\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,pictex,russian,fullpage}

\allowdisplaybreaks

\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1{\begin{equation}#1\end{equation}}
\def\Align#1{\begin{align}#1\end{align}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}#1\end{aligned}}
\def\Gather#1{\begin{gather}#1\end{gather}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}#1\end{gathered}}
\def\Multline#1{\begin{multline}#1\end{multline}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\bn{{\boldsymbol n}}
\def\bJ{{\boldsymbol J}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\eff{{\rm eff}}
\def\const{{\rm \,const\,}}

\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.3truecm> [0.1,0.3] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\begin{document}

\centerline{\bf Лекция~4}
\centerline{\bf $O(N)$-модель: $1/N$-разложение}
\bigskip

Рассмотрим общую $O(N)$-модель в пространстве Минковского:
\eq{
S[\bn]={1\over2g}\int d^2x\,(\d_\mu\bn)^2,
\qquad
\bn^2=1.
\label{ONmodel}
}
Удобно ввести вспомогательное поле $\omega(x)$ и написать действие в виде
\eq{
S[\bn,\omega]
={1\over2g}\int d^2x\,((\d_\mu\bn)^2-\omega(\bn^2-1)),
\label{ONmodelOmega}
}
где вектор $\bn$ теперь пробегает любые значения в $\R^N$. Рассмотрим
функциональный интеграл
\eq{
Z[J]=\int D\omega\,D\bn\,
e^{iS[\bn,\omega]+ig^{-1/2}\int d^2x\,\bJ\bn}.
}
Интеграл по $\bn$ --- гауссов. Возьмем его. Заметим, что
$$
iS[\bn,\omega]+ig^{-1/2}\int d^2x\,\bJ\bn
=-{1\over2}\left(
{n_i\over g^{1/2}},K(\omega)\delta_{ij}{n_j\over g^{1/2}}
\right)
+\left(iJ_i,{n_i\over g^{1/2}}\right)+i\int d^2x\,{\omega\over2g},
$$
где
$$
K(\omega)=i(\d^2_\mu+\omega).
$$
Отсюда получаем
$$
Z[J]=\int D\omega\,
(\det(\d^2_\mu+\omega))^{-N/2}
\exp\left(i\int d^2x\,{\omega\over2g}
-{1\over2}\int d^2x\,d^2x'\,J_i(x)G(x,x'|\omega)J_i(x')
\right),
$$
где $G(x,x'|\omega)$ --- решение уравнения
\eq{
i(\d^2_\mu+\omega(x))G(x,x'|\omega)=\delta(x-x').
\label{Gdef}
}
По-другому производящий функционал можно переписать в виде
\Align{
Z[J]
&=\int D\omega\,
\exp\left(
iS_\eff[\omega]-{1\over2}\int d^2x\,d^2x'\,J_i(x)G(x,x'|\omega)J_i(x')
\right),
\label{ZJomega}
\\
S_\eff[\omega]
&=i{N\over2}\tr\log(\d^2_\mu+\omega)
+\int d^2x\,{\omega\over2g}.
\label{Seff}
}
Найдем точку перевала этого интеграла при $N\to\infty$. Предположим, что
точке перевала отвечает
$$
\omega(x)=\const=\omega_0.
$$
Тогда
\Align{
\tr\log(\d^2_\mu+\omega_0)
&=V\int{d^2k\over(2\pi)^2}\log(\omega_0-k^2-i0)
\nonumber
\\
&=iV\int_E {d^2k\over(2\pi)^2}\log(\omega_0+k^2)
\nonumber
\\
&{iV\over2\pi}\int^\Lambda_0dk\,k\log(\omega_0+k^2)
={iV\over4\pi}\int^{\omega_0+\Lambda^2}_{\omega_0}du\,\log u
={iV\over4\pi}
\left[u\log{u\over e}\right]^{\omega_0+\Lambda^2}_{\omega_0}
\nonumber
\\
&={iV\over4\pi}\left(
(\omega_0+\Lambda^2)\log{\Lambda^2\over e}-\omega_0\log{\omega_0\over e}
\right)
\nonumber
\\
&={iV\over4\pi}\left(
\omega_0\log{\Lambda^2\over\omega_0}+\Lambda^2\log{\Lambda^2\over e}
\right).
\label{trlogK}
}
где $\Lambda$ --- параметр ультрафиолетового обрезания. Под логарифмом
мы пренебрегли $\omega_0$ по сравнению с~$\Lambda$.
Находим
$$
0={dS[\omega_0]\over d\omega_0}
=V\left(-{N\over8\pi}\log{\Lambda^2\over\omega_0}+{1\over2g}\right).
$$
Отсюда находим
\eq{
\omega_0=m^2=\Lambda^2\exp\left(-{4\pi\over Ng}\right).
\label{omega0}
}
Мы видим, что в пределе $\Lambda\to\infty$ следует устремить к нулю и
$g$, причем таким образом, чтобы величина $\omega_0=m^2$ оставалась
конечной. Для бета-функции при больших $N$ находим
\eq{
{dg\over d\log\Lambda}=\beta(g)=-{N\over2\pi}g^2.
\label{beta}
}
Важно то, что в теории возникает параметр $m$ размерности массы. Мы
сейчас увидим, что это действительно масса. В теории имеет место {\it
динамическая генерация массы}. Ни на каких масштабах корреляционные
функции не будут спадать степенным образом, и наличие размерного
параметра будет заметно в корреляционных функциях на любых масштабах.

