\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,russian,fullpage}

\allowdisplaybreaks

\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\def\eq#1{\begin{equation}#1\end{equation}}
\def\Split#1{\begin{split}#1\end{split}}
\def\Align#1{\begin{align}#1\end{align}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}#1\end{aligned}}
\def\Gather#1{\begin{gather}#1\end{gather}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}#1\end{gathered}}
\def\Multline#1{\begin{multline}#1\end{multline}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}

\def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}

\def\lcolon{\mathopen{\,:}}
\def\rcolon{\mathclose{:\,}}

\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\begin{document}

\centerline{\bf ������~1}
\centerline{\bf $O(2)$-������ � ������� ����������--�������}
\bigskip

����� �� ����� ����� ������������� ������ � ���������
������������-������� � ���������
\eq{
S[\bn]={1\over2g}\int d^2x\,(\d_\mu\bn)^2,
\qquad
\bn^2\equiv\sum^N_{i=1}n^2_i=1,
\label{O(N)-model}
}
������� ���������� �������� $\bn$-���� ��� $O(N)$-��������. ��� ������
�������� ����� $O(N)$-����������, ��������������� ��������� �����. ���
����������� �������� ������ �����-��\-��\-���, �� ���� �������, � ������� ���� ����� �� �������������.

������ �� ���������� ���������� ������ �� ���� ����� --- $O(2)$-������.
��� ����������� �������������. �������
$$
n_1=\cos\varphi,
\qquad
n_2=\sin\varphi.
$$
�����
\Align{
S[\varphi]
&={1\over2g}\int d^2x\,(\d_\mu\varphi)^2,
\label{varphiaction}
\\
\varphi(x)
&\sim\varphi(x)+2\pi.
\label{varphiequiv}
}
��������� ������� ��������, ��� �� ������� �������� ���� $\varphi$ �
$\varphi+2\pi$ ��������������.

�������� ��, �� ����� ����������� ���� � ��������������� ���������,
���������� ��������� �������:
\eq{
\langle
e^{im\varphi(x)}e^{in\varphi(y)}
\rangle
\sim
\left(-(x-y)^2\right)^{{g\over4\pi}mn},
\qquad
m,n\in\Z.
\label{masslesscorr}
}
�� ����� ���� ��� ������ �� ��� � ��������� ����������� ������� ��
�������� ��������� $g$. ����� � ���� ���������, ���������� ������������
������� ��������� ����
\eq{
\nabla^2\varphi=0
\label{eqmotion}
}
� ���������� ������������. ���������� ����� �������
\eq{
\varphi_{\vq\vx}(x)
=\sum^n_{a=1}q_a\Im\log(z-z_a)
=\sum^n_{a=1}{q_a\over2i}\log{z-z_a\over\bz-\bz_a},
\qquad
q_a\in\Z,
\label{vortices}
}
���
$$
\Aligned{
z
&=x^1+ix^2=x^1-x^0,
\\
\bz
&=x^1-ix^2=x^1+x^0.
}
$$
��� �������, ���� � ����� ������������� (�������������� ��������) �
������ $z=z_a$, ����� �����. ��� ������������ ����� ������� �
$n$ ������� � ������ $z_a$ � ��������������� $q_a$. � ���������� ������
$n=1$ ������� � ���������� ����������� $z-z_1=re^{i\theta}$ ����� ���
$$
\varphi_{q_1x_1}(x)=q_1\theta.
$$

