\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,pictex,fullpage}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{misccorr}

\allowdisplaybreaks

\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1{\begin{equation}#1\end{equation}}
\def\Align#1{\begin{align}#1\end{align}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}#1\end{aligned}}
\def\Gather#1{\begin{gather}#1\end{gather}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}#1\end{gathered}}
\def\Multline#1{\begin{multline}#1\end{multline}}
\def\Subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\bn{{\boldsymbol n}}
\def\bp{{\boldsymbol p}}
\def\br{{\boldsymbol r}}
\def\bR{{\boldsymbol R}}
\def\bS{{\boldsymbol S}}
\def\bJ{{\boldsymbol J}}
\def\bsigma{{\boldsymbol\sigma}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\cH{{\cal H}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\ta{{\tilde a}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\eff{{\rm eff}}
\def\const{{\rm \,const\,}}
\def\eF{{\epsilon_F}}

\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}

\def\aux{{\tilde1}}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.3truecm> [0.1,0.3] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother


\begin{document}

\centerline{\bf Лекция~10}
\centerline{\bf Задача Кондо: вывод анзатца Бете}
\bigskip

Начиная с 30-х годов наблюдался минимум в температурной зависимости сопротивления некоторых, казалось, чистых металлов (золота, серебра, меди) при низких температурах. Позднее оказалось, что аномалия связана с наличием малой концентрации примесных атомов переходных металлов (Mn, Fe, Cr, Co, Ce, Y). Кондо (1964) объяснил это явление рассеянием электронов на примесях, описываемом взаимодействием ({\it $sd$-модель\/})
\eq{
V=J\sum_i\bsigma\bS_i\delta(\br-\bR_i)
\label{sdinteraction}
}
В борновском приближении амплитуда рассеяния на одиночной примеси равна
$$
J(\bsigma\bS)_{\sigma'\sigma}.
$$
Так как $J$ в несколько раз меньше $\eF/n$ ($n$ --- концентрация электронов), эта амплитуда мала. Однако первая поправка к борновской амплитуде содержит логарифмические члены и сумма нулевого и первого приближения равна~[1]
\eq{
J(\bsigma\bS)_{\sigma'\sigma}
\left(
1+J\rho(\eF)\log{\eF\over\max(|\epsilon_\bp-\eF|,T)}
\right),
\label{secondorder}
}
где $\rho(\epsilon)$ --- плотность состояний. Эта поправка растет при $T\to0$ и энергиях электрона, близких к $\eF$, и теория возмущений, в конце концов, становится непригодной. Характерная температура, при которой теория возмущений непригодна, называемая {\it температурой Кондо}, равна
\eq{
T_K\sim\eF e^{1/J\rho(\eF)}.
\label{KondoTemperature}
}
Эта температура является единственной характерной шкалой в эффекте Кондо.

Давайте приведем краткий вывод выражения (\ref{secondorder}). Двукратное рассеяние может происходить двумя способами. Во-первых, электрон в состоянии $\bp\sigma$ может перейти сначала в состояние $\bp''\sigma''$, а затем в конечное состояние $\bp'\sigma'$. Амплитуда этого процесса равна
$$
J^2\sum_{\sigma''}\int{d^3p''\over(2\pi)^3}\,
{(\bsigma\bS)_{\sigma'\sigma''}(\bsigma\bS)_{\sigma''\sigma}(1-f(\bp''))
\over\epsilon_\bp-\epsilon_{\bp''}},
$$
где $f(\bp)$ --- функция распределения. Индексы, связанные с состоянием примеси, опущены. Во-вторых, сначала электрон из заполненного состояния $\bp''\sigma''$ переходит в состояние $\bp'\sigma'$, а уже потом электрон из состояния $\bp\sigma$ переходит в состояние~$\bp''\sigma''$. Амплитуда этого перехода равна
$$
-J^2\sum_{\sigma''}\int{d^3p''\over(2\pi)^3}\,
{(\bsigma\bS)_{\sigma''\sigma}(\bsigma\bS)_{\sigma'\sigma''}f(\bp'')
\over\epsilon_{\bp''}-\epsilon_{\bp'}}.
$$
Знак минус связан с антисимметрией волновых функций электронов. Если бы спиновых множителей не было, вклады, содержащие $f(\bp'')$, сократились бы, и логарифмически большого множителя не было бы. Но для спиновых множителей имеем:
$$
\Aligned{
\sigma^iS^i\sigma^jS^J
&=S(S+1)-\bsigma\bS,
\\
\sigma^iS^k\sigma^kS^i
&=S(S+1)+\bsigma\bS.
}
$$
Мы получаем интеграл
$$
J^2\int{d^3p''\over(2\pi)^3}\,
\left({S(S+1)\delta_{\sigma'\sigma}\over\epsilon_\bp-\epsilon_{\bp''}}
+{2f(\bp'')-1\over\epsilon_\bp-\epsilon_{\bp''}}(\bsigma\bS)_{\sigma'\sigma}\right)
$$
Первый член не имеет особенности при $\epsilon_{\bp''}=\mu$ и дает конечный вклад вблизи поверхности Ферми. Второй член дает вклад, логарифмически расходящийся при нулевой температуре. Он и дает~(\ref{secondorder}).