Давайте теперь разовьем теорию возмущений по параметру $1/N$. Представим
$\omega(x)$ в виде
$$
\omega(x)=m^2+(2/N)^{1/2}\rho(x).
$$
и разложим эффективное действие по степеням $N^{-1/2}\rho(x)$:
\Align{
S_\eff[\omega_0+(2/N)^{1/2}\rho]
&=\const
+i{N\over2}\tr\log\left(1+(2/N)^{1/2}\rho(\d^2_\mu+m^2)^{-1}\right)
+{1\over(2N)^{1/2}g}\tr\rho
\nonumber
\\
&=\const+i{N\over2}\tr\log(1+i(2/N)^{1/2}\rho G)+{1\over(2N)^{1/2}g}\tr\rho
\nonumber
\\
&=\const+\left({1\over(2N)^{1/2}g}\tr\rho-\left(N\over2\right)^{1/2}\tr\rho G\right)
\nonumber
\\
&\quad
-i{N\over2}\sum^\infty_{n=2}{(-i)^n(2/N)^{n/2}\over n}\tr(\rho G)^n.
\nonumber
}
Скобка в последнем выражении равна нулю по предположению, что $\omega=\omega_0$ является абсолютным минимумом. Разумеется, это не доказано строго. Формулы (\ref{trlogK})--(\ref{omega0}) доказывают зануление этой скобки только при постоянной функции~$\rho(x)$.

Окончательно, имеем
\eq{
S_\eff[\omega_0+(2/N)^{1/2}\rho]=\const-i{N\over2}\sum^\infty_{n=2}{(-i)^n(2/N)^{n/2}\over n}
\int d^{2n}x\,\rho(x_1)G(x_1,x_2)\ldots\rho(x_n)G(x_n,x_1).
\label{Seff-decomp}
}
Здесь $G(x_1,x_2)=G(x_1,x_2|m^2)$. Разложение начинается с квадратичного члена вида
$$
{i\over2}\int d^2x_1\,d^2x_2\,\rho(x_1)G(x_1,x_2)\rho(x_2)G(x_2,x_1).
$$
Поэтому пропагатор $D(x_1,x_2)$ поля $\rho(x)$ есть оператор, обратный к
$$
D^{-1}(x_1,x_2)=G(x_1,x_2)G(x_2,x_1).
$$
Теперь ясно, для чего понадобился множитель $(2/N)^{1/2}$ перед $\rho$. Он позволяет избавиться от коэффициента $2/N$ в пропагаторе~$D(x_1,x_2)$.

