\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,russian,fullpage}

\allowdisplaybreaks

\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\def\eq#1{\begin{equation}#1\end{equation}}
\def\Align#1{\begin{align}#1\end{align}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}#1\end{aligned}}
\def\Gather#1{\begin{gather}#1\end{gather}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}#1\end{gathered}}
\def\Multline#1{\begin{multline}#1\end{multline}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}

\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}

\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\begin{document}

\centerline{\bf Лекция~2}
\centerline{\bf Бозонизация модели Тирринга}
\bigskip
Рассмотрим {\it массивную модель Тирринга} в пространстве Минковского:
\eq{
S^{MT}[\psi,\bpsi]
=\int d^2x\,
\left(\bpsi(i\hat\d-m)\psi-{g\over2}(\bpsi\gamma^\mu\psi)^2\right).
\label{MT}
}
Здесь $\psi(x)$, $\bpsi(x)$ --- фермионное поле и дираковски сопряженное
ему поле, $\gamma^\mu$ --- матрицы Дирака, а $\hat\d=\gamma^\mu\d_\mu$.
Матрицы Дирака удовлетворяют стандартным соотношениям
$$
\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu=2g^{\mu\nu},
\qquad
\gamma^{\mu+}=\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0.
$$
В двумерном случае гамма-матрицы можно записать в виде:
\eq{
\gamma^0=\pMatrix{&-i\\i&},
\qquad
\gamma^1=\pMatrix{&i\\i&},
\qquad
\gamma^3=\gamma^0\gamma^1=\pMatrix{1&\\&-1}.
\label{gamma-matrices}
}
В модели имеется сохраняющийся ток
\eq{
j^\mu=\bpsi\gamma^\mu\psi.
\label{MTcurrent}
}
В случае $m=0$ имеется еще один сохраняющийся ток
\eq{
j_3^\mu=\bpsi\gamma^3\gamma^\mu\psi
=\epsilon^{\mu\nu}j_\nu.
\label{MT3current}
}

В прошлый раз мы рассматривали модель синус-Гордона:
\eq{
S^{SG}[\phi]
=\int d^2x\,
\left({(\d_\mu\phi)^2\over8\pi}+\mu\cos\beta\phi\right).
\label{SG}
}
В модели имеется топологическое число
\eq{
q={\beta\over2\pi}(\phi(t,+\infty)-\phi(t,-\infty)),
\label{topnumber}
}
принимающее целые значения. Его можно записать в виде
\eq{
q={\beta\over2\pi}\int^\infty_{-\infty} dx\,\d_1\phi(t,x).
}
Это позволяет найти ток, ответственный за топологический заряд:
\eq{
j^\mu_{\rm top}=-{\beta\over2\pi}\epsilon^{\mu\nu}\d_\nu\phi.
\label{topcurrent}
}

В этой лекции мы убедимся, что массивная модель Тирринга и модель
синус-Гордона эквивалентны~[2,3], причем параметры связаны соотношениями
\Align{
g
&=\pi(\beta^{-2}-1),
\label{gbeta}
\\
\mu
&\sim mr_0^{\beta^2-1},
\label{mum}
}
а тирринговский ток совпадает с топологическим:
\eq{
j^\mu=j^\mu_{\rm top}.
\label{MT-SG-cur}
}
Это исключительно важное соответствие, называемое {\it бозонизацией}.
Уравнение (\ref{MT-SG-cur}) играет ключевую роль в бозонизации.

