\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,pictex,russian,fullpage}

\allowdisplaybreaks

\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1{\begin{equation}#1\end{equation}}
\def\Align#1{\begin{align}#1\end{align}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}#1\end{aligned}}
\def\Gather#1{\begin{gather}#1\end{gather}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}#1\end{gathered}}
\def\Multline#1{\begin{multline}#1\end{multline}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\const{\mathord{\rm\,const\,}}
\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}
\def\half{{1\over2}}
\def\Z{{\bf Z}}
\def\R{{\bf R}}
\def\C{{\bf C}}
\def\N{{\cal N}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\Tr{\mathop{\rm Tr}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\th{\mathop{\rm th}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\Arsh{\mathop{\rm Arsh}\nolimits}
\def\Arch{\mathop{\rm Arch}\nolimits}
\def\Arth{\mathop{\rm Arth}\nolimits}
\def\sign{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\def\tsigma{{\tilde\sigma}}
\def\ve{\varepsilon}
%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.2truecm> [0.15,0.4] from #1 #2 to #3 #4 }
%\def\ln#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.01truecm> [0,0] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\begin{document}

\nonfrenchspacing

\centerline{\bf ������~8}
\centerline{\bf ������ ���� � ������������� ��������-�������}
\bigskip

���������� ������ ������ ������������ �������������� �������� ---
{\it �������������� ������\/} ��� {\it ������ ����}. ����� �� ������
���������� ������� ����� <<�����>> $\ve=\pm$, � �������������� ����� �����
� ��������. ������, ������ ������������ ������ ������ �������
$$
\vcenter{\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -0.5 0.0 , 0.5 0.0
\rl 0.0 -0.5 , 0.0 0.5
\ar -0.49 0.0 , -0.5 0.0
\ar 0.0 -0.49 , 0.0 -0.5
\put{$\ve_1$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.0 -0.5
\put{$\ve_2$} [Br] <-3pt,-2pt> at -0.5 0.0
\put{$\ve_3$} [Bc] <0pt,3pt> at 0.0 0.5
\put{$\ve_4$} [Bl] <3pt,-2pt> at 0.5 0.0
\endpicture}
$$
���������� �������������� ��� $R_{\ve_1\ve_2}^{\ve_3\ve_4}$. �������
����� ���������� ���������� �������.