Удельное сопротивление в первом порядке равно
$$
\rho=\rho_v+\rho^{(0)}_J\left(1+2J\rho(\eF)\log{\eF\over T}\right).
$$
В случае ферромагнитного взаимодействия ($J<0$) вклад магнитных примесей падает при уменьшении температуры, в то время как в случае антиферромагнитного взаимодействия ($J>0$) --- растет.

Оказывается, можно просуммировать логарифмические члены во всех порядках теории возмущений (Абрикосов, 1965; Сул, 1965):
$$
\rho=\rho_v+{\rho^{(0)}_J\over
\left(1-J\rho(\eF)\log{\eF\over T}\right)^2}.
$$
Однако при $T\sim T_K$ это выражение имеет особенность, так что ограничиться только логарифмическими поправками нельзя.

Были наблюдены также и аномалии в термодинамических характеристиках металлов с магнитными примесями, например, теплоемкости $C$ и магнитной восприимчивости $\chi$. При больших температурах примесный вклад в эти величины с хорошей точностью описывается обратными степенями логарифма:
$$
\Aligned{
\rho_{\text{imp}}(T)
&\simeq{\const\over\log^2{T\over T_K}},
\\
C_{\text{imp}}(T)
&\simeq{\const\over\log^2{T\over T_K}},
\\
\chi_{\text{imp}}(T)
&\simeq{\const\over T\log{T\over T_K}},
\qquad
T\gg T_K.
}
$$
При $T\to0$ наблюдается другое поведение:
$$
\Aligned{
\rho_{\text{imp}}(T)
&=\rho_{\text{imp}}(0)\biggl(
1-\kappa_R\left(T\over T_K\right)^2+\ldots
\biggr),
\\
C_{\text{imp}}(T)
&=\gamma{T\over T_K}\biggl(
1-\kappa_C\left(T\over T_K\right)^2+\ldots
\biggr),
\\
\chi_{\text{imp}}(T)
&=\chi_0\biggl(
1-\kappa_\chi\left(T\over T_K\right)^2+\ldots
\biggr),
}
$$
где $\kappa_R$, $\kappa_C$, $\kappa_\chi$ --- величины порядка единицы.

Решение этой задачи при $T\lesssim T_K$ кажется довольно безнадежным. Тем не менее, в некотором приближении эта задача сводится к задаче, точно решаемой с помощью анзатца Бете (Вигман 1980; Андреи, 1980). На эту тему есть хорошие обзоры~[2,3].