Переходя к импульсному представлению, получим
\eq{
D(k)=
\quad
\vcenter{\hsize=2cm
\hbox to\hsize{\hss
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\setdashes <2.5pt>
\rl 0.0 0.0 , 2.0 0.0
\put{$k$} [bc] <0pt,2pt> at 1.0 0.0
\put{$\vphantom k$} [tc] <0pt,-2pt> at 1.0 0.0
\endpicture
\hss
}}
\quad
=-\left(
\int{d^2q\over(2\pi)^2}\,
{1\over(q^2-m^2+i0)((q+k)^2-m^2+i0)}
\right)^{-1}.
\label{Dk}
}

Кроме того, оператор $G(x,x'|\omega)$, входящий в (\ref{ZJomega}), тоже
следует разложить по $\rho(x)$:
\Align{
G[m^2+(2/N)^{1/2}\rho]
&={1\over G^{-1}[m^2]+i(2/N)^{1/2}\rho}
=\sum^\infty_{n=0}(-i)^n
{\textstyle\left(2\over N\right)^{n/2}}G(\rho G)^n
\nonumber
\\
G(x_1,x_2|m^2+(2/N)^{1/2}\rho)&=\sum^\infty_{n=0}
(-i)^n\left(2\over N\right)^{n/2}
\int d^{2n}y\,G(x_1,y_1)\rho(y_1)G(y_1,y_2)
\ldots\rho(y_n)G(y_n,x_2).
\nonumber
}

Изобразим $G(x_1,x_2)$ сплошной линией:
\eq{
G_{ij}(p)=
\quad
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl 0.0 0.0 , 2.0 0.0
\put{$i$} [Br] <-2pt,-2pt> at 0.0 0.0
\put{$j$} [Bl] <2pt,-2pt> at 2.0 0.0
\put{$p$} [Bc] <0pt,3pt> at 1.0 0.0
\put{$\phantom a$} [tc] <0pt,-3pt> at 1.0 0.0
\endpicture
}
\quad
=G(p)\delta_{ij}={i\delta_{ij}\over p^2-m^2+i0}.
\label{Gp}
}

Если еще ввести вершину
\eq{
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl 0.0 0.0 , 2.0 0.0
\setdashes <2.5pt>
\rl 1.0 0.0 , 1.0 1.0
\put{} [bc] at 0.0 0.0
\put{} [bc] at 2.0 0.0
\put{} [bc] at 1.0 1.0
\put{} [bc] at 1.0 -1.0
\endpicture
}
\quad
=-i\left(2\over N\right)^{1/2}\delta_{ij},
\label{vertex}
}

Можно сформулировать следующие правила диаграммной техники:

\enum{

\item Диаграмма состоит из пунктирных линий (\ref{Dk}), сплошных линий
(\ref{Gp}) и вершин (\ref{vertex}).

\item Внешними линиями диаграммы могут быть только сплошные линии,
отвечающие массивным частицам $\varphi_i=g^{-1/2}n_i$.

\item\label{loops} Замкнутые петли сплошных линий должны содержать не
менее трех вершин.

}

Мы видим, что в такой формулировке диаграммная техника вообще не
содержит константы связи~$g$. Порядок диаграммы по $1/N$ равен
${1\over2}V-L$, где $V$ --- число вершин, а $L$ --- число петель из
сплошных линий. Из правила~\ref{loops} следует, что порядок диаграммы
всегда положителен.

Связь между константой связи $g$, массой $m$ и параметром обрезания
$\Lambda$ можно уточнять с помощью соотношения
$$
\left\langle\sum^N_{i=1}\varphi^2_i(x)\right\rangle={1\over g}.
$$
Например в порядке $1/N$ можно получить, что
\eq{
m^2=\Lambda^2\exp\left(-{4\pi\over(N-2)g}\right).
\label{omega0corr}
}