����� ��������, ��� ������� (\ref{vortices}) ������������� ��������� (\ref{eqmotion}) ���� � ������ $x=x_a$. �������������,
$$
\d_\mu\d^\mu{1\over2i}\log{z\over\bz}=\d_\mu\d^\mu\arctg{x^2\over x^1}
=-\epsilon_{\mu\nu}\d_\mu{x^\nu\over r^2}
=\epsilon^{\mu\nu}\d_\mu\d_\nu\log{1\over r}=0.
$$
����� ����, ��� ����� ������� � ���������� ������ ��������� ������� $\varphi(x)$ �� �����
$$
\int d^2x\,\varphi(x)\d_\mu\d^\mu{1\over2i}\log{z\over\bz}
=\varphi(0)\int d^2x\,\epsilon^{\mu\nu}\d_\mu\d_\nu\log{1\over r}=0.
$$
������, ���������������� ����������� �� $\varphi(x)$ � ����� $x=0$ �� ���� ������ ���� �� ������������ ���������, ���� �� ������������ ���������� � ����. ������ ���������� ��������
\eq{
\int d^2x\,\d^\mu\varphi\,\d_\mu\varphi_{\vq\vx}=0.
\label{varphi-varphiqx}
}

�������� �������� �������� �� �������� �������� (\ref{vortices}):
\Align{
S[\varphi_{\vq\vx}]
&={2\over g}\int d^2x\,\d\varphi_{\vq\vx}\,\bd\varphi_{\vq\vx}
\nonumber
\\
&={1\over2g}\int d^2x\sum_{a,b}{q_aq_b\over(z-z_a)(\bz-\bz_b)}
\nonumber
\\
&={1\over2g}\left(
\sum_aq^2_a\int{d^2x\over|z-z_a|^2}
+\sum_{a<b}q_aq_b\int d^2x\,
{(z-z_a)(\bz-\bz_b)+(\bz-\bz_a)(z-z_b)\over|z-z_a|^2|z-z_b|^2}.
\right)
\nonumber
}
������ �������� ������� ������, �� ���������� � �� �������, � �� �����
���������:
$$
\int{d^2x\over|z-z_a|^2}
\simeq2\pi\int^R_{r_0}{dr\over r}
=2\pi\log{R\over r_0},
$$
��� $R$ � $r_0$ --- ��������� ������������� � �����������������
��������� ��������������. ������ �������� ���������� ������ �� �������
���������. ����� ��� �����, ������ �������, ��� $x_a=y_a=0$, $x_b=X$,
$y_b=0$ � ��������� ���� ��������. �����
\Multline{
\int d^2x\,
{(z-z_a)(\bz-\bz_b)+(\bz-\bz_a)(z-z_b)\over|z-z_a|^2|z-z_b|^2}
\\
=2\int d^2x\,{x(x-X)+y^2\over(x^2+y^2)((x-X)^2+y^2)}
=2\int^1_0 dt\int d^2x\,
{x(x-X)+y^2\over(x^2+y^2+t(X^2-2xX))^2}
\\
=\left|x\to x+tX\right|
=2\int^1_0 dt\int d^2x\,
{x^2+y^2+(2t-1)xX-t(1-t)X^2\over(x^2+y^2+t(1-t)X^2)^2}
\\
\simeq
4\pi\int^1_0dt\int^R_0dr\,
{r(r^2-t(1-t)X^2)\over(r^2+t(1-t)X^2)^2}
\\
\simeq2\pi\int^1_0dt\int^{R^2}_0{d\xi\over\xi+t(1-t)X^2}
-4\pi\int^1_0dt\int^\infty_0d\xi\,{t(1-t)X^2\over(\xi+t(1-t)X^2)^2}
\\
=2\pi\int^1_0dt\log{R^2\over t(1-t)X^2}-4\pi
=2\pi\log{R^2\over|z_a-z_b|^2}-4\pi\int^1_0dt\,\log t-4\pi
=2\pi\log{R^2\over|z_a-z_b|^2}
\nonumber
}
���������� ��� ������� � �������� ��� ��������, �������
\Align{
S[\varphi_{\vq\vx}]
&={1\over2g}\left(
\pi\sum_aq^2_a\log{R^2\over r^2_0}
+2\pi\sum_{a<b}q_aq_b\log{R^2\over|z_a-z_b|^2}
\right)
\nonumber
\\
&={\pi\over2g}\left(\sum_a q_a\right)^2\log R^2
-{\pi\over2g}\sum_a q^2_a\log r^2_0
+{1\over2g}\sum_{a<b}q_aq_b\,2\pi\log{1\over|z_a-z_b|^2}.
\label{claction}
}
������ ���� ��������� � �������������, ����� ������ ������� �����, ���� ��������� � ������� �� ����� ����. ��� ������, ��� � ������� ������� ������ ����������� ������� �������������
\eq{
\sum_a q_a=0.
\label{neutrality}
}
������ ��������� � (\ref{claction}) ��������������� ����������. ���� �� ������������ ������
�����-���� ������������ ��������, �������� ���������� �� ��� ������
������ ����
$$
S[\phi]
=\int d^2x\,\left(
|\d_\mu\phi|^2-{\lambda\over4}(|\phi|^2-\phi^2_0)^2
\right),
$$
��� �������� ����� �������� � ����� �������� �� ��������� ���� ������. ���� ��
������, ��� �������� $r_0$ �� ������ ����������� �� ���������.