Перепишем действие модели Тирринга, используя явный вид гамма-матриц:
$$
S^{MT}[\psi,\bpsi]
=\int d^2x
(i\psi^+_1(\d_0+\d_1)\psi_1+i\psi^+_2(\d_0-\d_1)\psi_2
+im(\psi^+_1\psi_2-\psi^+_2\psi_1)
-2g\psi^+_1\psi^+_2\psi_2\psi_1).
$$
Подставляя $z=x^1-x^0$, $\bz=x^1+x^0$, получаем
$$
S^{MT}[\psi,\bpsi]
=\int d^2x
(2i\psi^+_1\bd\psi_1-2i\psi^+_2\d\psi_2
-im(\psi^+_1\psi_2-\psi^+_2\psi_1)
-2g\psi^+_1\psi^+_2\psi_2\psi_1).
$$
В этих компонентах тирринговский ток имеет вид:
$$
j^z=-2\psi^+_2\psi_2,
\qquad
j^\bz=2\psi^+_1\psi_1.
$$

Рассмотрим случай $m=0$, который допускает точное решение~[1]. Начнем с
решения классических уравнений движения
\eq{
\Aligned{
\bd\psi_1
&=-ig\psi^+_2\psi_2\psi_1,
\\
\d\psi_2
&=ig\psi^+_1\psi_1\psi_2.
}
\label{Teqmotion}
}
Из сохранения $j_3^\mu=\epsilon^{\mu\nu}j_\nu$ следует, что ток $j^\mu$
можно представить в виде
\eq{
j^\mu=-{\beta\over2\pi}\d^\mu\tphi.
\label{Ttphi}
}
Здесь $\tphi$ и $\phi$ связаны между собой, как это описано в
предыдущей лекции, и удовлетворяют уравнениям движения
$$
\d_\mu\d^\mu\phi=\d_\mu\d^\mu\tphi=0.
$$
Общее решение этих уравнений можно записать в виде
\eq{
\Aligned{
\phi(x)
&=\varphi(z)+\bvarphi(\bz),
\\
\tphi(x)
&=\varphi(z)-\bvarphi(\bz),
}
}
где $\varphi(z)$ и $\bvarphi(\bz)$ --- произвольные функции только $z$ и
$\bz$ соответственно. Коэффициент в (\ref{Ttphi}) произволен. Мы выбрали его так, чтобы формально выполнялось соотношение~(\ref{MT-SG-cur}).

Мы видим, что безмассовая модель эквивалентна свободному безмассовому
бозону. Из (\ref{MT-SG-cur}) и (\ref{Ttphi}) имеем
\eq{
{\beta\over2\pi}\d\varphi=\psi^+_1\psi_1,
\qquad
{\beta\over2\pi}\bd\bvarphi=\psi^+_2\psi_2.
\label{Tcureq}
}
Дальнейшее решение этих уравнений вместе с (\ref{Teqmotion}) в
классическом случае неоднозначно. Проще обстоит дело как раз в квантовом
случае. Давайте искать решение уравнений (\ref{Tcureq}) в виде
\eq{
\psi_i(x)=\eta_i\sqrt{N_i\over2\pi}
e^{i\alpha_i\varphi(z)+i\beta_i\bvarphi(\bz)},
\qquad
\psi^+_i(x)=\eta_i\sqrt{N_i\over2\pi}
e^{-i\alpha_i\varphi(z)-i\beta_i\bvarphi(\bz)},
\label{psibpsiansatz}
}
где $\eta_i$ --- алгебраические множители, необходимые, чтобы обеспечить
фермионное поведение полей~$\psi_i$. Оказывается, что решения можно
найти, если положить
\eq{
\eta_1^2=\eta_2^2=i,
\qquad
\eta_1\eta_2=-\eta_2\eta_1.
\label{algfactors}
}
В этом случае $(\eta_1\eta_2)^2=1$. Нетрудно проверить, что предположение $\eta_i^+=\eta_i$ НЕ согласуется с алгеброй~(\ref{algfactors}). Однако, как мы сейчас увидим, чтобы регуляризованное произведение $\psi_i^+\psi_i$ было эрмитовым, необходимо, чтобы операторы $\psi_i$ и $\psi_i^+$ не были бы эрмитово-сопряжены.