Запишем гамильтониан $sd$-модели в виде
\eq{
H=H_0+J\bsigma(0)\bS,
\qquad
H_0=\sum_{\bp\sigma}\epsilon_\bp c^+_{\bp\sigma}c_{\bp\sigma},
\qquad
\bsigma(0)=\sum_{\bp'\sigma',\bp\sigma}
c^+_{\bp'\sigma'}\bsigma_{\sigma'\sigma}c_{\bp\sigma}.
\label{sdHamiltonian}
}
Здесь предполагается, что в системе имеется только одна примесь, изотропно взаимодействующая со свободными электронами. Кроме того, отсутствует потенциальное рассеяние на примеси. Будем также предполагать, что $\epsilon_\bp$ не зависит от направления импульса, а спектр вблизи ферми-сферы имеет вид
\eq{
\epsilon_\bp=\eF+v_F(p-p_F).
\label{epexpansion}
}
Разложим теперь операторы рождения-уничтожения по сферическим функциям:
\eq{
c^+_{\bp\sigma}=\sum_{lm}Y_{lm}(\bp/p)c^+_{plm\sigma}.
\label{cpangexp}
}
В силу ортогональности сферических гармоник гамильтониан взаимодействия
содержит только компоненты с $l=m=0$:
\eq{
H=\sum_{plm\sigma}\epsilon_pc^+_{plm\sigma}c_{plm\sigma}
+J\sum_{p'\sigma',p\sigma}c^+_{p'00\sigma'}c_{p00\sigma}
\bsigma_{\sigma'\sigma}\bS.
\label{Hangexp}
}
Электроны с $l>0$ не взаимодействуют с электронами с $l=0$ и друг с другом, и их вклад тривиален. Нетривиальная часть задачи состоит в исследовании вклада в гамильтониан электронов с $l=0$. Будем отсчитывать энергию электронов от энергии Ферми, а квазиимпульс от $p_F$. Кроме того, положим для простоты $v_F=1$. Получаем
\eq{
H=\sum_{p\sigma}pc^+_{p\sigma}c_{p\sigma}
+J\sum_{p'p\sigma'\sigma}c^+_{p'\sigma'}c_{p\sigma}
\bsigma_{\sigma'\sigma}\bS,
\label{Hl0}
}
где $c_{p\sigma}=c_{p-p_F,00\sigma}$, а суммирование производится по всем вещественным $p$. Этот гамильтониан --- одномерный. Более того, по существу, это гамильтониан, определенный на всей вещественной оси $x$, а не только на полуоси $x<0$, поскольку отраженная и падающая волна не взаимодействуют друг с другом. При этом, однако, волны в системе могут двигаться только в одном (положительном) направлении. Циклическому граничному условию на интервале $[-R,R)$ будет соответствовать условие отражения волны на сфере радиуса $R$ в физическом пространстве. В координатном представлении гамильтониан имеет вид
\eq{
H=\int dx\,(-ic^+(x)\d_xc(x)
+Jc^+(x)(\bsigma\bS)c(x)\delta(x)),
\qquad
c(x)=\pMatrix{c_+(x)\\c_-(x)}
=\int{dp\over2\pi}\,e^{ipx}\pMatrix{c_{p+}\\c_{p-}}.
\label{Hcoord}
}
Гамильтониан $H$ сохраняет число частиц в системе и суммарный спин. Состояние $|\Psi_N\rangle$ системы с фиксированным числом частиц $N$ можно представить в виде
\eq{
|\Psi_N\rangle
=\int dx_1\ldots dx_N\,\sum_{\sigma_1\ldots\sigma_N,s}
\Psi^{\sigma_1\ldots\sigma_N,s}(x_1,\ldots,x_N)
c^+_{\sigma_1}(x_1)\ldots c^+_{\sigma_N}(x_N)(S^-)^{S-s}|\Omega\rangle,
\label{Psidef}
}
где $s=-S,S+1\ldots,S$ --- $z$-проекция спина $S$, а $|\Omega\rangle$ --- псевдовакуумное состояние, удовлетворяющее условиям
\eq{
c_\sigma(x)|\Omega\rangle=S^+|\Omega\rangle=0.
\label{Omegadef}
}
Гамильтониан (\ref{Hcoord}) действует на состояние $|\Psi_N\rangle$ так:
\eq{
H\Psi^{\sigma_1\ldots\sigma_N,s}
=-i\sum^N_{j=1}\d_{x_j}\Psi^{\sigma_1\ldots\sigma_N,s}
+J\sum^N_{j=1}\sum_{\sigma'_j,s'}
\delta(x_j)\bsigma_{\sigma_j\sigma'_j}\bS_{ss'}
\Psi^{\sigma_1\ldots\sigma'_j\ldots\sigma_N,s'}
\label{HcoordN}
}

