\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,pictex,russian,fullpage}
%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

\allowdisplaybreaks

\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1{\begin{equation}#1\end{equation}}
\def\Align#1{\begin{align}#1\end{align}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}#1\end{aligned}}
\def\Gather#1{\begin{gather}#1\end{gather}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}#1\end{gathered}}
\def\Multline#1{\begin{multline}#1\end{multline}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}}
\def\bJ{{\text{\bfseries\itshape J}}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\cH{{\cal H}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\ta{{\tilde a}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\eff{{\rm eff}}
\def\const{{\rm \,const\,}}

\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.3truecm> [0.1,0.3] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother


\begin{document}

\centerline{\bf ������~7}
\centerline{\bf �������� ������� ����������� � �� ������������ ������}
\bigskip
���������� ������� �� $N$ ������ $S=1/2$, �� ���� ������������
\eq{
\cH_N=\underbrace{\C^2\otimes\cdots\otimes\C^2}_N,
\label{HNspace}
}
�� ������� ��������� ������������
\eq{
H_{XYZ}=-{1\over2}\sum^N_{n=1}
\left(J_x\sigma^x_n\sigma^x_{n+1}
+J_y\sigma^y_n\sigma^y_{n+1}
+J_z\sigma^z_n\sigma^z_{n+1}\right).
\label{HXYZgen}
}
����� $\sigma^i_n$ ��������� �� $n$-� ���������� � $\cH_N$, ������
$(N+1)$-� ���������� ��������������� � ������. ����� ������ ����������
{\it XYZ-������� �����������\/} � ������������ ���������� ���������. �
������ $J_x=J_y$ ������ �������� {\it XXZ-�������\/}, � � ������
$J_x=J_y=\pm J_z$ --- {\it XXX-�������}. �� ����� ������� $N$ ������
������.

��������� ������ �� ������� �� ������ ��������� � �������������, ������
������ �����������
\eq{
\Gamma=J_y/J_x,
\qquad
\Delta=J_z/J_x
}
��� ���� �����������, ���
$$
J_x>0,
\qquad
|\Gamma|\le1,
\qquad
|\Delta|\le|\Gamma|
\quad\text{���}\quad
|\Delta|\ge1.
$$
��� ����������� �������� �� ������� $J_x=1$.
������������ ������������ � ����
\eq{
H_{XYZ}=-{1\over2}\sum^N_{n=1}
\left(
(1+\Gamma)(\sigma^+_n\sigma^-_{n+1}+\sigma^-_n\sigma^+_{n+1})
+(1-\Gamma)(\sigma^+_n\sigma^+_{n+1}+\sigma^-_n\sigma^-_{n+1})
+\Delta\sigma^z_n\sigma^z_{n+1}
\right).
\label{HXYZ}
}
�����
\eq{
\sigma^+={\sigma^x+i\sigma^y\over2}=\pMatrix{0&1\\0&0},
\qquad
\sigma^-={\sigma^x-i\sigma^y\over2}=\pMatrix{0&0\\1&0}
\label{sigmapm}
}
--- ��������� ��������� � ��������� �����.

�������� � ����� ������������� �������������� �������--�������:
\eq{
\sigma^z_n=2a^+_na_n-1,
\qquad
\sigma^+_n=a^+_n\exp\biggl(i\pi\sum^{n-1}_{j=1}a^+_ja_j\biggr),
\qquad
\sigma^-_n=a_n\exp\biggl(-i\pi\sum^{n-1}_{j=1}a^+_ja_j\biggr),
\label{JW}
}
��� $a_n$, $a^+_n$ --- ���������� ���������:
$$
a^+_ma_n+a_na^+_m=\delta_{mn},
\qquad
a_ma_n+a_na_m=a^+_ma^+_n+a^+_na^+_m=0.
$$
�������� �������������� ����� ���
\eq{
a_n=\sigma^-_n\prod^{n-1}_{j=1}(-\sigma^z_j),
\qquad
a^+_n=\sigma^+_n\prod^{n-1}_{j=1}(-\sigma^z_j).
\label{JWinv}
}
��������
\Align{
H_{XYZ}
&=-\sum^N_{n=1}
\biggl({1+\Gamma\over2}(a^+_{n+1}a_n+a^+_na_{n+1})
+{1-\Gamma\over2}(a^+_na^+_{n+1}-a_na_{n+1})
\nonumber
\\
&\quad
+2\Delta(a^+_na_na^+_{n+1}a_{n+1}-a^+_na_n)\biggr).
\label{HXYZfermion}
}