Прежде всего, потребуем, чтобы поля $\psi_i(x)$ вели себя как фермионы.
Поскольку%
\footnote{Мы всюду исключаем $R$, так как знаем, что инфракрасное
обрезание в конечном итоге никуда не войдет.}
\eq{
\psi_i(x')\psi_j(x)
=\eta_i\eta_j{\sqrt{N_iN_j}\over2\pi}
(z'-z)^{\alpha_i\alpha_j}
(\bz'-\bz)^{\beta_i\beta_j}
e^{i\alpha_i\varphi(z')+i\beta_i\bvarphi(\bz')
+i\alpha_j\varphi(z)+i\beta_j\bvarphi(\bz)},
\label{psipsi}
}
причем это выражение хорошо продолжается в эвклидову область,
легко получить, что
\eq{
\alpha_i^2-\beta_i^2\in2\Z+1,
\qquad
\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2\in2\Z.
\label{fermion-limitation}
}
Из (\ref{psipsi}) видно, что произведения вроде $\psi^+_1\psi_1$ плохо
определены. Давайте {\it определим\/} эти произведения следующим
образом. Рассмотрим произведение, например
\eq{
\psi^+_1(x')\psi_1(x)
=i{N_1\over2\pi}(z'-z)^{-\alpha_1^2}
\left(\bz'-\bz\right)^{-\beta_1^2}
\left(
1-i\alpha_1(z'-z)\d\phi(x)-i\beta_1(\bz'-\bz)\bd\phi(x)+\ldots
\right).
\label{bpsi1psi1}
}
Усредним это произведение по окружности $|z'-z|^2=r_0^2$ и будем считать
$r_0$ малым. Старший член в разложении по $r_0$ примем за
$\psi^+_1(x)\psi_1(x)$. Предположим, что
\eq{
\alpha_1^2-\beta_1^2=1.
\label{eq1}
}
Тогда первый и третий члены в разложении (\ref{bpsi1psi1}) обратятся в
нуль. Старшим ненулевым членом будет второй:
$$
iN_1r_0^{-2\beta_1^2}\left(-i\alpha_1\d\varphi\over2\pi\right).
$$
Его мы и отождествляем с~$\psi^+_1\psi_1$. Мы видим, что если бы мы потребовали буквальной эрмитовой сопряженности $\psi$ и $\psi^+$, множитель $i$ в $-i\alpha_1\varphi(z)$ испортил бы нам эрмитовость оператора~$\psi^+_1\psi_1$.

Сравнивая с (\ref{Tcureq}), получаем
\eq{
\beta=r_0^{-2\beta_1^2}N_1\alpha_1.
\label{betaN1}
}
Аналогично, полагая
\eq{
\alpha_2^2-\beta_2^2=-1,
\label{eq2}
}
получим
\eq{
\beta=r_0^{-2\alpha_2^2}N_2\beta_2.
\label{betaN2}
}
Теперь рассмотрим уравнения движения (\ref{Teqmotion}). Подставляя
(\ref{Tcureq}) и (\ref{psibpsiansatz}) , получим
$$
\Aligned{
i\beta_1\bd\bvarphi e^{i\alpha_1\varphi+i\beta_1\bvarphi}
&=-ig{\beta\over2\pi}\bd\bvarphi e^{i\alpha_1\varphi+i\beta_1\bvarphi},
\\
i\alpha_2\d\varphi e^{i\alpha_2\varphi+i\beta_2\bvarphi}
&=ig{\beta\over2\pi}\d\varphi e^{i\alpha_2\varphi+i\beta_2\bvarphi}.
}
$$
Отсюда получаем
\eq{
\alpha_2=-\beta_1={g\beta\over2\pi}
\label{eq3}
}

Чтобы зафиксировать коэффициенты $\alpha_i$, $\beta_i$, нужно узнать
еще нормировочные множители $N_i$. Вместо того, чтобы аккуратно
извлекать сингулярные члены в антикоммутаторах, давайте просто
зафиксируем их так, чтобы член
$-m\bpsi\psi=im(\psi^+_1\psi_2-\psi^+_2\psi_1)$ был бы пропорционален
$\cos\beta\phi$.