������� ������ ��������� �������� (��������) �������������� �������� �
����
\eq{
Z[J]
=\sum^\infty_{n=0}{r_0^{-2n}\over n!}
\sum_{q_1,\ldots,q_n\atop q_1+\cdots+q_n=0}
\int d^2x_1\ldots d^2x_n\,
\int D\varphi\,
e^{-S[\varphi+\varphi_{\vq\vx}]-(J,\varphi+\varphi_{\vq\vx})},
\label{zj}
}
��� �������� ������� ������ �� ���������� ����� $\varphi$ ��� �������
��������������. ��������� $1/n!$ ���������� �� ����, ��� �������
(\ref{claction}) �� �������� ��� ������������� $z_a\leftrightarrow z_b$,
$q_a\leftrightarrow q_b$. ����� �������, ������������
$\sum_{q_1,\ldots,q_n} \int d^2x_1\ldots d^2x_n$ ��������� ���� � �� ��
������������ $n!$ ���. ��������� $r_0^{-2n}$ �������� ��� ����, �����
������� �������� ������������. ����� ���� �����������, ��� ����� �����
�������� �� ����� �������, � ������������� � ������� ������� $\sim r_0$.

�������� �������� �� ���� �������������� �������:
$$
S[\varphi+\varphi_{\vq\vx}]
=S[\varphi_{\vq\vx}]+S[\varphi]
+{1\over g}\int d^2x\,\d^\mu\varphi\,
\d_\mu\varphi_{\vq\vx}.
$$
������ ���� ������ ����������~(\ref{claction}). �������� � ��������� ����� ����� ���� � ����~(\ref{varphi-varphiqx}). ������
\Align{
Z[J]
&=Z_0[J]\sum^\infty_{n=0}{1\over n!}
\sum_{q_1,\ldots,q_n\atop q_1+\cdots+q_n=0}
r_0^{{\pi\over g}\sum q_a^2-2n}\int d^2x_1\ldots d^2x_n\,
\prod_{a<b}|z_a-z_b|^{2{\pi\over g}q_aq_b}\,
e^{-(J,\varphi_{\vq\vx})},
\\
Z_0[J]
&=\int D\varphi\,e^{-S[\varphi]-(J,\varphi)}.
}
�� �������������� (\ref{varphiequiv}) �������, ��� �� ����� ������������� ������ ��������� $J$ ����
\eq{
J_{\vJ\vy}(x)=-i\sum^k_{j=1}J_j\delta(x-y_j),
\qquad
J_i\in\Z.
}
�����
\Align{
Z[J_{\vJ\vy}]
&=\sum^\infty_{n=0}{1\over n!}
\sum_{q_1,\ldots,q_n\atop q_1+\cdots+q_n=0}
r_0^{{\pi\over g}\sum_a q_a^2-{g\over4\pi}\sum_j J^2_j-2n}
\int d^2x_1\ldots d^2x_n\,
\prod_{a<b}|z_a-z_b|^{{2\pi\over g}q_aq_b}
\nonumber
\\
&\quad\times
\prod_{a,j}\left(w_j-z_a\over\bw_j-\bz_a\right)^{q_aJ_j/2}\,
\prod_{j<j'}|w_j-w_{j'}|^{{g\over2\pi}J_jJ_{j'}},
\label{ZJfin}
}
��� $w_j=y^1_j+iy^2_j$.