���������� ������� ������ {\it XY-������}, �.~�.\ ������ � $\Delta=0$. �
���� ������ ������������ ����������� �� ��������� � �����
���������������. �������
\eq{
a_n={1\over N^{1/2}}\sum_ka_ke^{ikn}.
\label{fourier}
}
�����
\eq{
H_{XY}=-\sum_k\left(
(1+\Gamma)\cos k\cdot a^+_ka_k
+i{1-\Gamma\over2}\sin k\cdot(a^+_ka^+_{-k}+a_ka_{-k})
\right).
\label{HXYak}
}
������������� ������ ���� ��������������� � ������� ��������������
����������. ��� ������ ���������� ������� ������ $\Gamma=1$. ��������, ���� ��������� $-\pi\le k<\pi$ ����������� �� ��� �������: 1)~$-{\pi\over2}\le k<{\pi\over2}$ � 2)~$-\pi\le k<-{\pi\over2}$ ��� ${\pi\over2}\le k<\pi$. ��������, ������� � ������ ������� ������������ � ��� ����� ���� ����� ��������� ���������: $k_F=\pi/2$. ��-�������, ����� ������� ���: �������� ��������� ������� $|0\rangle$ ������������� ����������� $a_k|0\rangle=0$ �� ������ ������� � $a^+_k|0\rangle=0$ � ������ �������. ��� ������� ��������� �������������� ����������:
\eq{
b_k=a_{k-\pi},
\qquad
b^+_k=a^+_{k-\pi},
\qquad
b'_k=ia^+_k,
\qquad
b^{\prime+}_k=-ia_k,
\qquad
-{\pi\over2}\le k<{\pi\over2},
\label{Boglolyubov-Gamma=1}
}
������, ��� $k$ ���������� �� ������~$2\pi$. ��������� $\pm i$ ������� �����������, ����� ��������� ���������� �������. ����� ������������ ������ ���
$$
H_{XY}=\sum_{-\pi/2\le k<\pi/2}\cos k\>(b^+_kb_k+b^{\prime+}_kb'_k).
$$
��������� $b^+_k$, $b_k$ �������� ����������� ��������-����������� ������, � $b^{\prime+}_k$, $b'_k$ --- ����������.

�������� �������������� ���������� � ����� ������ ���, ����� ��� ���������� � �������������� (\ref{Boglolyubov-Gamma=1}) � ������� $\Gamma\to1$. �������
\eq{
a_k=\alpha'_kb'_k+\beta'_kb^{\prime+}_{-k},
\qquad
a^+_k=\beta^{\prime*}_kb'_{-k}+\alpha^{\prime*}_kb^{\prime+}_k,
\qquad
|\alpha'_k|^2+|\beta'_k|^2=1,
\qquad
\alpha'_k\beta'_{-k}+\alpha'_{-k}\beta'_k=0.
\label{Bogolyubov}
}
���������� (\ref{Bogolyubov}) �~(\ref{HXYak}), � ������, ����� �����,
���������������� $b^{\prime+}b^{\prime+}$ � $b'b'$ ���������� � ����, ��������
\eq{
\alpha'_k=-\sin{\kappa\over2},
\qquad
\beta'_k=i\cos{\kappa\over2},
\qquad
\tg\kappa={1-\Gamma\over1+\Gamma}\tg k.
\label{bglsolution}
}
��� ������� ������ ���������� � ������ ��������, $-\pi/2<k<\pi/2$, ���� ���������. ���������� �������� ��������� � ��� �� �������, � ������� $\kappa\to\kappa-\pi$ �������
\eq{
\alpha_k=\cos{\kappa\over2},
\qquad
\beta_k=i\sin{\kappa\over2}.
\label{bglsolutionprime}
}
������������ �����
\eq{
H_{XY}=\sum_{-\pi/2<k<\pi/2}\epsilon_k(b^+_kb_k+b^{\prime+}_kb'_k),
\qquad
\epsilon_k=\sqrt{(1+\Gamma)^2\cos^2k+(1-\Gamma)^2\sin^2k}.
\label{HXYbk}
}
� ������� ������� �������� ���� �������� $(1-|\Gamma|)$. � ������� $\Gamma\to\pm1$ �������� ���� �������� � ������� �������� � ����������� �����, � ������ ����������� ����� ����� ����������� ������������ ������ $a\to0$ ($a$ --- �������� �������) ��� ��������������� ������������������� ��������� ����������.

��� ����������� �������� ����� ������������ �������� $\Gamma\to1$. ������� $pa=\pi/2-|k|$. ����� ��� $|p|a\ll1$ �����
\eq{
\epsilon(p)=2a\sqrt{m^2+p^2},
\qquad m={1-\Gamma\over2a}.
\label{FFscaling}
}
����� ������������ $H_{FF}={1\over2a}H_{XY}$ ������������ ����� ������������ ��������� ����������� ���������.

