\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,pictex,russian,fullpage}

\allowdisplaybreaks

\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1{\begin{equation}#1\end{equation}}
\def\Align#1{\begin{align}#1\end{align}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}#1\end{aligned}}
\def\Gather#1{\begin{gather}#1\end{gather}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}#1\end{gathered}}
\def\Multline#1{\begin{multline}#1\end{multline}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}}
\def\bJ{{\text{\bfseries\itshape J}}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\cH{{\cal H}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\eff{{\rm eff}}
\def\const{\mathop{\rm const}\nolimits}

\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.3truecm> [0.1,0.3] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\begin{document}

\centerline{\bf ������~6}
\centerline{\bf ������ ��������: ������� ������� ������� ����}
\bigskip
���������� ��������� ������ ��������
\eq{
S^{TM}[\psi,\bpsi]
=\int d^2x\,
\left(\bpsi(i\hat\d-m_0)\psi-{g\over2}(\bpsi\gamma^\mu\psi)^2\right),
\label{TM}
}
������
\eq{
\psi=\pMatrix{\psi_+\\\psi_-},
\qquad
\gamma^0=\pMatrix{&-i\\i&}=\sigma^2,
\qquad
\gamma^1=\pMatrix{&i\\i&}=i\sigma^1,
\qquad
\gamma^3=\gamma^0\gamma^1=\pMatrix{1&\\&-1}=\sigma^3.
\label{gamma-matrices}
}
������������ ������ �������� ����� ���
\eq{
H=\int dx\,(-i\psi^+\sigma^3\d_x\psi+m_0\psi^+\sigma^2\psi
+2g\psi^+_+\psi_+\psi^+_-\psi_-)
\label{TMHam}
}
� ��������������� �������������
\eq{
\psi^+_{\alpha'}(x')\psi_\alpha(x)+\psi_\alpha(x)\psi^+_{\alpha'}(x')
=\delta_{\alpha'\alpha}\delta(x'-x),
\label{TMpsicommut}
}
������ ������� $P$ � �������� ����� ������ $Q$ ����� ���
\eq{
P=-i\int dx\,\psi^+\d_x\psi,
\qquad
Q=\int dx\,\psi^+\psi.
\label{TMPQ}
}
������� �������� �������� ������. ������ $\epsilon^2-p^2=m^2$ ����� ���
�����: $\epsilon=\pm\sqrt{p^2+m^2}$. �������� �������� ����� � �����
��������� ����� ���������� ���� �����������. ������� ����������� ������
��������� ``�����'' ���������� ����������� � �������������� ���������.
���� �� ������ ��� ��� ``����'', �� ��������� ``����� ������'' ��� {\it
������������}. ��������, ����� ������ ����� ���������� ������� �������
� �� ����� ������������ �� ���� ��������� ���������. ��� �� �����,
�������� ������ ����� ����� ��� ``�����������'' ��� ��������������.

���������� ������� ������ ��������� ��������� $g=0$. ��������� �����
$|\Omega\rangle$ ���������, ��������������� ��������
\eq{
\psi_\alpha(x)|\Omega\rangle=0,
\qquad
\langle\Omega|\psi^+_\alpha(x)=0.
\label{Omegadef}
}
������ �������� ������� ``$N$-����������'' ���������:
\eq{
|\chi_N\rangle
=\int d^Nx\,\chi^{\alpha_1\ldots\alpha_N}(x_1,\ldots,x_N)
\psi^+_{\alpha_1}(x_1)\ldots\psi^+_{\alpha_N}(x_N)|\Omega\rangle.
\label{Npart}
}
��� ������� �������� ������������ ��������� ��������� $Q$:
$$
Q|\chi_N\rangle=N|\chi_N\rangle.
$$
����� �������, ������ ������������ ��������� $\cH$ ����������� � �����
�� ����������� ���������~$Q$:
\eq{
\cH\simeq\bigoplus^\infty_{N=0}\cH_N,
\qquad v\in\cH_N\Leftrightarrow Qv=Nv.
}