Рассмотрим сначала одночастичное состояние. Мы будем искать решение в виде
\eq{
\Psi^{\sigma,s}_p(x)
=\Cases{
A^{\sigma,s}_pe^{ipx},
&x<0,
\\
B^{\sigma,s}_pe^{ipx},
&x>0.
}
\label{Psi1}
}
Подставляя (\ref{Psi1}) в~(\ref{HcoordN}), получаем
\eq{
A^{\sigma,s}_p=\sum_{\sigma',s'}R^{\sigma s}_{\sigma's'}B^{\sigma',s'},
\qquad
R=e^{iJ\bsigma\bS}.
\label{Rmat1}
}
Теперь, казалось бы, можно элементарно построить волновую функцию произвольного состояния как антисимметризованные произведения волновых функций вида~(\ref{Psi1}). Это, однако, не так. Дело в том, что в модели имеется дополнительная динамическая переменная $s$. Рассмотрим, например, область $x_1,x_2<0$. Предположим, что в этой области волновая функция непрерывна. Продолжим волновую функцию в область $x_1<0<x_2$. Частица $2$ рассеялась на примеси, поэтому волновая функция в этой области будет отличаться фактором рассеяния $R_{20}$. Продолжив в область $0<x_1<x_2$, мы получим фактор $R_{20}R_{10}$. Аналогично, продолжение сначала в область $x_2<0<x_1$, а затем в область $0<x_2<x_1$, получим фактор $R_{10}R_{20}$. Но
$$
R_{20}R_{10}\ne R_{10}R_{20}.
$$
Отсюда следует, что на линии $x_1=x_2$ в области $x_1,x_2>0$ волновая функция имеет разрыв.

Мы будем рассматривать решения, имеющие разрывы при $x_1=x_2$ как в области $x_1,x_2>0$, так и в области $x_1,x_2<0$. Посмотрим, какие разрывы совместны с уравнением Шредингера. Пусть, например, $x_1,x_2<0$. Согласно уравнению Шредингера, имеем
$$
(\d_{x_1}+\d_{x_2})\Psi^{\sigma_1\sigma_2,s}(x_1,x_2)=\text{(конечное
при $x_1=x_2$ выражение)}.
$$
Это условие допускает произвольный разрыв волновой функции при $x_1=x_2$. Действительно,
$$
\Aligned{
\d_{x_1}\Psi(x_1,x_2)
&=\delta(x_1-x_2)(\Psi(x_1+0,x_2)-\Psi(x_1-0,x_2))+\ldots,
\\
\d_{x_2}\Psi(x_1,x_2)
&=\delta(x_1-x_2)(\Psi(x_1,x_2+0)-\Psi(x_1,x_2-0))+\ldots
\\
&=-\delta(x_1-x_2)(\Psi(x_1+0,x_2)-\Psi(x_1-0,x_2))+\ldots.
}
$$
Поэтому можно выбрать любой разрыв.