�� �������� ����� ����� �������������� ����� ������, ������� �������
����� ����� ����� ������ (������ ������� ����������� ���������
��������������� �������� ������). �������� ������ $\varphi$ ������
������ � ��������� ������, ������, � ��������, ����� �������, ��� ���
����� ���������� ����� $g$ (<<������ �����������>>) ������ �������������
� �������������� ������� �������� ����������, � �� ����� ��� ���
������� $g$ (<<������� �����������>>) ������� ���������� �������������,
�������������� ������� ������� ��������������� � ������ ��������. �����
������� �� ��������� ����� ���������� {\it ���������
(������������--)����������--�������}.

�����������, ��� �� �� ����� �������������� ���� ��� �� ������
����������. ��� �� �����, ����� ����� ���������� ����� ��������
����������--�������. �������������, ������ �� ����������, ����� �����
�������� ������������ � �������� ������, �� ���� ��� ���������, �����
������, �������� ����������� ��������� ��� ������� $n$. ����� ����,
��-�� ��������������������
$$
\sum_{a<b}q_aq_b={1\over2}\sum_{a\ne b}q_aq_b
={1\over2}\left(\sum_a q_a\right)^2-{1\over2}\sum_a q_a^2
=-{1\over2}\sum_a q_a^2\le-{n\over2}
$$
������ �������, ��� ��� ��������� �������� ���
$$
2{\pi\over g}\left(-{n\over2}\right)+2(n-1)<0.
$$
��� ������� $n$ ��������, ��� ����������� ���� �������� $g<g_{\rm KT}$,
������
\eq{
g_{\rm KT}={\pi\over2}.
\label{gKT}
}
��� $g>g_{\rm KT}$ ����� �� ������������ � ������� ����� ���� ��� ������
� �������� �������������� ������. ������� ��������, ��� ����� �� �������
�� ��������� ����������������� ��������� $r_0$, ��� ��� ������� �������
����� ����� ��� ����� ������ ����� ���� �����. �������, ��� �������
(\ref{gKT}) ��� ��� �������� ��������, ��� ������� �������� ���������
��������� $r_0^{{\pi\over g}\sum q_a^2-2n}$ ��� ������� ������� ������
$q=\pm1$. ��������� � ������ ��� ������� ��������� ����������, �����
$r_0$, �������������� ����� ��������������� $r_0$, �, ����� �������,
���� � ``���������'' $O(2)$-������ ��� ������� ������ �������� ��������
��������. ����������� ��� ����� ��������� ���, ��� ����� ��������������
��� �������� ��������� � ������ ������������� ������� ������� ��������
������������.