{\it �������������\/} $C$ ���������� ������������ �������� ������ ��
���� ������ �������. {\it �����\/} ������������ $W(C)$ ����������
������������ �������������� ����� �� ���� �������� �������.
{\it �������� �������������\/} ���������� ������������ ����������� ����.
{\it �������������� ������\/} ���������� ����� ����� �� ����
������������� $Z=\sum_CW(C)$. {\it �������������� �������\/} ����������
������, � ������� ���� �� ����� ���� ������ ��� �������
\eq{
\ve_1+\ve_2=\ve_3+\ve_4,
\label{icecondition}
}
� ���� ����������� �� ��������� � �������� ���� ������:
\eq{
R^{-\ve_3\>-\ve_4}_{-\ve_1\>-\ve_2}=R^{\ve_3\ve_4}_{\ve_1\ve_2}.
\label{zeroextf}
}
����, ������ ������ ������� ����������� ���� �� ��������� ����� ������������
$$
\Aligned{
a
&=
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -0.5 0.0 , 0.5 0.0
\rl 0.0 -0.5 , 0.0 0.5
\ar -0.49 0.0 , -0.5 0.0
\ar 0.0 -0.49 , 0.0 -0.5
\put{$+$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.0 -0.5
\put{$+$} [Br] <-3pt,-2pt> at -0.5 0.0
\put{$+$} [Bc] <0pt,3pt> at 0.0 0.5
\put{$+$} [Bl] <3pt,-2pt> at 0.5 0.0
\endpicture}
&&=
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -0.5 0.0 , 0.5 0.0
\rl 0.0 -0.5 , 0.0 0.5
\ar -0.49 0.0 , -0.5 0.0
\ar 0.0 -0.49 , 0.0 -0.5
\put{$-$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.0 -0.5
\put{$-$} [Br] <-3pt,-2pt> at -0.5 0.0
\put{$-$} [Bc] <0pt,3pt> at 0.0 0.5
\put{$-$} [Bl] <3pt,-2pt> at 0.5 0.0
\endpicture}
\\
b
&=
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -0.5 0.0 , 0.5 0.0
\rl 0.0 -0.5 , 0.0 0.5
\ar -0.49 0.0 , -0.5 0.0
\ar 0.0 -0.49 , 0.0 -0.5
\put{$+$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.0 -0.5
\put{$-$} [Br] <-3pt,-2pt> at -0.5 0.0
\put{$+$} [Bc] <0pt,3pt> at 0.0 0.5
\put{$-$} [Bl] <3pt,-2pt> at 0.5 0.0
\endpicture}
&&=
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -0.5 0.0 , 0.5 0.0
\rl 0.0 -0.5 , 0.0 0.5
\ar -0.49 0.0 , -0.5 0.0
\ar 0.0 -0.49 , 0.0 -0.5
\put{$-$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.0 -0.5
\put{$+$} [Br] <-3pt,-2pt> at -0.5 0.0
\put{$-$} [Bc] <0pt,3pt> at 0.0 0.5
\put{$+$} [Bl] <3pt,-2pt> at 0.5 0.0
\endpicture}
\\
c
&=
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -0.5 0.0 , 0.5 0.0
\rl 0.0 -0.5 , 0.0 0.5
\ar -0.49 0.0 , -0.5 0.0
\ar 0.0 -0.49 , 0.0 -0.5
\put{$+$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.0 -0.5
\put{$-$} [Br] <-3pt,-2pt> at -0.5 0.0
\put{$-$} [Bc] <0pt,3pt> at 0.0 0.5
\put{$+$} [Bl] <3pt,-2pt> at 0.5 0.0
\endpicture}
&&=
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -0.5 0.0 , 0.5 0.0
\rl 0.0 -0.5 , 0.0 0.5
\ar -0.49 0.0 , -0.5 0.0
\ar 0.0 -0.49 , 0.0 -0.5
\put{$-$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.0 -0.5
\put{$+$} [Br] <-3pt,-2pt> at -0.5 0.0
\put{$+$} [Bc] <0pt,3pt> at 0.0 0.5
\put{$-$} [Bl] <3pt,-2pt> at 0.5 0.0
\endpicture}
}
$$
������� $R$ ����� � ���� ������ �������� � ����
\eq{
R=\pMatrix{a&&&\\&b&c&\\&c&b&\\&&&a}.
\label{Rmatrixform}
}
���������� ������ �� ������� ������� $M\times N$ � ������������
���������� ��������� � ������ ��������-������� �������
\eq{
T^{\ve'_1\ldots\ve'_N}_{\ve_1\ldots\ve_N}
=\sum_{\mu_1\ldots\mu_N}R^{\mu_2\ve'_1}_{\mu_1\ve_1}
R^{\mu_3\ve'_2}_{\mu_2\ve_2}\ldots R^{\mu_1\ve'_N}_{\mu_N\ve_N}.
\label{transfermatrixdef}
}
������� $R$ ������ ������������� ��� �������� �� ��������� ������������ ���� ��������� �����������:
$$
R:\C^2\otimes\C^2\to\C^2\otimes\C^2,
\qquad
v_{\ve_1}\otimes v_{\ve_2}\mapsto
R^{\ve_1\ve_2}_{\ve'_1\ve'_2}v_{\ve'_1}\otimes v_{\ve'_2}.
$$
����� $v_\ve$ --- ������������ ����� � ������������ $V=\C^2$. ���� ������� ������������ ���������� �����������, ������, $V_1\otimes V_2\otimes\ldots\otimes V_k$, �� ����� $R_{ij}$ �� ����� ���������� ��������, ����������� �� ������������ $V_i\otimes V_j$ ��� $R$, � �� ������ $V_l$ ��� ��������� ��������. ����� ��������-������� ����� �������� ��������� � ����
\eq{
T=\tr_{V_0}(R_{0N}\ldots R_{02}R_{01}).
\label{transfermatrixtr}
}
�������� ��� ������ ����� ����������� ���������� �����������
\eq{
L=R_{0N}\ldots R_{02}R_{01}=\pMatrix{A&B\\ C&D}
\label{Ldef}
}
� ���������� {\it ���������� ����������}. ��������
\eq{
T=A+D.
\label{transfermatrixAplusD}
}
������������ $V_1\otimes\ldots\otimes V_N$ ���������� {\it ��������� �������������}, � ������������ $V_0$ --- {\it ��������������� �������������}. �������� $L$ ��������������� ������ ��� �������� � ��������� ������������ � ��� ������� --- �� ��������������� ������������. ��������� �������� $A,\ldots,D$ ��������� ��� ��������� � ��������� ������������.