Давайте теперь попробуем вычислить $S$-матрицу $O(N)$-модели.
Разберемся сначала с кинематикой. У нас имеется $N$ частиц массы $m$.
Пусть две такие частицы с быстротами $\theta_1$ и $\theta_2$
рассеиваются друг на друге, образуя две новые частицы той же массы с
быстротами  $\theta'_1$ и $\theta'_2$. Тогда
$$
\Aligned{
m\ch\theta_1+m\ch\theta_2
&=m\ch\theta'_1+m\ch\theta'_2,
\\
m\sh\theta_1+m\sh\theta_2
&=m\sh\theta'_1+m\sh\theta'_2.
}
$$
Это уравнение имеет только два решения: $\theta'_1=\theta_1$,
$\theta'_2=\theta_2$ и $\theta'_1=\theta_2$, $\theta'_2=\theta_1$.
Матрицу рассеяния двух частиц в две можно представить в виде
$$
S^{i'j'}_{ij}(\theta_1,\theta_2;\theta'_1,\theta'_2)
=(2\pi)^2\delta(p'_1-p_1)\delta(p'_2-p_2)S^{i'j'}_{ij}(\theta_1-\theta_2)
+(2\pi)^2\delta(p'_2-p_1)\delta(p'_1-p_2)S^{j'i'}_{ij}(\theta_1-\theta_2).
$$
Чтобы правильно нормировать, нужно преобразовать дельта-функции к
стандартному виду дельта-функции по двумерному импульсному пространству.
Для, например, первого члена имеем
$$
(2\pi)^2\delta(P'-P)
{\sh(\theta_1-\theta_2)\over\ch\theta_1\ch\theta_2}
S^{i'j'}_{ij}(\theta_1-\theta_2)
=(2\pi)^2\delta(P'-P)
{4m^2\sh(\theta_1-\theta_2)\over4\varepsilon_1\varepsilon_2}
S^{i'j'}_{ij}(\theta_1-\theta_2).
$$
Следовательно, в стандартных обозначениях
$$
M^{i'j'}_{ij}(\theta_1-\theta_2)
=4m^2\sh(\theta_1-\theta_2)S^{i'j'}_{ij}(\theta_1-\theta_2).
$$