��������� (\ref{ZJfin}) ����� ���������� ��-�������, ����� ����� ����
$\phi(x)$. ������� ��������, ���
\eq{
\nabla^2{1\over4\pi}\log|x|^2=\delta(x).
\label{2dcoulomb}
}
� ������ $\log{R^2\over|x|^2}$ ������������ ����� ����������
���������� ������������ ��������� ����:
\eq{
S_0[\phi]={1\over8\pi}\int d^2x(\d_\mu\phi)^2.
\label{S0phi}
}
��������� ��������� �������� � ���� ������ ����� ���
$$
\d_\mu\d^\mu\phi=0,
$$
����� ������ �������� ���� $\tphi$ ��������
\eq{
\d_\mu\tphi=-\epsilon_{\mu\nu}\d^\nu\phi
\label{phidual}
}
���
\eq{
\d\tphi=\d\phi,
\qquad
\bd\tphi=-\bd\phi.
}
���� ��� ������� ����� ���������� ����� ���� �� ���������� ��������,
����� ��������, ��� � �� �������������� �������� ��� ��������� �� ������
������. �������������, ������ ���� $\phi_R(z)$ � $\phi_L(\bz)$ �����������
\eq{
\Aligned{
\phi(x)
&=\phi_R(z)+\phi_L(\bz),
\\
\tphi(x)
&=\phi_R(z)-\phi_L(\bz).
}
\label{phiLR}
}
����� �������������� �������
\eq{
\langle\phi_R(z)\phi_R(z')\rangle_0
=\log{R\over z-z'},
\qquad
\langle\phi_L(\bz)\phi_L(\bz')\rangle_0
=\log{R\over\bz-\bz'},
\qquad
\langle\phi_R(z)\phi_L(\bz')\rangle_0
=0
\label{LRcorr}
}
����������� � �������.

����� ��� ����������� �������������� ������� ����������������
����������. ��������� ��� �������������� ������� �������� �����������
���������, �� �������� �������� ��, ������������� ����������������
���������:
\eq{
e^{i\alpha\phi_{R,L}}\to r_0^{\alpha^2/2}e^{i\alpha\phi_{R,L}},
\qquad
e^{i\alpha\phi}\to r_0^{\alpha^2}e^{i\alpha\phi},
\qquad
e^{\beta\tphi}\to r_0^{-\beta^2}e^{\beta\tphi}.
\label{expredef}
}
����� ���������������� ��������� ��������� ���� ������������� �
����������� ����������� $d=\alpha^2/2$, $\alpha^2$ � $-\beta^2$
��������������. ��� ����������� ��������� � {\it ����������
������������\/} ���� ����������. �� �����������, �������� $O$ ��������
���������� ������������ $d_O$, ���� ��� �������������� �������
����������� �� ��������� � �������
$$
O(x)\to s^{d_O}O(sx)
$$
�� ���� ����������.

�������������� ������� ��������� � ����� ������ �����
\eq{
\Aligned{
\langle e^{i\alpha_1\phi_R(z_1)}\ldots e^{i\alpha_n\phi_R(z_n)}\rangle_0
&=R^{-{1\over2}\left(\sum_a\alpha_a\right)^2}
\prod_{a<b}(z_a-z_b)^{\alpha_a\alpha_b},
\\
\langle e^{i\alpha_1\phi_L(\bz_1)}\ldots
e^{i\alpha_n\phi_L(\bz_n)}\rangle_0
&=R^{-{1\over2}\left(\sum_a\alpha_a\right)^2}
\prod_{a<b}(\bz_a-\bz_b)^{\alpha_a\alpha_b}.
}
\label{expLRcorr}
}
������ �������, ���
\Multline{
\left\langle\prod^k_{j=1}e^{i\beta_j\tphi(y_j)}
\prod^n_{a=1}e^{i\alpha_a\phi(x_a)}\right\rangle_0
\\
=\prod_{a<b}|z_a-z_b|^{2\alpha_a\alpha_b}
\prod_{j<j'}|w_j-w_{j'}|^{2\beta_a\beta_b}
\prod_{a,j}\left(w_j-z_a\over\bw_j-\bz_a\right)^{\alpha_a\beta_j}
\times\Cases{1,\quad\sum\alpha_a=0,\\
0,\quad\text{� ��.~��.}}
\label{tphiphicorr}
}
��� ��������� � �������� ��������� � ��������������� ���������� �~(\ref{ZJfin}) ���
\eq{
\Aligned{
\alpha_a
&=\sqrt{\pi\over g}\,q_a,
\\
\beta_j
&=\sqrt{g\over4\pi}\,J_j,
}
}
������ ��������
\eq{
Z[J_{\vJ\vy}]
=\sum^\infty_{n=0}{1\over n!}
\sum_{q_1,\ldots,q_n\atop q_1+\cdots+q_n=0}
r_0^{{\pi\over g}\sum q_a^2+{g\over4\pi}\sum J_j^2-2n}
\int d^2x_1\ldots d^2x_n\,
\left\langle
\prod^k_{j=1}e^{i\sqrt{g\over4\pi}\,J_j\tphi(y_j)}
\prod^n_{a=1}e^{i\sqrt{\pi\over g}\,q_a\phi(x_a)}
\right\rangle_0.
\label{ZJphi}
}
�������, ��� ��������� ��� ������ ��������� ������������� ������� ����������� ������������ �����
$$
g\leftrightarrow (2\pi)^2g^{-1},
\qquad
k\leftrightarrow n,
\qquad
q_a\leftrightarrow J_j,
\qquad
\phi(x)\leftrightarrow\tphi(x).
$$
����� ����, ���������� ���������� ���� ������� ��������� ����� ���� $\phi$ �~$\tphi$. ������� �� ����� ������������
\eq{
\varphi(x)=\sqrt{g\over4\pi}\tphi(x).
\label{varphi-tphi}
}