������� ������ � ���������� �������������� ����� �������������� ������ �������� � ������ � ���������� ����������� �������� ��������-�������. ����� ������ ���� ������ ����� �� ���� ��������� �����? �� ���� ��� ������ � {\it ��������� ���������������\/} ������. ��� ����� ��������� ���������������, �� ����� �� �����, �� � ������������ �������� ������ ������������ �����, ����� � ��� ������� ����������� ���������� ���������� �������� � ���������. ������� ��� �������� �� ����� ����������� ���������� ����������, ������������� � ��������-�������� � ���� � ������. �����������, ��� ����� ��������� ����� ����� ��� ��������-������� $T'$ � �����-�� ������ �������� $R'$ ����~(\ref{Rmatrixform}). ����, ����� ������� ��������� $T$ � $T'$ ���� (\ref{transfermatrixtr}) � $R$-��������� ����~(\ref{Rmatrixform}). ����� ��� �����������? ����������� (���� � �� �����������) ������� ����� �������������� ���. ��������� $T$ � $T'$ ����������� �����, ����� ������� ������� $R''$ ���� (\ref{Rmatrixform}), ����� ���
\eq{
R''_{12}R'_{13}R_{23}=R_{23}R'_{13}R''_{12}.
\label{YBE}
}
���������� ��� �������� ���:
\eq{
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,0.87cm> point at 0 0
\rl 1.0 -0.5 , -1.0 -0.5 \ar -0.99 -0.5 , -1.0 -0.5
\ar 0.25 1.0 , -0.75 -1.0
\ar -0.25 1.0 , 0.75 -1.0
\put{$1$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.75 -1.0
\put{$2$} [tc] <0pt,-3pt> at -0.77 -1.0
\put{$3$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 -0.5
\put{$R'$} [tr] <-1pt,-3pt> at 0.5 -0.5
\put{$R^{\vphantom{\prime}}$} [tl] <1pt,-3pt> at -0.5 -0.5
\put{$R''$} [Bl] <3pt,-2pt> at 0.0 0.5
\endpicture}
\quad=\quad
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,0.87cm> point at 0 0
\rl 1.0 0.5 , -1.0 0.5 \ar -0.99 0.5 , -1.0 0.5
\ar 0.75 1.0 , -0.25 -1.0
\ar -0.75 1.0 , 0.25 -1.0
\put{$1$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.25 -1.0
\put{$2$} [tc] <0pt,-3pt> at -0.25 -1.0
\put{$3$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 0.5
\put{$R$} [Br] <-1pt,3pt> at 0.5 0.5
\put{$R'$} [Bl] <1pt,3pt> at -0.5 0.5
\put{$R''$} [Bl] <3pt,-2pt> at 0.0 -0.5
\endpicture}
\tag{$\ref{YBE}'$}
}
��� ����������� ���������� {\it ���������� ����--��������}.