�������� $\hat H_N$ ������������� �� �������� ������� $\chi^{\alpha_1\ldots\alpha_N}(x_1,\ldots,x_N)$, ������������ ����������
$$
H|\chi_N\rangle
=\int d^Nx\,(\hat H_N\chi)^{\alpha_1\ldots\alpha_N}(x_1,\ldots,x_N)
\psi^+_{\alpha_1}(x_1)\ldots\psi^+_{\alpha_N}(x_N)|\Omega\rangle,
$$
����� ���
$$
\hat H_N=\sum^N_{k=1}(-i\sigma^3_k\d_{x_k}+m_0\sigma^2_k),
$$
��� $\sigma^i_k$ ��������� �� ������������ $k$-� �������. ��� $N=1$
����������� ��������� ����� ���
\eq{
\chi_\lambda(x)=\pMatrix{e^{\lambda/2}\\ie^{-\lambda/2}}e^{ixm_0\sh\lambda}.
\label{1psolution}
}
�������������� ������� ���������������� ������������� ����� ���
\eq{
\chi^{\alpha_1\ldots\alpha_N}_{\lambda_1\ldots\lambda_N}(x_1,\ldots,x_N)
=\sum_\sigma(-1)^\sigma\prod^N_{k=1}
\chi^{\alpha_{\sigma_k}}_{\lambda_k}(x_{\sigma_k}).
\label{Npsolutions-free}
}
������� $N$-���������� ��������� �����
\eq{
E_N(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)=m_0\sum^N_{k=1}\ch\lambda_k.
\label{ENfree}
}

����� �������� ����� ��������� ��������� $\lambda$? ���� �������
��������� � ����� ������� $L$ � ������������ ���������� ���������, ��
``��������'' $\lambda_k$ �������� ��������� ���������
\eq{
e^{im_0L\sh\lambda_k}=1
\qquad k=1,\ldots,N.
\label{thetaquant}
}
�������������,
$$
\sh\lambda_k={2\pi n_k\over m_0L},
\qquad
n_k\in\Z.
$$
��� ������, ��� $\lambda_k$ ��������� ���� �� ������������ ��� $\R$, ���� ��
������ $i\pi+\R$. ��������� ������� ������������� ������������� ��������
� ��������� ����� ����������� ����� ���� �������� ������. ��������,
��������� ��������� ������������� ���������, � ������� ��� ���������
������������� ������� ���������. ������� $\lambda_k=i\pi+\beta_k$. �����
���������� ��������� �������, ������ ���������������� ���������
\eq{
-\Theta<\beta_k<\Theta,
\qquad
\Theta\simeq\log{\Lambda\over m_0}.
\label{cutoff}
}
� ����������������� ������� $L\to\infty$ ������� ������� �����
$$
E_0=-L\int^\Theta_{-\Theta}d\beta\,
\rho(\beta)m_0\ch\beta,
\qquad
\rho(\beta)={1\over L}\left|dn\over d\beta\right|={m_0\over2\pi}\ch\beta.
$$
�������, ������� ��������� ��������� ���� �� ���� ������������,
��������� ������� ������������ ���������. ����������� � ���������
$\theta$ ������������� �������������� ������ � �����
$$
\lambda_k=\theta
\qquad\text{(�������),}
$$
��� ����� (���������� �����) � �����
$$
\lambda_k=\theta+i\pi
\qquad\text{(�����������).}
$$
��������� ����� ��������� (\ref{thetaquant}) ����� �� ������� ���� �
������, �� �������� ������� ������������������� ������ � ���������� �
$p=(m\ch\theta,m\sh\theta)$, ������������� �������� �����, �� ���� ��,
��� �� � ������ ���� ��������.