������� ������ �����������, �� �������� ������� �������� ��������. �����
������������ ������� � $|q|>1$, ��������� �� ����� ������ � �����������
$r_0$ ������� ������ $|q|$ ���� ������ ������~1. �����, ��������
�������������� ��������� $r_0^{{g\over4\pi}\sum J_j^2}$, ������������
���������� ����� ���������� � ����
\Align{
Z[J_{\vJ\vy}]
&=\sum^\infty_{n=0}{r_0^{2n({\pi\over g}-2)}\over(2n)!}{2n\choose n}
\int d^2x_1\ldots d^2x_{2n}\,
\left\langle
\prod^k_{j=1}e^{i\sqrt{g\over4\pi}\,J_j\tphi(y_j)}
\prod^n_{a=1}e^{i\sqrt{\pi\over g}\phi(x_a)}
\prod^{2n}_{a=n+1}e^{-i\sqrt{\pi\over g}\phi(x_a)}
\right\rangle_0
\nonumber
\\
&=\sum^\infty_{n=0}{r_0^{2n({\pi\over g}-2)}\over(2n)!}
\int d^2x_1\ldots d^2x_{2n}\,
\left\langle
\prod^k_{j=1}e^{i\sqrt{g\over4\pi}\,J_j\tphi(y_j)}
\prod^{2n}_{a=1}\left(
e^{i\sqrt{\pi\over g}\phi(x_a)}+e^{-i\sqrt{\pi\over g}\phi(x_a)}
\right)
\right\rangle_0
\nonumber
\\
&=\left\langle
\prod^k_{j=1}e^{i\sqrt{g\over4\pi}\,J_j\tphi(y_j)}
\exp\left(
2r_0^{{\pi\over g}-2}
\int d^2x\,\cos\sqrt{\pi\over g}\phi(x)
\right)
\right\rangle_0
\nonumber
\\
&=\int D\phi\,
e^{-S_{\rm SG}[\phi]}
\prod^k_{j=1}e^{i\sqrt{g\over4\pi}\,J_j\tphi(y_j)},
}
���
\eq{
S_{\rm SG}[\phi]
=\int d^2x\left({(\d_\mu\phi)^2\over8\pi}-\mu\cos\beta\phi\right)
\label{SGdef}
}
--- �������� ��� ������ �����-������� � �����������
\eq{
\beta=\sqrt{\pi\over g},
\qquad
\mu=2r_0^{{\pi\over g}-2}.
\label{SGparams}
}
����� �������� �� ������ ��� ������ � ��������� ���, � ���� ������
��������� ������ �������. ����� ������������� ������ �����-������� ���
���������� ���������� ������������ ������. ����� ���������� �����������
��������� ���������� ����� �����
$$
d_{\text{pert}}=\beta^2.
$$
����� $d_{\text{pert}}<2$ ���������� ���������� {\it �����������\/}. ���
����������� ������ ��������� ������� �� ������� ��������� � �� ������ ��
�����. ����� $d_{\text{pert}}>2$ ���������� ���������� {\it
�������������\/} � �� ������ ����������� ������������� ���������. ������
$d_{\text{pert}}=2$ ���������� {\it ������������}. � ������ ������
�����-������� ������ �� ������������� ����� �������� ����������--�������.