��������������� ��������-������ $T$ � $T'$ ��� ������� (\ref{YBE}) �����
�������� ���������� (����������� ������� �� ������������ ������
���������������):
$$
T'T=\
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <0.5cm,0.5cm> point at 0 0
\rl 0 4.5 , 0 3.5 \rl 0 0.5 , 0 -0.5 \ar 0 -0.48 , 0 -0.5
\rl 1 4.5 , 1 3.5 \rl 1 0.5 , 1 -0.5 \ar 1 -0.48 , 1 -0.5
\setdashes
\rl 0 3 , 0 1
\rl 1 3 , 1 1
\setsolid
\rl 1.5 0 , -0.5 0 \ar -0.48 0 , -0.5 0
\rl 1.5 4 , -0.5 4 \ar -0.48 4 , -0.5 4
\put{$L^{\vphantom{\prime}}$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.0 -0.5
\put{$L'$} [tc] <0pt,-3pt> at 1.0 -0.5
\endpicture}
\ =\
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <0.5cm,0.5cm> point at 0 0
\ln 0 4.5 , 1 5.5 \ln 1 5.5 , 0 6.5
\ln 1 4.5 , 0 5.5 \ln 0 5.5 , 1 6.5
\put{$R''$} [Bl] <6pt,-2pt> at 0.5 5
\put{\rlap{$R^{\prime\prime-1}$}} [Bl] <6pt,-2pt> at 0.5 6
\rl 0 4.5 , 0 3.5 \rl 0 0.5 , 0 -0.5 \ar 0 -0.48 , 0 -0.5
\rl 1 4.5 , 1 3.5 \rl 1 0.5 , 1 -0.5 \ar 1 -0.48 , 1 -0.5
\setdashes
\rl 0 3 , 0 1
\rl 1 3 , 1 1
\setsolid
\rl 1.5 0 , -0.5 0 \ar -0.48 0 , -0.5 0
\rl 1.5 4 , -0.5 4 \ar -0.48 4 , -0.5 4
\put{$L^{\vphantom{\prime}}$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.0 -0.5
\put{$L'$} [tc] <0pt,-3pt> at 1.0 -0.5
\endpicture}
\ =\
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <0.5cm,0.5cm> point at 0 0
\ln 0 -1.5 , 1 -0.5 \ln 1 4.5 , 0 5.5
\ln 1 -1.5 , 0 -0.5 \ln 0 4.5 , 1 5.5
\put{$R''$} [Bl] <6pt,-2pt> at 0.5 -1
\put{\rlap{$R^{\prime\prime-1}$}} [Bl] <6pt,-2pt> at 0.5 5
\rl 0 4.5 , 0 3.5 \rl 0 0.5 , 0 -0.5 \ar 0 -0.48 , 0 -0.5
\rl 1 4.5 , 1 3.5 \rl 1 0.5 , 1 -0.5 \ar 1 -0.48 , 1 -0.5
\setdashes
\rl 0 3 , 0 1
\rl 1 3 , 1 1
\setsolid
\rl 1.5 0 , -0.5 0 \ar -0.48 0 , -0.5 0
\rl 1.5 4 , -0.5 4 \ar -0.48 4 , -0.5 4
\put{$L'$} [Br] <-3pt,3pt> at 0.0 -0.0
\put{$L^{\vphantom{\prime}}$} [Bl] <3pt,3pt> at 1.0 -0.0
\endpicture}
\ =\
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <0.5cm,0.5cm> point at 0 0
\ln 0 4.5 , 1 5.5 \ln 1 5.5 , 0 6.5
\ln 1 4.5 , 0 5.5 \ln 0 5.5 , 1 6.5
\put{\rlap{$R^{\prime\prime-1}$}} [Bl] <6pt,-2pt> at 0.5 5
\put{$R''$} [Bl] <6pt,-2pt> at 0.5 6
\rl 0 4.5 , 0 3.5 \rl 0 0.5 , 0 -0.5 \ar 0 -0.48 , 0 -0.5
\rl 1 4.5 , 1 3.5 \rl 1 0.5 , 1 -0.5 \ar 1 -0.48 , 1 -0.5
\setdashes
\rl 0 3 , 0 1
\rl 1 3 , 1 1
\setsolid
\rl 1.5 0 , -0.5 0 \ar -0.48 0 , -0.5 0
\rl 1.5 4 , -0.5 4 \ar -0.48 4 , -0.5 4
\put{$L'$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.0 -0.5
\put{$L^{\vphantom{\prime}}$} [tc] <0pt,-3pt> at 1.0 -0.5
\endpicture}
\ =\
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <0.5cm,0.5cm> point at 0 0
\rl 0 4.5 , 0 3.5 \rl 0 0.5 , 0 -0.5 \ar 0 -0.48 , 0 -0.5
\rl 1 4.5 , 1 3.5 \rl 1 0.5 , 1 -0.5 \ar 1 -0.48 , 1 -0.5
\setdashes
\rl 0 3 , 0 1
\rl 1 3 , 1 1
\setsolid
\rl 1.5 0 , -0.5 0 \ar -0.48 0 , -0.5 0
\rl 1.5 4 , -0.5 4 \ar -0.48 4 , -0.5 4
\put{$L'$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.0 -0.5
\put{$L^{\vphantom{\prime}}$} [tc] <0pt,-3pt> at 1.0 -0.5
\endpicture}
\ =TT'.
$$
� ���� ������ �������������� ������������ ���. �� ��������� ����--�������� �������, ���
$$
R''_{12}L'_1L_2=L_2L'_1R''_{12},
$$
��� ��������� $L'_1$ � $L_2$ ��������� �� ����� � ��� �� ���������
������������, �� ����� ������ ��������������� ������������ $V_1$ �~$V_2$.
�����
$$
\Aligned{
T'T
&=\tr_{V_1\otimes V_2}(L'_1L_2)
=\tr_{V_1\otimes V_2}((R''_{12})^{-1}R''_{12}L'_1L_2)
=\tr_{V_1\otimes V_2}((R''_{12})^{-1}L_2L'_1R''_{12})
\\
&=\tr_{V_1\otimes V_2}(R''_{12}(R''_{12})^{-1}L_2L'_1)
=\tr_{V_1\otimes V_2}(L_2L'_1)=TT'.
}
$$

