\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,russian,fullpage}

\allowdisplaybreaks

\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\def\eq#1{\begin{equation}#1\end{equation}}
\def\Align#1{\begin{align}#1\end{align}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}#1\end{aligned}}
\def\Gather#1{\begin{gather}#1\end{gather}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}#1\end{gathered}}
\def\Multline#1{\begin{multline}#1\end{multline}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\bn{{\boldsymbol n}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}

\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}

\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\begin{document}

\centerline{\bf Лекция~3}
\centerline{\bf $O(3)$-модель: генерация массы инстантонами}
\bigskip
Рассмотрим $O(3)$-модель:
\eq{
S[\bn]={1\over2g}\int d^2x\,(\d_\mu\bn)^2,
\qquad
n_1^2+n_2^2+n_3^2=1.
\label{o3model}
}
Найдем решения классических уравнений движения в эвклидовом
пространстве, такие что действие на этих решениях конечно. В квантовой
механике эти решения должны отвечать туннельным процессам, амплитуда
которых будет порядка $e^{-S}$, где $S$ --- значение действия для
такого решения.

Из конечности действия следует, что решение должно стремиться к
константе на бесконечности:
\eq{
\bn_0(x)\mathinner{\mathop\to\limits_{x\to\infty}}\bn_0.
\label{bcond}
}
Таким образом, бесконечность можно рассматривать как точку на двумерной
сфере $S^2$. Непрерывная функция $\bn(x)$, удовлетворяющая условию
(\ref{bcond}), осуществляет непрерывное отображение
\eq{
\bn:S^2\to S^2.
}
Такие отображения классифицируются {\it топологическим числом\/} $q$,
таким что $\bn$ осуществляет $|q|$-листное накрытие сферы сферой. Если
$q>0$, отображение сохраняет ориентацию, а если $q<0$, меняет ее.
Представителем класса $q$ может быть, например, отображение:
\eq{
\theta'=\theta,
\qquad
\varphi'=q\varphi,
}
где $(\theta,\varphi)$ --- полярные координаты на сфере.

Выразим топологическое число через поле $\bn$. Будем считать его отображением сферы $S^2$ на сферу $S^{2\prime}$. Зададим на сфере $S^2$ координаты $x=(x^1,x^2)$, а на сфере $S^{2\prime}$ координаты $x'=(x^{1\prime},x^{2\prime}$ и метрику $g'_{\mu\nu}$ Метрика на сфере $S^2$ несущественна. Пусть
$$
S=\int_{S^{2\prime}}d^2x'\sqrt{g'}
$$
--- площадь сферы~$S^{2\prime}$. Тогда топологическое число можно выразить через площадь, заметаемую отображением $x'(x)$, когда $x$ заметает всю сферу~$S^2$:
$$
q={1\over S}\int_{x'(S^2)}d^2x'\,\sqrt{g'}={1\over S}\int_{S^2}d^2x{\d(x')\over\d(x)}\sqrt{g'}.
$$
В сферических координатах
$$
q={1\over4\pi}\int^{2\pi}_0d\varphi\int^\pi_0d\theta\,
{\d(\varphi',\theta')\over\d(\varphi,\theta)}\sin\theta'
={1\over4\pi}\int d^2x\,
{\d(\varphi',\theta')\over\d(x^1,x^2)}\sin\theta'.
$$
Чтобы найти якобиан
$\d(\varphi',\theta')/\d(x^1,x^2)=(\d\varphi'/\d x^1)(\d\theta'/\d x^2)
-(\d\varphi'/\d x^2)(\d\theta'/\d x^1)$, перепишем
сферические переменные через $\bn$ и $x$. Положим
\eq{
\bn=(\sin\theta'\cos\varphi',\sin\theta'\sin\varphi',\cos\theta').
\label{jacsubst}
}
Можно проверить прямым вычислением, что
\eq{
{1\over2}\bn\,(\d_\mu\bn\times\d_\nu\bn)\epsilon^{\mu\nu}
={\d(\varphi',\theta')\over\d(x^1,x^2)}\sin\theta'.
\label{jacobian}
}
Отсюда получаем
\eq{
q={1\over8\pi}\int d^2x\,\bn\,(\d_\mu\bn\times\d_\nu\bn)\epsilon^{\mu\nu}.
\label{qint}
}

Моно вывести (\ref{qint}) еще проще. Вектор $\d_1\bn\,dx^1$ представляет собой маленький вектор перемещения на сфере, отвечающий перемещению на $(dx^1,0)$ в $x$-пространстве. Аналогично $\d_2\bn\,dx^2$ представляет собой вектор пенемещения на сфере, отвечающий перемещению на $(0,dx^2)$. Оба вектора перпендикулярны вектору~$\bn$. Тогда $|\d_1\bn\times\d_2\bn\,dx^1\,dx^2|=\pm\bn\,(\d_1\bn\times\d_2\bn)\,d^2x$ есть площадь маленького параллелограмма на сфере. Знак <<$+$>> отвечает отображению, сохраняющему ориентацию, а знак <<$-$>> --- отображению, меняющему ориентацию. Следовательно,
$$
\int d^2x\,\bn\,(\d_1\bn\times\d_2\bn)
={1\over2}\int d^2x\,\bn\,(\d_\mu\bn\times\d_\nu\bn)\epsilon^{\mu\nu}
$$
равно площади на сфере, заметаемой при интегрировании по всему $x$-пространству, равной~$4\pi q$.