\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf ���������}
\medskip

��� ��������� �������� ����������� ���������������� ����� � ������ ���������� ���������� ����. ��� �������� �� ����������� ������������� �� ���� $\varphi(z)\equiv\varphi_R(z)$. ������ �����, ������ ���������� ������������ ����� $\lcolon\ldots\rcolon$ � ������� ������������� �����������
$$
\lcolon\varphi(z_1)\ldots\varphi(z_n)\rcolon\varphi(z)
=\lcolon\varphi(z_1)\ldots\varphi(z_n)\varphi(z)\rcolon
+\sum^n_{i=1}\lcolon\varphi(z_1)\mathinner{\mathop{\ldots}^{\strut\widehat i}}
\varphi(z_n)\rcolon
\langle\varphi(z_i)\varphi(z)\rangle
$$
� ��������� �������
$$
\lcolon1\rcolon=1.
$$
����� ������ $\hat i$ ��� ����������� ��������, ��� �� ����������� ������������ �������� $i$-��� ���������. ������ �������� �������, ���
\Multline{
\lcolon\varphi(z_1)\ldots\varphi(z_m)\rcolon
\lcolon\varphi(w_1)\ldots\varphi(w_n)\rcolon=
\\
=\sum^{\min(m,n)}_{k=0}\sum_{1\le i_1<\ldots<i_k\le m\atop
1\le j_1,\ldots,j_k\le n}
\lcolon\varphi(z_1)
\mathinner{\mathop{\ldots}^{\strut\widehat{i_1}\ldots\widehat{i_k}}}\varphi(z_m)
\varphi(w_1)\mathinner{\mathop{\ldots}^{\strut\widehat{j_1}\ldots\widehat{j_k}}}
\varphi(w_n)\rcolon
\prod^k_{l=1}\langle\varphi(z_{i_l})\varphi(w_{j_l})\rangle.
\notag
}

�������� � ����������� �����������. ��������� ��� ������������� ����� ���������. ��-������, ��� ���������� ���������� $[e^{i\alpha\varphi(z)}]_{\textrm{nonren}}$. ��-������, ��� ����������, ���������������� ������������� (\ref{expredef}), $[e^{i\alpha\varphi(z)}]_{\textrm{ren}}$. �, �-�������, ��� ���������� ���������� $\lcolon e^{i\alpha\varphi(z)}\rcolon$.

����������� ������������ ���������� ���������
$$
[e^{i\alpha_1\varphi(z_1)}]_{\textrm{nonren}}
[e^{i\alpha_2\varphi(z_2)}]_{\textrm{nonren}}
=e^{-{1\over2}\alpha_1\alpha_2[\varphi(z_1),\varphi(z_2)]}
[e^{i\alpha_1\varphi(z_1)+i\alpha_2\varphi(z_2)}]_{\textrm{nonren}}
$$
�������� ����� ����������, ��� ��� �������� ����� ������������ ����������. �������������� ������� ���������� ���������
$$
\langle[e^{i\alpha_1\varphi(z_1)}]_{\textrm{nonren}}\ldots
[e^{i\alpha_N\varphi(z_N)}]_{\textrm{nonren}}\rangle
=\left(r_0\over R\right)^{{1\over2}\sum_i\alpha_i^2}
\prod_{i<j}\left(z_i-z_j\over R\right)^{\alpha_i\alpha_j}
$$
�������� ���������������� ������������. ����� �������, ���������� ���������� ����� ����������.