������ ���������� ������ ��������� ����--��������. �� ����� �������� ������� ���������������,
�������� ������ �����. �������, ��� ���������� $R$-������ �� �����,
������� $R$-������� ����� ��������������� ����� �����������. ���������
�� $\lambda$ � $u$. ������ ������ ������������������ ��������������
\eq{
\Aligned{
a(\lambda,u)
&=\sin(\lambda-u),
\\
b(\lambda,u)
&=\sin u,
\\
c(\lambda,u)
&=\sin\lambda,
}\label{trigpar}
}
���� $c<a+b$, $a<b+c$, $b<a+c$, �
\eq{
\Aligned{
a(\lambda,u)
&=\sh(\lambda-u),
\\
b(\lambda,u)
&=\sh u,
\\
c(\lambda,u)
&=\sh\lambda,
}\label{htrigpar}
}
���� $c>a+b$. ������ $a>b+c$ �  $b>a+c$ �� ��������� (��.\ ����).

� �������������� (\ref{trigpar}) ��� (\ref{htrigpar}) ������� ���������
����--�������� ����� ���
\eq{
\Aligned{
R
&=R(\lambda,u_2-u_3),
\\
R'
&=R(\lambda,u_1-u_3),
\\
R''
&=R(\lambda,u_1-u_2).
}\label{YBEsolution}
}
�������� $\lambda$ ������ ���� �������� ��� ���� ���� ������ � �
���������� �� ����� ��� ��������. �������� $u$ � ���� ���� ������
��������, ���� ��� �������� � ������� ������������. �����, ��� ��� �����
���� ������ $R$ � $R'$ � ���������� ��������� $\lambda$ ������� �������
$R''$ (� ��� ��, ������, ��������� $\lambda$). ��� ������, ��� �������
����� ��������� ������������� ��������-������ $T(u)$ � ������������� $u$
� �������������~$\lambda$:
\eq{
[T(u),T(u')]=0
\quad\forall u,u'.
\label{commfam}
}
���������� $u$ ���������� {\it ������������ ����������}.