Мы будем искать решение уравнения Шредингера в виде анзатца Бете по переменным $(\sigma_1,x_1)$, $\ldots$~, $(\sigma_N,x_N)$, $(s,0)$, причем коэффициенты матрица рассеяния для частицы $j\ne0$ с частицей $0$ (примесью) будет даваться матрицей $R$, а рассеяние двух электронов $j,j'\ne0$ будет даваться некоторой матрицей $S$, которую мы найдем из условий ассоциативности (уравнения Янга--Бакстера):
\eq{
S_{12}R_{10}R_{20}=R_{20}R_{10}S_{12}.
\label{YBconst}
}
Очевидным решением этого уравнения является матрица перестановки
\eq{
S_{12}=P_{12},
\qquad
P^{\sigma'_1\sigma'_2}_{\sigma_1\sigma_2}
=\delta^{\sigma'_1}_{\sigma_2}\delta^{\sigma'_2}_{\sigma_1}.
\label{SequalP}
}
Если обозначать частицы сплошными линиями, а примесь пунктиром, то графически это выглядит так:
$$
R_{10}=
\quad
\vcenter{
\font\thinlinefont=cmr5
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1.04987cm,1.04987cm>
\unitlength=1.04987cm
\linethickness=1pt
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})
\setlinear
\linethickness= 0.500pt
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})
\plot  2.723 25.493  2.857 25.718  2.633 25.583 /
\plot  2.857 25.718  0.953 23.812 /
\linethickness= 0.500pt
\plot  1.177 25.583  0.953 25.718  1.087 25.493 /
\setdashes < 0.1270cm>
\plot  0.953 25.718  2.857 23.812 /
\put{0} [lB] at  2.953 23.431
\put{1} [lB] at  0.667 23.431
\linethickness=0pt
\putrectangle corners at  0.667 25.743 and  2.953 23.431
\endpicture
}
\quad
=e^{J\bsigma\bS},
\qquad
S_{12}=
\quad
\vcenter{
\font\thinlinefont=cmr5
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1.04987cm,1.04987cm>
\unitlength=1.04987cm
\linethickness=1pt
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})
\setlinear
\linethickness= 0.500pt
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})
\plot  2.723 25.493  2.857 25.718  2.633 25.583 /
\plot  2.857 25.718  0.953 23.812 /
\linethickness= 0.500pt
\plot  1.177 25.583  0.953 25.718  1.087 25.493 /
\plot  0.953 25.718  2.857 23.812 /
\put{2} [lB] at  2.953 23.431
\put{1} [lB] at  0.667 23.431
\linethickness=0pt
\putrectangle corners at  0.667 25.743 and  2.953 23.431
\endpicture
}
\quad
=
\quad
\vcenter{
\font\thinlinefont=cmr5
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1.04987cm,1.04987cm>
\unitlength=1.04987cm
\setlinear
\linethickness= 0.500pt
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})
\putrule from  0.953 23.812 to  0.953 25.622
\putrule from  2.857 23.812 to  2.857 25.718
\plot  1.016 25.368  0.953 25.622  0.889 25.368 /
\plot  2.921 25.463  2.857 25.718  2.794 25.463 /
\put{2} [lB] at  2.857 23.431
\put{1} [lB] at  0.953 23.431
\linethickness=0pt
\putrectangle corners at  0.864 25.743 and  2.946 23.431
\endpicture
}
\quad
=P_{12}.
$$
В этих обозначения доказательство (\ref{YBconst}) при $S=P$ выглядит очевидно:
$$
\vcenter{
\font\thinlinefont=cmr5
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1.04987cm,1.04987cm>
\setlinear
\linethickness= 0.500pt
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})
\setdashes < 0.1270cm>
\plot  2.381 23.812  2.381 25.718 /
\setsolid
\plot  2.445 25.463  2.381 25.718  2.318 25.463 /
\setsolid
\plot  0.857 24.289  2.857 25.241 /
\plot  2.655 25.075  2.857 25.241  2.601 25.189 /
\plot  0.953 25.241  2.857 24.289 /
\plot  2.602 24.346  2.857 24.289  2.659 24.459 /
\linethickness=0pt
\putrectangle corners at  0.832 25.743 and  2.883 23.787
\endpicture
}
\quad
=
\quad
\vcenter{
\font\thinlinefont=cmr5
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1.04987cm,1.04987cm>
\unitlength=1.04987cm
\setlinear
\linethickness= 0.500pt
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})
\putrule from  0.857 24.289 to  2.857 24.289
\plot  2.603 24.225  2.857 24.289  2.603 24.352 /
\putrule from  0.953 25.241 to  2.857 25.241
\plot  2.603 25.178  2.857 25.241  2.603 25.305 /
\setdashes < 0.1270cm>
\plot  1.905 23.812  1.905 25.718 /
\setsolid
\plot  1.969 25.463  1.905 25.718  1.841 25.463 /
\linethickness=0pt
\putrectangle corners at  0.832 25.743 and  2.883 23.787
\endpicture
}
\quad
=
\quad
\vcenter{
\font\thinlinefont=cmr5
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1.04987cm,1.04987cm>
\unitlength=1.04987cm
\setlinear
\linethickness= 0.500pt
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})
\plot  0.857 24.289  2.857 25.241 /
\plot  2.655 25.075  2.857 25.241  2.601 25.189 /
\plot  0.953 25.241  2.857 24.289 /
\plot  2.602 24.346  2.857 24.289  2.659 24.459 /
\setdashes < 0.1270cm>
\plot  1.429 23.812  1.429 25.718 /
\setsolid
\plot  1.492 25.463  1.429 25.718  1.365 25.463 /
\linethickness=0pt
\putrectangle corners at  0.832 25.743 and  2.883 23.787
\endpicture
}
$$

Теперь наложим циклические граничные условия
\eq{
\Psi(x_1,\ldots,x_j,\ldots,x_N)
=\Psi(x_1,\ldots,x_j+L,\ldots,x_N).
\label{cyclic}
}
Введем оператор
\eq{
T_j=P_{jj+1}\ldots P_{jN}R_{j0}P_{j1}\ldots P_{jj-1}.
\label{trmatdef}
}
Из циклического граничного условия (\ref{cyclic}) следует, что
\eq{
e^{ip_jL}\Psi=T_j\Psi.
\label{cyclictrmat}
}
Это значит, что решение задачи сводится к совместной диагонализации операторов $T_j$. Легко видеть, что операторы $T_j$ совпадают. Действительно, их можно записать в виде
\eq{
T_j=T=\tr_\aux(P_{\aux1}\ldots P_{\aux N}R_{\aux0}),
\label{trmat}
}
где $\aux$ --- индекс вспомогательного пространства. Дополнительный оператор $P_{\aux j}$ превращает призведение операторов в след.