������ ������� ��������������. �������� �������������� �~(\ref{TMHam})
����������� � ���������� ����� ������ $Q$, � �� ��������� �
������������� $|\Omega\rangle$ ��� ������� ����������. ������� ��������
�������������� ��������� ������ ����������� $\cH_N$:
\eq{
\hat H_N=\sum^N_{k=1}(-i\sigma^3_k\d_{x_k}+m_0\sigma^2_k)
+g\sum^N_{k<l}\delta(x_k-x_l)
(1-\sigma^3_k\sigma^3_l).
\label{TMHN}
}
����������� �� �����-������ � ������ ����� ����:
\eq{
{1\over2}(1\otimes1-\sigma^3\otimes\sigma^3)
^{\alpha'_1\alpha'_2}_{\alpha_1\alpha_2}
=\delta_{\alpha'_1+}\delta_{\alpha_1+}\delta_{\alpha'_2-}\delta_{\alpha_2-}
+\delta_{\alpha'_1-}\delta_{\alpha_1-}\delta_{\alpha'_2+}\delta_{\alpha_2+}.
\label{sigmaid}
}
���� �������������� � ������������� (\ref{TMHN}) ����� ���������.
�������������, ��-�� ������-����\-��\-�\-����\-���� ����� �������� �������
�������� ��� $x_k=x_l$. � �� �� �����, �������� ������������� ������� ��
�������� ������� ��� ��� � ���� �����. ������ ������� ������� ��������������. �������, ��� ����� �� ������� �� �������������. ���������� ���������
$$
f'(x)-c\delta(x)f(x)=g(x).
$$
������������ ������-������� ������������ �������:
\eq{
f'(x)-c\delta_a(x)f(x)=g(x),
\qquad
\lim_{a\to0}\delta_a(x)=\delta(x).
}
�����
$$
\delta_a(x)=\epsilon'_a(x).
$$
�����
$$
{f'(x)\over f(x)}=c\epsilon'_a(x)+{g(x)\over f(x)}
$$
� ��� ���������� ����� $a$ �����
$$
f(x)=\const e^{c\epsilon_a(x)}.
$$
������ � ������� $a\to0$ �����
\eq{
f(+0)=e^cf(-0).
}

������������� ��������� ����� ����������� ���������~(\ref{1psolution}).
���������� ������������� ���������. ��������� �������������� ����������
(������� �� ���� ������ ��� $x_1=x_2$), ��� $x_1\ne x_2$ ��������
������� ������������ ����� ������� ��������� ��� ��������� ���������.
��������� ������� ���������� ������� � ��������, ���������
��������������� � �� �����:
\eq{
\chi^{\alpha_1\alpha_2}_{\lambda_1\lambda_2}(x_1,x_2)
=\Cases{
A_{12}\chi^{\alpha_1}_{\lambda_1}(x_1)\chi^{\alpha_2}_{\lambda_2}(x_2)
-A_{21}\chi^{\alpha_1}_{\lambda_2}(x_1)\chi^{\alpha_2}_{\lambda_1}(x_2)
\quad\text{��� $x_1<x_2$,}\\
A_{21}\chi^{\alpha_1}_{\lambda_1}(x_1)\chi^{\alpha_2}_{\lambda_2}(x_2)
-A_{12}\chi^{\alpha_1}_{\lambda_2}(x_1)\chi^{\alpha_2}_{\lambda_1}(x_2)
\quad\text{��� $x_1>x_2$.}
}
\label{2pAnsatz}
}
��� �������, ��������, ��������������� �� $(\alpha_1,x_1)$,
$(\alpha_2,x_2)$ � �������� (� ��������� �� ������ ���������) ����
��������� �������� $A_{12}/A_{21}$, ������� ������ �������� ��
��������� ����� $g$. ������ ���������� ����
\eq{
{A_{12}\over A_{21}}=R(\lambda_1-\lambda_2),
\qquad
R(\lambda)=e^{-i\Phi(\lambda)}
={\ch{\lambda+ig\over2}\over\ch{\lambda-ig\over2}}.
\label{Phifunc}
}
������� $\Phi(\lambda)$ ������ ����������� �������� ������������������
\eq{
\Phi(-\lambda)=-\Phi(\lambda),
\label{Phiskewsym}
}
������, ��� ������� ����� �� ����� $(ig,i\infty)$, $(-i g,-i\infty)$. �������� $\lambda_k$ ����������� ���������� �� ������~$2\pi i$.