Из тождества
\eq{
\int d^2x\,(\d_\mu\bn+\epsilon_{\mu\nu}\bn\times\d^\nu\bn)^2
=2\int d^2x\,(\d_\mu\bn)^2
-2\int d^2x\,\bn\,(\d_\mu\bn\times\d_\nu\bn)\epsilon^{\mu\nu}
\label{intid}
}
получаем
\eq{
S[\bn]
={4\pi q\over g}
+{1\over4g}\int d^2x\,(\d_\mu\bn+\epsilon_{\mu\nu}\bn\times\d^\nu\bn)^2.
\label{Sqplus}
}
Заменой $\bn\to-\bn$, $q\to-q$ получим
\eq{
S[\bn]
=-{4\pi q\over g}
+{1\over4g}\int d^2x\,(\d_\mu\bn-\epsilon_{\mu\nu}\bn\times\d^\nu\bn)^2.
\label{Sqminus}
}
Отсюда, очевидно, следует, что
\eq{
S[\bn]\ge{4\pi|q|\over g}.
\label{Sqmin}
}
Неравенство (\ref{Sqmin}) превращается в равенство на решениях уравнения
первого порядка ({\it уравнения самодуальности\/})
\Align{
\d_\mu\bn
&=-\epsilon_{\mu\nu}\bn\times\d^\nu\bn
\qquad(q>0),
\label{sdpos}
\\
\d_\mu\bn
&=\epsilon_{\mu\nu}\bn\times\d^\nu\bn
\hphantom{-}\qquad(q<0).
\label{sdneg}
}
Решения этих уравнений минимизируют действие, поэтому составляют
подкласс решений уравнений движения. Чтобы их явно решить, используем
стереографическую проекцию на плоскость. При этом удобно использовать
комплексную координату $w$ на этой плоскости:
\eq{
n_1+in_2={2w\over1+|w|^2},
\qquad
n_3={1-|w|^2\over1+|w|^2}.
\label{stereogr}
}
Подставляя (\ref{stereogr}) в (\ref{sdpos}), (\ref{sdneg}), получим
\Align{
\bd w
&=0
\qquad(q>0),
\label{sdcpos}
\\
\d w
&=0
\qquad(q<0).
\label{sdcneg}
}
Рассмотрим случай $q>0$. Функция $w(z)$ должна быть мероморфной
функцией на сфере, то есть единственными особенностями этой функции,
включая особенность в бесконечности, могут быть только полюса.
Количество нулей и полюсов такой функции должно быть конечно. Нулям
отвечает точка $\bn=(0,0,1)$, а полюсам $\bn=(0,0,-1)$. Самое общее
такое решение (\ref{sdcpos}) имеет вид
\eq{
w(q,\va,\vb,c;z)=c\prod^q_{j=1}{z-a_j\over z-b_j},
\label{solution-pos}
}
где $c\in\C\setminus\{0\}$, $a_j,b_j\in\C\cup\{\infty\}$. Легко найти
топологическое число, соответствующее этому решению. Пусть
$w_0\in\C\cup\{\infty\}$. Тогда число решений уравнения $w(z)=w_0$ с
учетом кратностей не зависит от $w_0$. Положим $w_0$ равным,
например, бесконечности. Тогда очевидно, что число решений этого
уравнения равно $q$. Это значит, что $w(z)$ осуществляет $q$-листное
накрытие и топологическое число равно $q$.

Аналогично, в случае топологического числа $q<0$ получаем:
\eq{
w(q,\va,\vb,c;\bz)=c\prod^{-q}_{j=1}{\bz-a_j\over\bz-b_j},
\label{solution-neg}
}
Решения (\ref{solution-pos}) и (\ref{solution-neg}) называются {\it
(много)инстантонными решениями}.

Попробуем использовать инстантонные решения, чтобы приближенно вычислить
функциональный интеграл для квантовой $O(3)$-модели. Мы будем
интегрировать по многоинстантонным решениям и малым флуктуациям вблизи
них.

Перепишем (\ref{Sqplus}) и (\ref{Sqminus}) через поле $w(z,\bz)$:
\Align{
S[w,\bw]
&={4\pi q\over g}+{8\over g}\int d^2x\,{\bd w\d\bw\over(1+|w|^2)^2}
\label{Sqwplus}
\\
&=-{4\pi q\over g}+{8\over g}\int d^2x\,{\d w\bd\bw\over(1+|w|^2)^2}.
}