Как диагонализовать трансфер-матрицу $T$? Для этого надо повторно использовать анзатц Бете ({\it вторичный анзатц Бете\/}), причем удобнее воспользоваться алгебраическим анзатцем. Но для этого необходимо построить семейство коммутирующих трансфер-матриц.

Давайте построим однопараметрические семейства $R$-матриц $R(u)$, $S(u)$, удовлетворяющие следующим условиям.

1.~Матрицы $R(u)$ и $S(u)$ удовлетворяют уравнению Янга--Бакстера:
\Subeq{
\Gather{
S_{12}(u_1-u_2)R_{10}(u_1-u_0)R_{20}(u_2-u_0)
=R_{20}(u_2-u_0)R_{10}(u_1-u_0)S_{12}(u_1-u_2),
\label{SRR}
\\
S_{12}(u_1-u_2)S_{13}(u_1-u_3)S_{23}(u_2-u_3)
=S_{23}(u_2-u_3)S_{13}(u_1-u_3)S_{12}(u_1-u_2).
\label{SSS}
}}

2.~В специальных точках матрицы $S(u)$ и $R(u)$ совпадают с $S$ и $R$:
\eq{
S(0)=P,
\qquad
R(1)=R=e^{iJ\bsigma\bS}.
\label{specialpoints}
}

3.~Дополнительно удобно потребовать, чтобы $R$-матрицы удовлетворяли условию унитарности:
\eq{
S_{12}(u)S_{21}(-u)=1,
\qquad
R_{10}(u)R_{10}(-u)=1.
\label{unitarity}
}

Решение можно представить в виде
\eq{
\Aligned{
S_{12}(u)
&=w_0(u)+w(u)\bsigma_1\bsigma_2,
\\
R_{10}
&=w'_0(u)+2w'(u)\bsigma_1\bS_0.
}\label{SRform}
}
Удобно ввести обозначения
\eq{
\Aligned{
a
&=w_0+w,
&\quad
b
&=w_0-w,
&\quad
c
&=2w,
\\
a'
&=w'_0+w',
&\quad
b'
&=w'_0-w',
&\quad
c'
&=2w'.
}\label{abcdef}
}
В этом случае матрица $S(u)$ имеет тот же вид, что и для XXZ-модели:
$$
S(u)=\pMatrix{a(u)&&&\\&b(u)&c(u)&\\&c(u)&b(u)&\\&&&a(u)}.
$$

Решая уравнение Янга--Бакстера, находим
\eq{
\Aligned{
{b(u)\over a(u)}
&={b'(u)\over a'(u)}
={u\over u+ig},
\\
{c(u)\over a(u)}
&={c'(u)\over a'(u)}
={ig\over u+ig},
}\label{bacaratios}
}
т.~е.\ $S(u)$ совпадает (с точностью до изменения масштаба спектрального параметра и некоторого несложного несложного матричного преобразования, меняющего знаки) с $R$-матрицей для XXX-модели.

Условие унитарности требует чтобы
\eq{
a(u)a(-u)=1,
\qquad
a'(u)a'(-u)={g^2-u^2\over g^2(S+1/2)^2-u^2}.
\label{aunitdef}
}
Наконец условие (\ref{specialpoints}) дает
\eq{
a(0)=1,\qquad
a'(1)={1+ig\over2}(e^{iJS}+e^{-iJ(S+1)})
\label{aspecial}
}
и
\eq{
g={1\over S+1/2}\tg J(S+1/2).
\label{gdef}
}
В остальном $a(u)$, $a'(u)$ --- произвольные функции.