Условие совместимости с $O(N)$-симметрией дает
\eq{
S^{i'j'}_{ij}(\theta)
=\delta_{i'j'}\delta_{ij}S_1(\theta)
+\delta_{i'i}\delta_{j'j}S_2(\theta)
+\delta_{j'i}\delta_{i'j}S_3(\theta).
\label{S1S2S3}
}
В порядке $1/N$ матричные элементы даются следующими диаграммами:
\Align{
4m^2\sh\theta\,S_1(\theta)
&=\quad
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\ln -1.0 0.5 , -0.5 0.0
\ln -1.0 -0.5 , -0.5 0.0
\ln 0.5 0.0 , 1.0 0.5
\ln 0.5 0.0 , 1.0 -0.5
\setdashes <2.5pt>
\rl -0.5 0.0 , 0.5 0.0
\put{$p_1$} [Br] <-2pt,-2pt> at -1.0 0.5
\put{$p_2$} [Br] <-2pt,-2pt> at -1.0 -0.5
\put{$p_1$} [Bl] <2pt,-2pt> at 1.0 0.5
\put{$p_2$} [Bl] <2pt,-2pt> at 1.0 -0.5
\endpicture
}
\quad,
\nonumber
\\
\nonumber
\\
4m^2\sh\theta\,S_2(\theta)
&=\quad
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -1.0 0.5 , 1.0 0.5
\rl -1.0 -0.5 , 1.0 -0.5
\put{$p_1$} [Br] <-2pt,-2pt> at -1.0 0.5
\put{$p_2$} [Br] <-2pt,-2pt> at -1.0 -0.5
\put{$p_1$} [Bl] <2pt,-2pt> at 1.0 0.5
\put{$p_2$} [Bl] <2pt,-2pt> at 1.0 -0.5
\endpicture
}
\quad
+\quad
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -1.0 0.5 , 1.0 0.5
\rl -1.0 -0.5 , 1.0 -0.5
\setdashes <2.5pt>
\rl 0.0 0.5 , 0.0 -0.5
\put{$p_1$} [Br] <-2pt,-2pt> at -1.0 0.5
\put{$p_2$} [Br] <-2pt,-2pt> at -1.0 -0.5
\put{$p_1$} [Bl] <2pt,-2pt> at 1.0 0.5
\put{$p_2$} [Bl] <2pt,-2pt> at 1.0 -0.5
\endpicture
}
\quad,
\nonumber
\\
\nonumber
\\
4m^2\sh\theta\,S_3(\theta)
&=
\quad
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -1.0 0.5 , 1.0 0.5
\rl -1.0 -0.5 , 1.0 -0.5
\setdashes <2.5pt>
\rl 0.0 0.5 , 0.0 -0.5
\put{$p_1$} [Br] <-2pt,-2pt> at -1.0 0.5
\put{$p_2$} [Br] <-2pt,-2pt> at -1.0 -0.5
\put{$p_2$} [Bl] <2pt,-2pt> at 1.0 0.5
\put{$p_1$} [Bl] <2pt,-2pt> at 1.0 -0.5
\endpicture
}
\quad.
\nonumber
}
Для вычисления этих диаграмм нам понадобится явная формула для $D(k)$.
Она имеет вид
\eq{
D^{-1}(k)={i\over2\pi k^2}
{1\over\sqrt{1-{4m^2\over k^2}}}
\log{\sqrt{1-{4m^2\over k^2}}+1\over\sqrt{1-{4m^2\over k^2}}-1}.
\label{Dkexplicit}
}
Эта громоздкая формула становится вполне элементарной в параметризации
\eq{
k^2=-4m^2\sh^2{\theta\over2}.
\label{param}
}
Заметим, что угол $\theta$ в этой параметризации совпадает с
$\theta_1-\theta_2$ в случае диаграммы для $S_3$. Имеем
\eq{
D(k)=4\pi im^2\>\cdot\>{\sh\theta\over\theta}.
\label{Dktheta}
}
Подставляя эти выражения в диаграммы, получаем
\eq{
\Aligned{
S_1(\theta)
&=-{2\pi i\over N(i\pi-\theta)},
\\
S_2(\theta)
&=1-{2\pi i\over N\sh\theta},
\\
S_3(\theta)
&=-{2\pi i\over N\theta}.
}\label{Siexplicit}
}

\bigbreak
\leftline{\bf Литература}
[1]~A.~B.~Zamolodchikov, Al.~B.~Zamolodchikov,
{\it Annals Phys.}\ {\bf 120} (1979) 253.

[2]~А.~М.~Поляков, Калибровочные поля и струны.

[3]~А.~М.~Цвелик, Квантовая теория поля в теории конденсированного
состояния.

\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip
{\bf 1.}~Получите формулу~(\ref{Dkexplicit}).

{\bf 2.}~Модель Гросса--Нев\"е для $N$-компонентного майорановского
(т.~е.\ вещественного в представлении с чисто мнимыми
$\gamma$-матрицами) ферми-поля определяется действием
$$
S[\psi]
=\int d^2x\,\left(
{i\over2}\bpsi_i\gamma^\mu\d_\mu\psi_i
+{g\over8}(\bpsi_i\psi_i)^2
\right)
$$
(по повторяющимся индексам предполагается суммирование; в представлении
с чисто мнимыми гамма-матрицами $\bpsi=\psi^T\gamma^0$).

Покажите, что эта модель эквивалентна модели со вспомогательным бозонным
полем
$$
S[\psi,\omega]
=\int d^2x\,\left(
{1\over2}\bpsi_i(i\gamma^\mu\d_\mu-\omega(x))\psi_i-{\omega^2(x)\over2g}
\right).
$$
Покажите, что в модели имеет место динамическая генерация массы
$$
\omega_0=m=\Lambda\exp\left(-{2\pi\over Ng}\right).
$$

{\bf 3.}~Постройте диаграммную технику для $1/N$-разложения в модели Гросса--Невё. Найдите $S$-матрицу в древесном приближении.


\end{document}