���������� �������������� ���������� ������ ����� $\kappa=\pm\pi/2$. �����, �������� $k=\pi/2-pa$. �� (\ref{bglsolution}) �� �����, ��� ��� $\Gamma\to1$ �������� $\kappa$ ������������ ��������
$$
\ctg\kappa={|p|\over m}
$$
� �������������� ���������� ���������� ����� ����� ������� $p\sim m$. ���, �������, ���������� ������� $pa\ll 1$, �� ��� ���� �������� �������� $p$ ����� ���� � ����� ������ �����~$m$. � ���� ������� $\kappa=0$ � �������������� ��������� ������� ���
\eq{
\Aligned{
a_{\pi/2-pa}
&=ib^{\prime+}_{-\pi/2+pa},
&\qquad
a_{\pi/2+pa}
&=b_{-\pi/2+pa},
\\
a_{-\pi/2+pa}
&=ib^{\prime+}_{\pi/2-pa},
&\qquad
a_{-\pi/2-pa}
&=b_{\pi/2-pa},
\qquad
m\ll p\ll a^{-1}.\span\omit
}\label{bglsollim}
}

������ ��������� ����� �������������� $\Delta\ne0$ � ������������ �������. ������ ���������� �� ������ $m=0$ ($\Gamma=1$). ������ �����, � ������� $b_{\pm\pi/2+pa}$, $b'_{\pm\pi/2+pa}$ ���� ������ ����������� �������������� ���������� ���������. � ������������ ������~6 ���������� �������� ������ ����� ���
\Align{
{\psi_R(x)\over\sqrt{Na}}
&=\int^\infty_0{m_0^{1/2}dp\over2\pi\sqrt{2p}}\,
(b_{-\pi/2+pa}\chi_\lambda(x)+b^{\prime+}_{-\pi/2+pa}\chi_{\lambda+i\pi}(x))
\biggr|_{m_0\to0\hfill\atop m_0e^\lambda=2p}
\notag\\
&=\pMatrix{0\\-i}\int^\infty_0{dp\over2\pi}\,(b_{-\pi/2+pa}e^{ipx}+ib^{\prime+}_{-\pi/2+pa}e^{-ipx})
=\pMatrix{0\\-i}\int^\infty_0{dp\over2\pi}\,(a_{\pi/2+pa}e^{ipx}+a_{\pi/2-pa}e^{-ipx}),
\notag\\
{\psi_L(x)\over\sqrt{Na}}
&=\int^0_{-\infty}{m_0^{1/2}dp\over2\pi\sqrt{2|p|}}\,
(b_{\pi/2+pa}\chi_\lambda(x)+b^{\prime+}_{\pi/2+pa}\chi_{\lambda+i\pi}(x))
\biggr|_{m_0\to0\hfill\atop m_0e^{-\lambda}=2|p|}
\notag\\
&=\pMatrix{1\\0}\int^0_{-\infty}{dp\over2\pi}\,(b_{\pi/2+pa}e^{ipx}+ib^{\prime+}_{\pi/2+pa}e^{-ipx})
=\pMatrix{1\\0}\int^0_{-\infty}{dp\over2\pi}\,(a_{-\pi/2+pa}e^{ipx}+a_{-\pi/2-pa}e^{-ipx}),
\notag
}
������ ����������� ������� ����� ���
$$
\psi(x)=\psi_R(x)+\psi_L(x)=\pMatrix{\psi_-(x)\\-i\psi_+(x)},
$$
���
\eq{
\psi_\pm(x)=\int^\infty_{-\infty}{dp\over2\pi}\,a_\pm(p)e^{ipx}
\qquad
a_\pm(p)=(Na)^{1/2}a_{\pm\pi/2+pa},
\label{psi_pm-def}
}
������������ ��� ������� ���������������� �������� ����� �����������~$a_\pm(p)$. �������, ��� �������� �������� $a_n$ ���������� ����� ��� ���
$$
a_n=a^{1/2}(i^n\psi_+(an)+i^{-n}\psi_-(an)).
$$