Далее, однопараметрическое семейство трансфер-матриц имеет вид
\eq{
T(u)=\tr_\aux L_\aux(u),
\qquad
L_\aux(u)=S_{\aux1}(u)\ldots S_{\aux N}(u)R_{\aux0}(u+1),
\label{Tudef}
}
причем
\eq{
T(0)=T,
\qquad
[T(u),T(v)]=0.
\label{Tucommut}
}

$L$-операторы удовлетворяют соотношениям
\eq{
S_{\tilde1\tilde2}(u_1-u_2)L_{\tilde1}(u_1)L_{\tilde2}(u_2)
=L_{\tilde2}(u_2)L_{\tilde1}(u_1)S_{\tilde1\tilde2}(u_1-u_2).
\label{SLL}
}
Как и в случае XXZ-модели, $L$-оператор может быть представлен в виде
\eq{
L(u)=\pMatrix{A(u)&B(u)\\C(u)&D(u)},
\label{ABCDdef}
}
причем $A(u),\ldots,D(u)$ удовлетворяют соотношениям того же вида, что и в случае XXZ-модели, но с другими $a(u)$, $b(u)$, $c(u)$. Отсюда следует, что и решение будет примерно таким же.

Именно, псевдовакуум $|\Omega_N\rangle$, соответствующий всем спинам электронов, смотрящим вверх ($\sigma_j=+$), и $s=+S$, определяется условием
\eq{
C(u)|\Omega_N\rangle=0.
\label{OmegaNdef}
}
Анзатц Бете имеет вид
\eq{
|u_1,\ldots,u_n\rangle=B(u_1)\ldots B(u_n)|\Omega_N\rangle,
\qquad
S^z=N/2+S-n,
\label{ABA}
}
причем
\eq{
\Aligned{
A(u)|\Omega_N\rangle
&=\Lambda_A(u)|\Omega_N\rangle,
&\qquad
\Lambda_A(u)
&=((S+1/2)a'(u+1)-(S-1/2)b'(u+1))a^N(u),
\\
D(u)|\Omega_N\rangle
&=\Lambda_D(u)|\Omega_N\rangle,
&\qquad
\Lambda_D(u)
&=((S+1/2)b'(u+1)-(S-1/2)a'(u+1))b^N(u).
}\label{LambdaADdef}
}
Уравнения Бете записываются в стандартном виде
\eq{
{\Lambda_D(u_i)\over\Lambda_A(u_i)}
=\prod_{\scriptstyle j=1\atop\scriptstyle j\ne i}^n
{a(u_j-u_i)b(u_i-u_j)\over b(u_j-u_i)a(u_i-u_j)},
\label{Betheeq}
}
а собственные значения выражаются через корни уравнений Бете как
\eq{
\Lambda(u;u_1,\ldots,u_N)
=\Lambda_A(u)\prod_{i=1}^n{a(u_i-u)\over b(u_i-u)}
+\Lambda_D(u)\prod_{i=1}^n{a(u-u_i)\over b(u-u_i)}.
\label{Lambda}
}
Уравнение (\ref{cyclictrmat}) принимает вид
\eq{
e^{ip_jL}=\Lambda(0;u_1,\ldots,u_N).
\label{cyclicLambda}
}
Подставляя в~(\ref{Betheeq}) и~(\ref{Lambda}), (\ref{cyclicLambda}) явные формулы для $a(u)$ и $b(u)$ и заменяя
$$
u_j=g(v_j-i/2),
$$
получим уравнения Бете в виде
\eq{
\left(v_i+i/2\over v_i-i/2\right)^N
{v_i+iS+1/g\over v_i-iS+1/g}
=-\prod^n_{j=1}{v_i-v_j+i\over v_i-v_j-i},
\label{Bethefin}
}
и
\eq{
e^{ip_jL}=e^{iJS}\prod^n_{i=1}{v_i+i/2\over v_i-i/2}.
\label{cyclicfin}
}
Это сводит решение задачи Кондо к совместному решению уравнений
(\ref{Bethefin}) и~(\ref{cyclicfin})



\bigbreak
\leftline{\bf Литература}
[1]~А.~А.~Абрикосов, {\it Основы теории металлов}, М., <<Наука>>, 1987.

[2]~A.~M.~Tsvelik and P.~B.~Wiegmann, {\it Exact results in the theory of magnetic alloys}, Advances in Physics {\bf 32} (1983) 453.

[3]~P.~B.~Wiegmann, {\it An exact solution of the Kondo problem}, in: Quantum Theory of Solids, M., ``Mir", 1982.


\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip
{\bf 1}.~Выведите (\ref{Rmat1}).

{\bf 2}.~Покажите, что трансфер-матрицы $T(u)$, определенные (\ref{Tudef}), действительно образуют семейство коммутирующих трансфер-матриц.

\end{document}