Рассмотрим разложение
$$
\psi^+_2(x')\psi_1(x)
=-\eta_1\eta_2{\sqrt{N_1N_2}\over2\pi}
(z'-z)^{-\alpha_1\alpha_2}(\bz'-\bz)^{-\beta_1\beta_2}
\left(
e^{i(\alpha_1-\alpha_2)\varphi(z)+i(\beta_1-\beta_2)\bvarphi(\bz)}+\ldots
\right).
$$
Первый член выживает при усреднении по углам, если
\eq{
\alpha_1\alpha_2=\beta_1\beta_2,
\label{eq4}
}
что согласуется с (\ref{eq1}--\ref{eq3}) и дает, кроме того
\eq{
\alpha_1=-\beta_2
\label{eq4a}
}
Если отождествить $-i\psi^+_2\psi_1$ с $e^{i\beta\phi}$, то мы получим
\Align{
\alpha_1-\alpha_2
&=\beta,
\label{eq5}
\\
\beta_1-\beta_2
&=\beta.
\label{eq6}
}
Из (\ref{eq1}), (\ref{eq3}), (\ref{eq4a}), (\ref{eq5}) легко получить
\eq{
\Aligned{
\alpha_1=-\beta_2
&={1\over2}\left({1\over\beta}+\beta\right),
\\
\alpha_2=-\beta_1
&={1\over2}\left({1\over\beta}-\beta\right).
}
}
Подставляя ответ в (\ref{eq3}), получаем (\ref{gbeta}).

Из (\ref{betaN1}), (\ref{betaN2}) находим
\eq{
N_1=-N_2=-r_0^{{\beta^2\over2}+{1\over2\beta^2}-1}{2\beta^2\over\beta^2+1},
\label{N12}
}
Кроме того, можно принять, что
$$
\eta_2\eta_1|0\rangle=|0\rangle
$$
всюду в $\psi^+_1\psi_2-\psi^+_2\psi_1$. Если считать, что в теории
возмущений этот оператор всегда стоит справа от всех других, то найдем
\eq{
i(\psi^+_1\psi_2-\psi^+_2\psi_1)
={2\over\pi}{\beta^2\over\beta^2+1}r_0^{\beta^2-1}
\cos\beta\phi,
\label{psicos}
}
откуда находим (\ref{mum}).

Строго говоря, пока мы нашли только точное решение для безмассовой
модели Тирринга. Однако из наших рассуждений следует, что теории
возмущений по члену $m\bpsi\psi$ для модели Тирринга и теория
возмущений по $\cos\beta\phi$ для модели синус-Гордона совпадают, что
дает сильное основание в пользу совпадения теорий. Отметим, что
константа связи $g$ в модели Тирринга не перенормируется, в то время
как <<масса>> $m$ не является физической величиной и существенно
перенормируется. Это связано с тем, что массовый член
$\psi^+_1\psi_2-\psi^+_2\psi_1$ имеет масштабную размерность $\beta^2$
из-за переопределения произведения полей. Измерима
константа $\mu$ модели синус-Гордон, причем
\eq{
\mu\sim m_{\rm phys}^{2-\beta^2},
\qquad
m\sim m_{\rm phys}(m_{\rm phys}r_0)^{1-\beta^2}
=m_{\rm phys}(m_{\rm phys}r_0)^{g/\pi\over1+g/\pi},
\label{mphys}
}
где $m_{\rm phys}$ --- масса физических
возбуждений (например, тирринговских фермионов) в теории. Коэффициент пропорциональности между параметром $\mu$ и $m_{\rm phys}^{2-\beta^2}$ известен точно~[4].

Остается еще один вопрос: чему соответствуют тирринговские фермионы в модели синус-Гор\-дона? Из равенства между топологическим и фермионным токами можно заключить, что они соответствуют кинкам --- нетривиальным возбуждениям с топологическими числами $q=\pm1$.