�������, ��� �������� $u_i$ ������ ��������� $i$-� �����, � $R$-�������
���������� � ����
$$
R(u-v)^{\ve_3\ve_4}_{\ve_1\ve_2}
=
\vcenter{\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -0.5 0.0 , 0.5 0.0
\rl 0.0 -0.5 , 0.0 0.5
\ar -0.49 0.0 , -0.5 0.0
\ar 0.0 -0.49 , 0.0 -0.5
\put{$\ve_1$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.0 -0.5
\put{$\ve_2$} [Br] <-3pt,-2pt> at -0.5 0.0
\put{$\ve_3$} [Bc] <0pt,3pt> at 0.0 0.5
\put{$\ve_4$} [Bl] <3pt,-2pt> at 0.5 0.0
\put{$u$} [Bl] <3pt,-2pt> at 0.0 -0.25
\put{$v$} [Bc] <0pt,3pt> at -0.25 0.0
\endpicture}
$$
����������� ����--��������
\eq{
R_{12}(u_1-u_2)R_{13}(u_1-u_3)R_{23}(u_2-u_3)
=R_{23}(u_2-u_3)R_{13}(u_1-u_3)R_{12}(u_1-u_2)
\label{YBrel}
}
����� ����� ���������� ���
\eq{
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,0.87cm> point at 0 0
\rl 1.0 -0.5 , -1.0 -0.5 \ar -0.99 -0.5 , -1.0 -0.5
\ar 0.25 1.0 , -0.75 -1.0
\ar -0.25 1.0 , 0.75 -1.0
\put{$u_1$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.75 -1.0
\put{$u_2$} [tc] <0pt,-3pt> at -0.77 -1.0
\put{$u_3$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 -0.5
\put{} [Bc] at 0.0 1.0
\endpicture}
\quad=\quad
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,0.87cm> point at 0 0
\rl 1.0 0.5 , -1.0 0.5 \ar -0.99 0.5 , -1.0 0.5
\ar 0.75 1.0 , -0.25 -1.0
\ar -0.75 1.0 , 0.25 -1.0
\put{$u_1$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.25 -1.0
\put{$u_2$} [tc] <0pt,-3pt> at -0.25 -1.0
\put{$u_3$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 0.5
\put{} [Bc] at 0.0 1.0
\endpicture}
\tag{$\ref{YBrel}'$}
}
� ����� ���� ��������� ����--�������� �������� � ������ ���� ��� �������
������������ ��������������� ��������� �� �������������. ������� �����,
��� $R$-������� (\ref{trigpar}) � (\ref{htrigpar}) ������������� ������������
��������-��������� � ����������� ����
\eq{
R(\lambda-u)^{\ve_3\ve_4}_{\ve_1\ve_2}=R(u)^{\ve_2\>-\ve_3}_{\ve_4\>-\ve_1},
\qquad
R_{12}(u)R_{21}(-u)=a(u)a(-u).
\label{addrels}
}

������� �������������� ��������� ���������� ��������, �������, ��
��������, ��� �� ������������� ���������� �����. �� ����� ���� ����� ��
��� ��������, ��� ��� �� ���������� �������, �� ���������� ���
���������������. ���������� �� �������������� ��������� �����, ����
������������� ��������-������� ��� ������� $u$ � ���������� ������������
����������
$$
T^{-1}(0)T(u)=1-\sum_{n=1}^\infty{H_nu^n\over n!}.
$$
������������� $H_n$ ����������� ���� � ������
$$
[H_m,H_n]=0
\quad\forall m,n
$$
� �������� ��������� ��������� ���������� ��������. ����������� ��������, ��� $H_n$ ����� ����������� � ���� $\sum_{i=1}^NI_{n,i}$, ��� $I_{n,i}$ ������� ������ �� ��������� ����� ����� $i,i+1,\ldots,i+n$. �� ����� ���� ������ ������ $N-1$ ���������� $H_n$ � �������� $T(0)$ ����������. �������� $H_1$ ����� ����� �����. �������������, ���������� ������������
$$
\Aligned{
\check R(u)
&=R(u)P
=\pMatrix{a(u)&&&\\&c(u)&b(u)&\\&b(u)&c(u)&\\&&&a(u)}
=1\sin\lambda+\pMatrix{-u\cos\lambda&&&\\&&u&\\&u&&\\&&&-u\cos\lambda}
+O(u^2)
\\
&=\sin\lambda-\left(h+{\cos\lambda\over2}\right)u+O(u^2),
}
$$
���
$$
h=-\half(\sigma^x\otimes\sigma^x+\sigma^y\otimes\sigma^y
-\cos\lambda\>\sigma^z\otimes\sigma^z).
$$
� ������ ������� �� $u$ ������ ��� ��������� ����� ����� � $H_1$. �� ��
����� ������ ������� (��������, � ��������� ������������), � ��������
$$
H_1=H_{\rm XXZ}+{N\over2}\cos\lambda,
$$
��� $H_{\rm XXZ}$ --- ������������ XXZ-������ �����������:
\eq{
H_{\rm XXZ}=-\half\sum_{n=1}^N
(\sigma^x_n\sigma^x_{n+1}+\sigma^y_n\sigma^y_{n+1}
+\Delta\sigma^z_n\sigma^z_{n+1}),
\label{XXZdef}
}
���
\eq{
\Delta=-\cos\lambda={a^2+b^2-c^2\over2ab}
\label{Deltadef}
}
(��������� ��������� ����� ��� ����� $u$). � ������ $c>a+b$ �����
\eq{
\Delta=-\ch\lambda.
\tag{$\ref{Deltadef}'$}
}