Рассмотрим случай $q\ge0$. Пусть
\eq{
S_q[\varphi,\bvarphi]
=S[w(q,\va,\vb,c;z)(1+\varphi(z,\bz)),
  w^*(q,\va,\vb,c;z)(1+\bvarphi(z,\bz))].
\label{Sqactiondef}
}
Легко видеть, что
\eq{
S_q[\varphi,\bvarphi]
={4\pi q\over g}
+{8\over g}\int d^2x\,{|w|^2\over(1+|w|^2)^2}\bd\varphi\d\bvarphi.
}
Соответственно, $q$-инстантонный вклад в статсумму имеет вид
\eq{
Z_q
={e^{-4\pi q/g}\over(q!)^2}
\int d\mu(\va,\vb)\,
Z[w(q,\va,\vb,c;z)],
\qquad
Z[w]
=\int D\varphi\,D\bvarphi\,\exp\left(
-{8\over g}\int d^2x\,{|w|^2\over(1+|w|^2)^2}\bd\varphi\d\bvarphi
\right).
\label{Zqdef}
}
Здесь $\mu(\va,\vb)$ --- мера интегрирования по $\va$ и $\vb$,
инвариантная относительно сдвигов, растяжений и инверсии. Такую меру
легко найти:
\eq{
\mu(\va,\vb,c)
=k^qf(c)\,d^2c\prod^q_{j=1}d^2a_j\,d^2b_j\,
\prod_{i<j}|a_i-a_j|^4|b_i-b_j|^4\prod_{i,j}|a_i-b_j|^{-4}.
\label{instmeasure}
}
Функцию $f(c)$ и коэффициент $k$ можно найти только прямым вычислением детерминанта. В частности, $f(c)=(1+|c|^2)^{-2}$, так что интеграл по $c$ дает просто конечный множитель.

Легко видеть, что интеграл $Z[w]$ не зависит от константы связи $g$.
Из-за вклада ультрафиолетового и инфракрасного обрезания этот интеграл
не будет буквально инвариантен относительно конформных преобразований
параметров $a_j$, $b_j$. Он будет преобразовываться по правилу:
$$
Z[w]\to Z[w']\prod^q_{j=1}\left|da'_j\over da_j\right|^{2\alpha}
\left|db'_j\over db_j\right|^{2\alpha}
$$
с некоторым $\alpha$. Отсюда следует, что
$$
Z[w]\sim\prod_{i<j}|a_i-a_j|^{-4\alpha}|b_i-b_j|^{-4\alpha}
\prod_{i\ne j}|a_i-b_j|^{4\alpha}.
$$
Некоторыми достаточно сложными вычислениями можно показать, что
$\alpha=1/2$. Если поверить в это, то получится
\eq{
Z_q\sim{\lambda^q\over(q!)^2}\int\prod^q_{j=1}d^2a_j\,d^2b_j\,
\prod_{i<j}|a_i-a_j|^2|b_i-b_j|^2\prod_{i,j}|a_i-b_j|^{-2},
\label{Zqfin}
}
где $\lambda\sim e^{-4\pi/g}$.

Легко проверить, что это плазма, описываемая моделью синус-Гордона с
$\beta^2=1$ или моделью Тирринга с $g=0$, то есть свободным массивным
фермионом. Это значит, что инстантоны в модели генерируют массу.

Дефект приведенных рассуждений состоит в том, что мы учитывали только
инстантонные решения. Мы можем, конечно, учесть и антиинстантонные
решения. Однако реалистичное описание модели может быть только при
использовании флуктуаций вблизи функций, содержащих как инстантоны, так
и антиинстантоны. К сожалению, такое описание пока отсутствует.

Имеется одно важное следствие существования топологического числа
(\ref{qint}). Дело в том, что действие $O(3)$-модели можно
модифицировать:
\eq{
S_\theta(\bn)=S(\bn)+i\theta q
={1\over2g}\int d^2x\,(\d_\mu\bn)^2
+i{\theta\over8\pi}
\int d^2x\,\bn(\d_\mu\bn\times\d_\nu\bn)\epsilon^{\mu\nu}.
\label{thetaaction}
}
Последний член называют {\it $\theta$-членом}. Физические свойства
модели существенно зависят от $\theta$, так как статсумма (и
производящий функционал) записываются в виде
$$
Z=\sum^\infty_{q=-\infty}e^{i\theta q}Z_q.
$$
В частности, известно, что при $\theta=\pi$
$O(3)$-модель безмассова, но не масштабно-инвариантна.

\bigbreak
\bigskip
\noindent{\bf Литература}
\medskip
1. А.~А.~Белавин, А.~М.~Поляков, {\it Метастабильные состояния двумерного изотропного ферромагнетика}, Письма в ЖЭТФ 22 (1975) 503--506.

2. V.~A.~Fateev, I.~V.~Frolov, A.~S.~Shvarts, {\it Quantum Fluctuations of Instantons in the Nonlinear Sigma Model}, Nucl.\ Phys.\ B154 (1979) 1--20.

[Обе статьи имеются в сборнике "Инстантоны, струны и конформная теория поля", под ред.\ А.~А.~Белавина, 2002].

\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip
{\bf 1.}~С помощью подстановки (\ref{jacsubst}) получите
(\ref{jacobian}).

{\bf 2.}~Выведите тождество (\ref{intid}).

{\bf 3.}~Получите (\ref{sdcpos}), (\ref{sdcneg}) из (\ref{sdpos}),
(\ref{sdneg}).



\end{document}