�������, ��� ������� $R(\lambda)$ ���������� �� $g$ � �������� $2\pi$.
��� ��� �� ����� ������� ������, ������� � ������� ��������� ���������,
������� �������, ��� ������� ����� ����� ���
\eq{
-\pi<g<\pi.
\label{gregion}
}

������ �������� ��������� ����� $N$-��������� ������� ({\it ������
����\/}):
\eq{
\chi^{\alpha_1\ldots\alpha_N}_{\lambda_1\ldots\lambda_N}(x_1,\ldots,x_N)
=\sum_\tau(-1)^{\sigma\tau}
A_{\lambda_{\tau_1},\ldots,\lambda_{\tau_N}}
\prod^N_{k=1}\chi^{\alpha_{\sigma_k}}_{\lambda_{\tau_k}}(x_{\sigma_k})
\quad\text{��� $x_{\sigma_1}<\ldots<x_{\sigma_N}$}.
\label{BetheAnsatz}
}
������������ $A$ ������������� �������������
\eq{
A_{\ldots,\lambda_i,\lambda_{i+1},\ldots}
=R(\lambda_{i}-\lambda_{i+1})
A_{\ldots,\lambda_{i+1},\lambda_i,\ldots}.
\label{Arelations}
}
������� ������ ����������� ��������� �������
\eq{
\chi(\ldots,x_k+L,\ldots)=\chi(\ldots,x_k,\ldots).
\label{cyclicity}
}
����� �������
\eq{
e^{im_0L\sh\lambda_k}
=\prod^N_{\scriptstyle l=1\atop\scriptstyle l\ne k}
R(\lambda_k-\lambda_l).
\label{BetheEqs}
}
��� ������� ��������� �� ��������� $\lambda_k$ ���������� �������� {\it
��������� ����}. ��������� ���� --- ���������� ��������� � $N$
������������, ������, ��� ���������, � ��������� ���������� �������
$N\to\infty$. ��� �� �����, ������ �������� ���: ������� ������ �������
� ������� ������� �������������� ���������. ������� ������� ����
�������, �.~�.\ ������� ������ ����� $(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)$,
���������������� (\ref{BetheEqs}), ������������� ������������ ���������
�������. ���������� $\lambda_k$ ������� ���������� {\it �������\/}
��������� ����.

������������ ��������� ����, ������
\eq{
m_0L\sh\lambda_k+\sum^N_{l=1}\Phi(\lambda_k-\lambda_l)=2\pi n_k,
\label{BetheLog}
}
������ ������� � ������� ��������� �����
\eq{
E_N(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)=m_0\sum^N_{i=1}\ch\lambda_i,
\qquad
P_N(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)=m_0\sum^N_{i=1}\sh\lambda_i.
\label{EP}
}
��������� ��������: ��� ����� ������������� ����� ��������� ����?
�����������, �������� ������������ ����� � ����� �� ������
$i\pi+\R$. ����� ����������� ����� ����� ������������� �����������
������������ ����� �� ������ $\R$ � $i\pi+\R$. ����� ��������� ������
����������, ��� ������ ����� ������� �� ����� ����.