����� �������, ����� ����� ����������� ��������� �������������� ������,
���������� ����� ����������� ��������� XXZ-������ �����������. �� �����
���� ��� ������ ������ ���������. �� XXZ-������ �������� ������ ����� ��
��, ��� ������� ������ ��� ������. ������ �����, ������ �������� �������
�����
$$
S^z=\half\sum_{n=1}^N\sigma^z_n.
$$
�� ������� ���� �������, ��� ���� ��������� ����������� � ���:%
%
\footnote{��� ���� ��� {\it ��\/} ����������� � $S^x$, $S^y$!}
%
\eq{
[T(u),S^z]=[H_{\rm XXZ},S^z]=0.
\label{Szcommut}
}
������ �������, ��� ����������� ��������� ����� ������������ ��������
������� ����� $S^z$. ���������� �� ����� ��������� ����� ���������: ���
{\it �������������\/}
\eq{
|\Omega_\pm\rangle
=\underbrace{v_\pm\otimes v_\pm\otimes\ldots\otimes v_\pm}_N,
\label{Omegadef}
}
� ������� ��� ����� ��������� ����� ��� ��� ����. ��������,
$$
S^z|\Omega_\pm\rangle=\pm{N\over2}|\Omega_\pm\rangle,
\qquad
T(u)|\Omega_\pm\rangle=(a^N(u)+b^N(u))|\Omega_\pm\rangle,
\qquad
H_{XXZ}|\Omega_\pm\rangle=-{N\Delta\over2}|\Omega_\pm\rangle.
$$
�������� � ���, ��� ��� ��������� �������� ��������� ������ � ������
$\Delta>1$. � ���� ������ $a>b+c$ (��� $b>a+c$) � ���������
�������������� �������������� ������ �������� ������������, � �������
��� ����� ����� ���� ���� (��� ��� �� ������������ ������ ���� ����,
� �� �������������� --- ������). ����� ��������, ���
��� ����, ����� ����������� ���� ����, ���������� � ���� ������
����������� ����� $\sim N$ ������, ��� ��� � ����������������� �������
����������� ���������� ����� � �������� ����� ����. �������, ��� �
������� ������� {\it �����������\/} �������� ������������. ��� �����
������������ ������ $\Delta<1$.

��������� �������������� ����� $S^z=N/2-k$ ����� ����������� � ����
�������� ���������� ���������
\eq{
|n_1,\ldots,n_k\rangle
=\sigma^-_{n_1}\ldots\sigma^-_{n_k}|\Omega_+\rangle,
\qquad
\sigma^{\pm}=\half(\sigma^x\pm i\sigma^y),
\label{basicvectors}
}
������ ��� $n_j$ ������ ���� ��������. ��������� ������������
$H_{\rm XXZ}$ �������������� ������ �������� �����, ����������� ���������
������������� ����� ��������� ��� ������� �����, �����
$|n_i-n_j|>1$ ($\forall i,j$).

������ �� ������ $k=1$. � ���� ������ ���������� ���������
\eq{
|\Psi_1(z)\rangle
=\sum_n z^n|n\rangle.
\label{Psi1}
}
�������� ���������, ���
\eq{
H_{XXZ}|\Psi_1(z)\rangle
=\left(-{N\Delta\over2}+\epsilon(z)\right)|\Psi_1(z)\rangle,
\qquad
\epsilon(z)=2\Delta-z-z^{-1}.
\label{HPsi1}
}
�������� $|z|=1$, ��� ��� $-2<z+z^{-1}<2$. ����� �������, ��� $\Delta>1$ ��� ������������� ����������� ����� ������������� ������� $\epsilon(z)$, ��� ��� $|\Omega_\pm\rangle$ �������� �������� ��������� ����������� �������� �������. � ������ $-1<\Delta<1$ ����� ������������ ��������� ����� ������������� �������, � ����� --- �������������. ��� $\Delta<-1$ ��� ����������� ����� ������������� �������. � ���� ��������� ������� �������� ���������� �������� ��������� � $S^z=0$ ��� $S^z=\pm1/2$.