������ ��������� ������������ � ����
\eq{
H_\Delta\equiv{1\over2a}(H_{XXZ}+\Delta N/2-2\Delta M)
=H_{FF}-{\Delta\over Na}\sum_q\rho_q\rho_{-q}\cos q,
\label{HXXZbk}
}
���
\eq{
M=\rho_0=\sum_n a^+_na_n=\sum_ka^+_ka_k
\label{M-def}
}
--- ���������� �����, �
\eq{
\rho_q=\sum_ka^+_{k+q}a_{k'}
=\sum_na^+_na_n e^{ikn}
\label{rho_q-def}
}
--- �����-����� ���������������� ����. ���������� �����, ������ ������, ����������� ������ ����� � ����� $\Gamma=1$. �� ��� ����� ����������� � ������������ �������, ��� ��� ��������� ��� �� ������������� � ���� ������� ������ �� ������. �������� ����� �� �������������� ����� ������� ������� ���������� ������� ������ ����� $k=\pm\pi/2$. ������� ����� ����� �������� $\rho_q$ � ���������� $q$ � ����������� ����� $0$ �~$\pi$. ������� $\rho_q$ � ����
\eq{
\rho_{pa}=\rho_{++}(p)+\rho_{--}(p),
\qquad
\rho_{\pi+pa}=\rho_{+-}(p)+\rho_{-+}(p),
\qquad
\rho_{\alpha\beta}(p)=\int{dp'\over2\pi}\,a^+_\alpha(p'+p)a_\beta(p').
\label{rho_pm-def}
}
���������� � (\ref{HXXZbk}), �������
\Multline{
H_\Delta=H_{FF}-\Delta\int{dp\over2\pi}(\rho_{++}(p)+\rho_{--}(p))(\rho_{++}(-p)+\rho_{--}(-p))
\\
+\Delta\int{dp\over2\pi}(\rho_{+-}(p)+\rho_{-+}(p))(\rho_{+-}(-p)+\rho_{-+}(-p)).
\notag
}
�������� � ������������� �������������, ��������
\Align{
H_\Delta
&=H_{FF}-\Delta\int dx\,((\psi^+_+\psi_+)^2+(\psi^+_-\psi_-)^2+2\psi^+_+\psi_+\psi^+_-\psi_-
-\psi^+_-\psi_+\psi^+_+\psi_--\psi^+_+\psi_-\psi^+_-\psi_+)
\notag\\
&=H_{FF}-4\Delta\int dx\,\psi^+_+\psi_+\psi^+_-\psi_-.
\label{H_Delta-fin}
}
����� �� ������������ �������������� ����������� $\psi^+_\alpha(x)\psi_\beta(x)+\psi_\beta(x)\psi^+_\alpha(x)=a^{-1}\delta_{\alpha\beta}$. � ���������, $(\psi^+_\alpha\psi_{-\alpha})^2=(\psi^+_\alpha)^2\psi_{-\alpha}^2=0$.

��������� (\ref{H_Delta-fin}) � ��������� ��� ������ ��������, ���������, ���
\eq{
g=-2\Delta
\qquad
(\Delta\ll1).
\label{gDeltapert}
}
�������, ��� ��� ������� ����� ������ ��� ����� $\Delta$. ����������
���������, ��� �������� ���� $\bpsi\psi$ � ������ �������� �� �����
����������� �����, ��� ��� ������������ ����� (\ref{FFscaling})
�������� �� ����������� ��� $\Delta\ne0$.

��� ������ ���� ������ � ������� ������� ���. ���� � ���, ��� ������������ $\psi^+_\alpha\psi_\alpha$ �������� ���������� �����. �������������, ���� �� ���������� �������� � ������� ����������� �� ������~2 ��� $g\to0$, �� �������
$$
\Aligned{
\psi^+_+(z')\psi_+(z)
&={i\over2\pi}\left({1\over z'-z}-i\d\varphi(z)+O(z'-z)\right),
\\
\psi^+_-(z')\psi_-(z)
&=-{i\over2\pi}\left({1\over\bar z'-\bar z}-i\bar\d\varphi(\bar z)
+O(\bar z'-\bar z)\right).
}
$$
��� �������� � ����, ��� ����� $(\psi^+_\alpha\psi_\alpha)^2$ ���� ������ � ������������, ���������������� $(\d_x\phi)^2$, ��� �������� � �������������� ���������������� ���������� ��������~[1].