����� ��������, ��� ������� ��������� ���� �������-���������� ������� �
�������� ����� $(n_1,\ldots,n_N)$. ������� �����, ��� ��������� $n_k$
������������� ��������� $\lambda_k$ � ��������. �� �������� �����
�������, ��� ��� $\lambda_k$ ������ ���� �������� � ���, �������������,
\eq{
n_k\ne n_l
\qquad
(k\ne l).
\label{nnne}
}

����������� ������������, ��� ���������� ������� �������� �������
��������� ���� � �������������� ��������� ``����� ������'', �.~�.\ �
$\Im\lambda_k=\pi$. ����� ������
$$
\lambda_k=i\pi+\beta_k.
$$
����� �������������� �������, ���� ��������� ���
��������� ������������� �������, ������� ����, ����� ����� ����� $n_k$
��� ����� �������:
\eq{
n_{k+1}-n_k=\pm1,
\label{ndiff1}
}
������ ������ ������� ���� ���, ����� �������� $\beta_k$ ����� �~$k$. ������� ������
$$
n_k=k_0-k
$$
� ��������� $k_0$. �����
$$
m_0L\sh\beta_k=2\pi(k-k_0)+\sum^N_{l=1}\Phi(\beta_k-\beta_l).
$$
� ����������������� ������� $L\to\infty$ ���������� ����� ��������
��������� � ���� � ����� ������������������� ��� ��������� �� $\beta_k$.
�� �������
\eq{
m_0\ch\beta=2\pi\rho(\beta)
+\int^\Theta_{-\Theta}d\beta'\,\Phi'(\beta-\beta')\rho(\beta').
\label{BetheTL}
}
�����
\eq{
\rho(\beta)={1\over L}{dk\over d\beta}
\label{rhodef}
}
--- ��������� ���������, ��������� � ������ ����� ������ $N$ � ���������
��������
\eq{
\int^\Theta_{-\Theta}d\beta\,\rho(\beta)={N\over L}.
\label{rhonorm}
}
��� $\Theta\to\infty$ �������� $m_0$ ���������� � ���� ��� $g>0$ � �
������������� ��� $g<0$. ��� $g>0$ ����� ��������, ���
$\rho(\beta)/m_0\to\infty$. ������� ������� ������ ���������� �������
����������� ���������, ������� ���������� ��~(\ref{BetheTL}) ���
$m_0=0$, $\Theta\to\infty$. ��� ����� ���
\eq{
\rho(\beta)=\const\cdot\ch{\pi\beta\over\pi+g}.
\label{rhosolution}
}
����������� ������������������ ����� ����� ����� ���������� �����������,
� �� ����������� ��������.

���������� ������ ���� ��������� � ����� ������ �
��������� $\beta_n=\lambda$.%
\footnote{� ���������, � �������������� ������ ������ ���� �������� ������ ��� ������������ ���� ��������� � ����� �������������� ��������. � ���������� �.~�����������, ������� ������� ��, ����� ������~6.4. ������������ �������������� �������, �� ����� ����, ������� ������������ ��� ���������� �������� ������� ��������� ����.}
%
� ���� ������ ������� ��������� ��������
��������� �������:
\eq{
m_0\ch\beta
=2\pi\rho(\beta)-{\Phi'(\beta-\lambda)\over L}
+\int^\Theta_{-\Theta}d\beta'\,\Phi'(\beta-\beta')\rho(\beta').
\label{p-eq2}
}
��������� ����� $\rho_0(\beta)$ ������� ��������� (\ref{BetheTL}) �
����� ��� ��������� �� (\ref{p-eq2}), �������
\eq{
2\pi\delta\rho(\beta,\lambda)
+\int^\Theta_{-\Theta}d\beta'\,\Phi'(\beta-\beta')\delta\rho(\beta',\lambda)
={1\over L}\Phi'(\beta-\lambda).
\label{deltarhoeq}
}
�����
$$
\delta\rho(\beta,\lambda)=\rho(\beta)-\rho_0(\beta).
$$
� ������� $\Theta\to\infty$ ��� ��������� ����� ������ ������� �����.
�������������, �����
$$
\Phi'_\omega
=\int^\infty_{-\infty}d\beta\,\Phi'(\beta)e^{i\beta\omega},
\qquad
\delta\rho_\omega(\lambda)
=\int^\infty_{-\infty}d\beta\,\delta\rho(\beta,\lambda)e^{i\beta\omega}.
$$
�������� �������������� ����� � ��������� (\ref{deltarhoeq}), ��������
�������������� ���������
$$
2\pi\delta\rho_\omega(\lambda)
+\Phi'_\omega\delta\rho_\omega(\lambda)=
{1\over L}\Phi'_\omega e^{i\lambda\omega}.
$$
����� ���������, ���
\eq{
\Phi'_\omega=-2\pi{\sh g\omega\over\sh\pi\omega},
\qquad
\delta\rho_\omega(\lambda)=-{1\over L}\,
{\sh g\omega\over2\sh{\pi-g\over2}\omega\ch{\pi+g\over2}\omega}
e^{i\lambda\omega}.
\label{Phi-deltarho-omega}
}
������� ����������� ������������ ��� �������� $E_{N-1}-E_N$ � �����
$$
\Aligned{
\epsilon(\lambda)
&=m_0\ch\lambda
-m_0L\int^\Theta_{-\Theta}d\beta\,\delta\rho(\beta,\lambda)\ch\beta,
\\
p(\lambda)
&=m_0\sh\lambda
-m_0L\int^\Theta_{-\Theta}d\beta\,\delta\rho(\beta,\lambda)\sh\beta.
}
$$
�������� ����� �������� ��� ������������� � �������������~$g$.