���������� ������ ������������� ���������, $k=2$. ����� ������ ��� � ����
\eq{
|\Psi_2(z_1,z_2)\rangle
=\sum_{n_1<n_2}(A_{12}z_1^{n_1}z_2^{n_2}+A_{21}z_2^{n_1}z_1^{n_2})
|n_1,n_2\rangle.
\label{Psi2}
}
�������� ������������� �� ����� ����� � $n_2>n_1+1$ �� ���������� �� �������� �� ������������� ��������� (\ref{Psi1}), � �������� �� ����� � $n_2=n_1+1$ ����� ������������� ��� ������� ������. ��� ����� ���
\eq{
{A_{12}\over A_{21}}=S(z_1,z_2)
\equiv-{1+z_1z_2-2\Delta z_1\over 1+z_1z_2-2\Delta z_2}.
\label{S12def}
}
��������
$$
H_{XXZ}|\Psi_2(z_1,z_2)\rangle
=\left(-{N\Delta\over2}+\epsilon(z_1)+\epsilon(z_2)\right)
|\Psi_2(z_1,z_2)\rangle,
$$
�� ���� ������� ����������� ������������. ����� ����, �����, ��� ������ ��� �������� ������� (\ref{Psi2}) �� �������� ���������� ����. �� �����������, ��� ��� �������� ����������� � � ����� ������:
\medskip

{\it{\bfseries �������������.} ������� ����� � ������
(\ref{basicvectors}) ������������ ��� ��������� $H_{\rm XXZ}$ ���������������.}
\medskip

��� ������, ��� �������� ������� ������� ������ � ����
$$
|\Psi_k(z_1,\ldots,z_k)\rangle=\sum_{n_1<\ldots<n_k}\sum_{\sigma\in S_k}
A_{\sigma_1\ldots\sigma_k}\prod_{j=1}^k z_{\sigma_j}^{n_j}
|n_1,\ldots,n_k\rangle.
$$
����� ��� �������� ������� ���������� {\it (������������) ��������
����}. ����� ��������, ��� �������� ������������� $H_{\rm XXZ}$ �� ��������� ����� ������� ������, ��� ��� ��������� �������� ������ ��� �� �������� (\ref{S12def}):
\eq{
A_{\ldots ij\ldots}/A_{\ldots ji\ldots}=S(z_i,z_j).
\label{AjiAijratio}
}
��� ���� �������
\eq{
H_{XXZ}|\Psi_k(z_1,\ldots,z_k)\rangle
=\left(-{N\Delta\over2}+\sum_{i=1}^k\epsilon(z_i)\right)
|\Psi_k(z_1,\ldots,z_k)\rangle,
\label{HPsik}
}
�� ���� ������� ����������� �����-���� ���������. ����� ������� �������� ������� �������������
\eq{
z_i^N=\prod_{j,\ j\ne i}S(z_i,z_j),
\label{periodicity}
}
������� ���� ������� ��������� �� <<��������>> $z_i$, ���������� ��������
{\it ��������� ����}. ����� ��� ������� � ���������� ������� � (\ref{HPsik}), ����� ����� ��� ����������� �������� �������������. � ��������� ������ �� ������� ��� ������� ��������� ���� �����.

\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf ������}
\medskip
{\bf1.}~��������� <<�������������>> $R$-������� $\tilde R(u)=\kappa^{-1}(u)R(u)$ ���������:
$$
\tilde R(\lambda-u)^{\ve_3\ve_4}_{\ve_1\ve_2}
=\tilde R(u)^{\ve_2\>-\ve_3}_{\ve_4\>-\ve_1},
\qquad
\tilde R_{12}(u)\tilde R_{21}(-u)=1.
$$
��������, ��� ������������� ������� $\kappa(u)$ ������������� ��������
$$
\kappa(\lambda-u)=\kappa(u),
\qquad
\kappa(u)\kappa(-u)=a(u)a(-u).
$$
����� ������� ���� ��������� ��� $\Delta<-1$, ���������� �������� ���������� $z=e^u$ � �� ������� ������� � ����� � ������� $-\lambda<\Re u<\lambda$. ������� ������ �������� ����� ������� ����
$$
(z;p)_\infty=\prod_{n=0}^\infty(1-zp^n).
$$

{\bf2.}~�������� �����������~(\ref{S12def}).


\end{document}