\bigbreak
\leftline{\bf Литература}
\medskip
[1]~W.~E.~Thirring, {\it Annals Phys.}\ {\bf 3} (1958) 91

[2]~S.~Coleman, {\it Phys.\ Rev.}\ {\bf D11} (1975) 2088

[3]~S.~Mandelstam, {\it Phys.\ Rev.}\ {\bf D11} (1975) 3026

[4]~Al.~B.~Zamolodchikov, {\it Int.\ J.\ Mod.\ Phys.}~{\bf A10} (1995) 1125

\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip
{\bf 1.}~Докажите, что в безмассовой модели Тирринга ток (\ref{MT3current})
сохраняется.

{\bf 2.}~Выведите (\ref{psipsi}).

{\bf 3.}~Покажите, что классическая теория синус-Гордона имеет решения
$$
\phi(t,x)=\pm{4\over\beta}\arctg\exp{m(x-vt-x_0)\over\sqrt{1-v^2}}
$$
при $m^2=4\pi\mu\beta^2$, при $|v|<1$ и произвольном $x_0$. Найти
топологические заряды этих решений.

{\bf 4.}~Повторите вывод для случая свободного фермиона ($g=0$).
Проверьте, что в этом случе $m_{\rm phys}=m=\pi\mu$.

{\bf 5.}~В теории свободного бозонного поля показать, что тензор
энергии-импульса имеет только две ненулевые компоненты:
$$
T_{zz}=-{T(z)\over2\pi}={(\d\phi)^2\over4\pi},
\qquad
T_{\bz\bz}=-{\bar T(z)\over2\pi}={(\bd\phi)^2\over4\pi}.
$$
В квантовом случае произведения нужно заменить на нормальные
произведения $\lcolon\ldots\rcolon$, определенные следующим образом:
$$
\varphi_1\varphi_2
=\lcolon\varphi_1\varphi_2\rcolon+\langle\varphi_1\varphi_2\rangle,
\qquad
\lcolon\varphi_1\ldots\varphi_n\rcolon\varphi_{n+1}
=\lcolon\varphi_1\ldots\varphi_n\varphi_{n+1}\rcolon
+\sum^n_{i=1}\lcolon\varphi_1\ldots\widehat{\varphi_i}\ldots\varphi_n\rcolon
\langle\varphi_i\varphi_{n+1}\rangle
$$
(шляпка означает опущенный множитель).

Покажите, что компоненты тензора энергии-импульса имеют следующее
операторное разложение
$$
T(z')T(z)={1/2\over(z'-z)^4}+{2T(z)\over(z'-z)^2}+{\d T(z)\over z'-z}
+O(1).
$$
Покажите, что
$$
T(z')V_\alpha(z)
={\Delta_\alpha V_\alpha(z)\over(z'-z)^2}
+{\d V_\alpha(z)\over z'-z}+O(1),
\qquad
V_\alpha(z)=e^{i\alpha\varphi(z)}=\lcolon e^{i\alpha\varphi(z)}\rcolon,
$$
причем $\Delta_\alpha=\alpha^2/2$ --- масштабная размерность поля
$V_\alpha(z)$.

{\bf 6.}~Покажите, что в модели Тирринга, в согласии с (\ref{mphys}), в
однопетлевом приближении масса перенормируется следующим образом
$$
m_{\rm phys}=m\left(1+{g\over\pi}\log{\Lambda\over m}\right),
$$
где $\Lambda$ --- параметр обрезания по импульсам.

При выводе диаграммной техники удобно пользоваться представлением для
действия модели Тирринга со вспомогательным полем:
$$
S[\psi,\bar\psi,A^\mu]=\int d^Dx\,
\left(\bar\psi(i\hat\d-\hat A-m)\psi
+{1\over2g}A^\mu A_\mu\right).
$$



\end{document}