��� $g<0$ ��������� � ���� ���������� �������� ��� $\Theta\to\infty$. ��
���� �� ������� $\Theta=\infty$, �� �������, ���
$\epsilon(\lambda)=p(\lambda)=0$, ��� ��� $\delta\rho_{\pm i}={1\over
L}e^{\pm\lambda}$. ������� ������� ��������������� ����������� �����
$m_0$. ����� ���������� ������ ��������, ��������� � �������� �������
$\delta\rho_\omega$ � ������ $\omega=\pm{i\pi\over\pi+g}$ ����
\eq{
m_0=M\exp\left(-{g\over\pi+g}\Theta\right)
\sim M\left(m_0\over\Lambda\right)^{g/(\pi+g)},
\label{m0div}
}
��� $M$ --- �������� ���������� ����������� �����. ��������� � �����
���������� �������
\eq{
m_0\sim M^{2-\beta^2},
}
��� $\beta$ --- ��������� ����� ������ �����-�������, ��������
�����������
$$
{g\over\pi}=1-\beta^2,
$$
�������� �� �����������
$$
{g\over\pi}=\beta^{-2}-1,
$$
������������ � ������~2. ����� ������������, ��� ���������� ���������
����� $g_{\rm BA}$ � ������� ���� ������� �� ���������� ����������
$g_{\rm OPE}$, ������������ ������������ ������������, �� ��������� ������
�������� �� ������ ����������. ��� �� �����, ���� �������������
$$
{g_{\rm BA}\over\pi}={g_{\rm OPE}\over\pi+g_{\rm OPE}},
$$
�� ����������, ���������� ������� ���������, ���������. �������, ���
������� ����������� (\ref{gregion}) ��� ��������� $g_{\rm BA}$
������������ ������� ������������� ���������� ��� ������ �����-�������:
$$
0<\beta^2<2.
$$

��� $g>0$ �������� ��������� ����. ������ �������
$\delta\rho_\omega(\lambda)$ ��� $\omega=\pm i\pi/(\pi+g)$ ����������
����� � ������������ ���, ��� ����� $\pm i$. ��� ������, ��� ��������� �
�������� ��� �������� � ������� ����������, ��� ������������� $m_0\to0$.
������ ������, ��������� ����� ���������� $\delta\rho(\beta,\lambda)$ �
����� ���������� ��� ������� � �������� �����������. ������ ��� ���
��������� �������� � �������, ������������ ������������� ������������ ��
������� $g<0$. ��� ������, ��� ������� ��� �������������� �����
(\ref{m0div}) ����� � � ���� ������.

