-\pi b}\left(2\over\pi e\right)^{1/2}.
\label{bHrel}
}
Отсюда выводится формула для намагниченности
\eq{
M_\im(H)=S-{1\over2}
+{i\over8\sqrt\pi}\int^\infty_{-\infty}d\omega\,
\left(H\over T_H\right)^{-2i\omega}
{\Gamma(i\omega+1/2)\over\omega+i0}
\left(-i\omega+0\over e\right)^{-2iS\omega}
\left(i\omega+0\over e\right)^{i(2S-1)\omega},
\label{MHrel}
}
где
\eq{
T_H=\left(2\pi\over e\right)^{1/2}{2\eF\over\pi}e^{-\pi/g}\sim T_K.
\label{THdef}
}
Это выражение допускает разложения при $H\gg T_H$ (что можно сопоставить
с рядами по теории возмущений) и при $H\ll T_H$ (что недостижимо по
теории возмущений).

Теперь кратко коснемся проблемы вычисления термодинамических
характеристик при конечных температурах. Здесь есть несколько
особенностей.

Прежде всего, в отличие от основного состояния, решения уравнений Бете
$v_i$ могут быть не только вещественными, но и комплексными. Именно, при
$N\to\infty$ корни уравнений Бете образуют {\it $p$-струны\/}
($k=1,2,\ldots$):
\eq{
v^p_{j,k}=v^p_j+{i\over2}(p+1-2k)+O(e^{-\const N}),
\qquad
k=1,2,\ldots,p.
\label{strings}
}
Вещественные решения соответствуют 1-струнам.

Можно показать, что если подставить струнное решение в уравнения Бете,
то правая часть обратиться в нуль или бесконечность, в то время как
левая будет стремиться к нулю или, соответственно, бесконечности при
$N\to\infty$. Чтобы построить уравнения для вещественных частей струны
$v^p_{j,k}$, следует перемножить $p$ уравнений Бете для всех $k$. После
этого уравнения Бете примут вид
\Gather{
e^{ip_aL}=e^{iJS}\prod^\infty_{p=1}\prod^{n_p}_{j=1}e_p(v^p_j),
\label{b1strings}
\\
(e_p(v^p_j))^Ne_{p,2S}(v^p_j+1/g)
=\prod^\infty_{p'=1}\prod^{n_m}_{j'=1}
E_{pp'}(v^p_j-v^{p'}_{j'}),
\label{b2strings}
}
где
$$
\Gathered{
e_p(v)={v+ip/2\over v-ip/2},
\qquad
e_{p,2S}(v)
=\prod^p_{k=1}{v+{i\over2}(p+1-2k)+iS\over v+{i\over2}(p+1-2k)-iS},
\\
E_{pp'}(v)
=e_{|p-p'|}(v)e^2_{|p-p'|+2}(v)
\ldots e^2_{p+p'-2}(v)e_{p+p'}(v).
}
$$
Очевидно,
$$
S^z={N\over2}-\sum^\infty_{p=1}pn_p.
$$
Как и раньше, уравнения следует прологорифмировать и перейти к
непрерывному пределу. Однако при ненулевой температуре состояния
заполняются неплотно, поэтому если в левой части интегральных уравнений
возникают {\it плотности состояний\/} $\rho_p(v)$, то в правой (под
интегралами) только {\it плотности частиц\/} $\rho^+_p(v)$. Разность
$\rho^-_p(v)=\rho_p(v)-\rho^+_p(v)$ представляет собой {\it плотность
дырок}. С этим связана энтропия
\Align{
S
&=\log\prod_{p,v}
{(N\rho_p(v)dv)!\over(N\rho^+_p(v)dv)!(N\rho^-_p(v)dv)!}
\nonumber
\\
&=N\sum^\infty_{p=1}\int dv\,
(\rho_p(v)\log\rho_p(v)-\rho^+_p(v)\log\rho^+_p(v)
-\rho^-_p(v)\log\rho^-_p(v)).
\label{entropy}
}
Правильная система уравнений на плотности частиц представляет собой
условие минимума свободной энергии
$$
F[\rho^+]=E-TS-HS^z
$$
(величины $\rho$ и $\rho^-$ определяются по $\rho^+$ из уравнений Бете в
интегральной форме). Это дает систему нелинейных интегральных уравнений,
которую обычно можно решить в пределе низких или высоких температур.

\bigbreak
\leftline{\bf Литература}

[1]~N.~Andrei, K.~Furuya, and J.~H.~Lowenstein, {\it Reviews of Modern
Physics}, {\bf55} (1983) 331.



\end{document}