����� �� ���������� ������ ����� ����� ���������� $g$ ������ �������� �
���������� $\Delta$ XYZ-������? ��� ��������, ��������� XYZ-������
��������� ������ �������~[2]. � ���������, ��� ������� ����� ������, �
� �� ���� ��� ����� ��������. �� ������� ����� ������� ��������������
����� $r_c$, ������� ��� $\Gamma\to1$ ���������������
\eq{
r_c\sim\left(1-\Delta^2\over1-\Gamma\right)^{1/(2-2\mu/\pi)},
\qquad
\Delta=-\cos\mu.
\label{rc}
}
���������, ��� $1-\Gamma$ ��������������� ����������� ����� $m_0$ �
������ ��������, � $m_0\sim m^{2-\beta^2}$, ��� $m$ --- �����
���������� �����������, ��������
\eq{
\beta^2={2\mu\over\pi},
\qquad
{g\over\pi}={\pi/2-\mu\over\mu}.
\label{gDelta}
}
��� $\Delta\to0$ ($\mu\to\pi/2$) ��������������� (\ref{gDeltapert}).

������ ��������� ����������� ���������� �� ������� ���� � ������ ����.
��� ����� ������� ������������ ������� �����-�������.
��������, ��� � ��������� ������ (��������������� XXZ-������) �������
���������
$$
\varphi\to\varphi+\alpha,
$$
��� $\alpha$ --- ������������ ���������. � ������ �����-������� ���
��������� ���������� � $\alpha$ ������ ���� ����� ������� $2\pi/\beta$:
\eq{
\alpha={2\pi n\over\beta}.
\label{alphadisc}
}
� XXZ-������ ���� ������� ����������� ���������
$$
\sigma^\pm\to e^{\pm i\lambda}\sigma^\pm,
\qquad
\sigma^z\to\sigma^z.
$$
��� ��������� �������� ���������� $z$-�������� ������� �����
\eq{
S^z={1\over2}\sum^N_{n=1}\sigma^z_n=M-{N\over2}.
\label{Sz}
}
��� $\Gamma<1$ ����, ����������������
$$
\sum_n(\sigma^+_n\sigma^+_{n+1}+\sigma^-_n\sigma^-_{n+1})
$$
� ���������� ��������� ����� � ������ ��������, �� ���� �������� �
������ �����-�������, �������� ��� ��������� ��
\eq{
\lambda=\pi n.
\label{lambdadisc}
}
��������� (\ref{alphadisc}) �~(\ref{lambdadisc}), ���������, ���
\eq{
\alpha={2\lambda\over\beta}
}
������ �������, ���
$$
\sigma^\pm_n\sigma^\pm_{n+1}\sim a^{\beta^2}e^{\pm i\beta\phi}.
$$
��������� �������� $\sigma^\pm_n$ ����������� � ����������
$\sigma^\pm_m\sigma^\pm_{m+1}$ ($n\ne m,m+1$), �� ��������������� ����
������ ���� ��� �������-��������. ����������� ������������, ���
$$
\sigma^\pm_n\sim a^{\beta^2/4}e^{\pm i{\beta\over2}\phi}.
$$

����� ���������� ���������������� ��������� � ������ ����� ���
\eq{
V_{m,n}(x)=\exp\left(im{\beta\over2}\phi+in{1\over2\beta}\tilde\phi\right),
\qquad
m,n\in\Z.
\label{genVmn}
}
� ���������, �������� $\sigma^z_n$ �������������� �������� ����������
$a\d_t\phi$ � $(-1)^na^{1/\beta^2}(V_{0,2}-V_{0,-2})$. ����� �������� ����� ����� ����������� � �������� ����������� ������� � ������~[3].

������� XXZ-������ ��.\ � ������~8.



\bigbreak
\leftline{\bf ����������}

[1]~A.~Luther and I.~Peschel, Phys.\ Rev.~B12 (1975) 3908; A.~Luther, Phys.\ Rev.~B14 (1976) 2153.

[2]~�.~�������, {\it ����� �������� ������ � �������������� ��������},
�.~<<���>>, 1985.

[3]~S.~Lukyanov and V.~Terras, Nucl.\ Phys.~B654 (2003) 323 [arXiv:hep-th/0206093].



\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf ������}
\medskip
{\bf 1.}~��������~(\ref{HXYZfermion}).

{\bf 2.}~$XY$-������� � ��������� ����. ������� ������ �������������
$$
H=-{1\over2}\sum^N_{n=1}(\sigma^x_n\sigma^x_{n+1}+\Gamma\sigma^y_n\sigma^y_{n+1}
+2h\sigma^z_n).
$$
����� ����������� �������� �������� ���� $h$ � ����������� �� $\Gamma$, ��� ������� �������� ���� � �������.

{\bf 3.}~��������, ��� ��� ����~(\ref{genVmn}) �������-��������, ����
������� ������������, �� ���� ����� ������������
$V_{m_1n_1}(x_1)V_{m_2n_2}(x_2)$ �� �������� ��� ������ $x_2$ ������
$x_1$ � ����������� ���������, ���� �������� �� $-1$.


\end{document}