������� � ������� ����������� ����� ($g=g_{\rm BA}$)
\eq{
\epsilon(\lambda)=m\ch{\pi\lambda\over\pi+g},
\qquad
p(\lambda)=m\sh{\pi\lambda\over\pi+g},
\qquad
m={M\over g}\ctg\left({\pi\over2}{\pi-g\over\pi+g}\right).
\label{spectrum}
}
����� �������, ������� ����� �������������� ������ � ���������
$$
\theta={\pi\lambda\over\pi+g}.
$$
���������� ���������� ����������� ������ �����, ���������������
������������.

������� ��� ��������� $S$-������� ������ � �����. ��� ����� ����
����������� ������� �� ���� ������ � �������� ��������� �� ���� ����
������ � ���������� �� ����, ��������� �� $S$-�������. ������� �������
��� �������� ������, ������� ����� ����� $S$-������� ���, ��� ���
���� ������� ��� $O(N)$-������� � ������� ������. ����� ��� � ������
$(++,+-,-+,--)$ ���������:
\eq{
S(\theta)
=\left(S^{\alpha_1\alpha_2}_{\beta_1\beta_2}(\theta)\right)
=\pMatrix{a(\theta)&&&\\
&b(\theta)&c(\theta)&\\
&c(\theta)&b(\theta)&\\
&&&a(\theta)},
}
������
\eq{
{b(\theta)\over a(\theta)}
={\sh{\theta\over p}\over\sh{i\pi-\theta\over p}},
\qquad
{c(\theta)\over a(\theta)}
={\sh{i\pi\over p}\over\sh{i\pi-\theta\over p}},
\qquad
\left(\beta^2=2{p\over p+1}\right).
}
����� ��������� ����� �������� ������� ���:
\eq{
a(\theta)
=-{\Gamma\left(1\over p\right)\Gamma\left(1+{i\theta\over\pi p}\right)
\over\Gamma\left({1\over p}+{i\theta\over\pi p}\right)}
\prod^\infty_{n=0}{R_n(\theta)R_n(i\pi-\theta)\over R_n(0)R_n(i\pi)},
\qquad
R_n(\theta)
={\Gamma\left({2n\over p}+{i\theta\over\pi p}\right)
\Gamma\left(1+{2n\over p}+{i\theta\over\pi p}\right)
\over
\Gamma\left({2n+1\over p}+{i\theta\over\pi p}\right)
\Gamma\left(1+{2n-1\over p}+{i\theta\over\pi p}\right)}.
}
��� $0<p<1$ ($0<\beta^2<1$) � ������ ������� ��������� ���������,
��������������� ������� � ������
$$
\theta_n=i\pi-i\pi pn,
\qquad n=1,2,\ldots,\left\lfloor1\over p\right\rfloor.
$$
����� ���� ��������� �����
\eq{
M_n=2m\sin{\pi pn\over2}
}


\bigbreak
\leftline{\bf ����������}

[1]~�.~�����, �������� ������� ����, �., <<���>>, 1987

[2]~�.~�.~���������, �.~�.~�������, �.~�.~�������,
�������������� ������� ������������� ������ � ��������� ����� ��������
������, �., <<�����>>, 1992


\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf ������}
\medskip
{\bf 1.}~��������~(\ref{TMHam}) ��~(\ref{TM}). ��������~(\ref{TMHN}).

{\bf 2.}~��������~(\ref{1psolution}).

{\bf 3.}~��������~(\ref{Phifunc}).

{\bf 4.}~�������� �����������~(\ref{m0div}) �~(\ref{spectrum}).

{\bf 5.}~������� ������� ���� ������� �������� ������� ������� $N$
������������� ���������������� �������, ����������������� �����
���������
$$
U(x)=c\delta(x).
$$
������� ������� ��������� ���� ��� ���. �������� ��� ������� �
����������������� ������� ��� �������� ��������� ������ $n$. �������
������� ��������� ��������� � ������� $c\to\infty$.



\end{document}