���������� ���������� ������ ����������, ��� �� ����������� ��������������� �������. ��������,
$$
\langle
\lcolon e^{i\alpha_1\varphi(z_1)+\cdots+i\alpha_n\varphi(z_n)}\rcolon
\rangle=1.
$$
�������� � ���, ��� ����������� ���������� ��������� ���� �������� ������������ �������. �������������, ����������� ���������� � ����, ����� ���������, ���
$$
[e^{i\alpha\varphi(z)}]_{\textrm{nonren}}
=\left(r_0\over R\right)^{\alpha^2/2}\lcolon e^{i\alpha\varphi(z)}\rcolon.
$$
����������� ������������ ���������� ��������� ����� ���
$$
\lcolon e^{i\alpha_1\varphi(z_1)}\rcolon
\lcolon e^{i\alpha_2\varphi(z_2)}\rcolon
=\left(z_1-z_2\over R\right)^{\alpha_1\alpha_2}
\lcolon e^{i\alpha_1\varphi(z_1)+i\alpha_2\varphi(z_2)}\rcolon.
$$
�������������� ������� ����� ���
$$
\langle\lcolon e^{i\alpha_1\varphi(z_1)}\rcolon\ldots
\lcolon e^{i\alpha_N\varphi(z_N)}\rcolon\rangle
=\prod_{i<j}\left(z_i-z_j\over R\right)^{\alpha_i\alpha_j}.
$$
��� ��� ��������� ���� �������� �������� ������������ �������~$R$. ������� \emph{���������} ����������������� ���������� ��������
$$
[e^{i\alpha_1\varphi(z_1)+\ldots+i\alpha_n\varphi(z_n)}]_{\textrm{ren}}
\mathrel{\mathop{=}^{\textrm{def}}}
R^{-{1\over2}\left(\sum_i\alpha_i\right)^2}
\lcolon e^{i\alpha_1\varphi(z_1)+\ldots+i\alpha_n\varphi(z_n)}\rcolon.
$$
� ������ $n=1$ ��� ����������� ��������� � ������������~(\ref{expredef}). ��� ����� ����������������� ��������� ����������� ������������ ������ ���������� � �� �������� ������������ �������:
$$
[e^{i\alpha_1\varphi(z_1)}]_{\textrm{ren}}
[e^{i\alpha_2\varphi(z_2)}]_{\textrm{ren}}
=(z_1-z_2)^{\alpha_1\alpha_2}
[e^{i\alpha_1\varphi(z_1)+i\alpha_2\varphi(z_2)}]_{\textrm{ren}}.
$$
�������������� ������� ��������� �������� ������������ �������:
$$
\langle[e^{i\alpha_1\varphi(z_1)}]_{\textrm{ren}}\ldots
[e^{i\alpha_N\varphi(z_N)}]_{\textrm{ren}}\rangle
=R^{-{1\over2}\left(\sum_i\alpha_i\right)^2}
\prod_{i<j}(z_i-z_j)^{\alpha_i\alpha_j}.
$$
������ ��� ��������� ����� ������� ������ ��� $R\to\infty$:
$$
\langle[e^{i\alpha_1\varphi(z_1)}]_{\textrm{ren}}\ldots
[e^{i\alpha_N\varphi(z_N)}]_{\textrm{ren}}\rangle
=\Cases{\prod_{i<j}(z_i-z_j)^{\alpha_i\alpha_j},
&\text{ ���� $\sum_i\alpha_i=0$}\\
0,&\text{ ���� $\sum_i\alpha_i\ne0$}}.
$$
� ���������, �� ����������� ���������
$$
\langle
[e^{i\alpha_1\varphi(z_1)+\ldots+i\alpha_n\varphi(z_n)}]_{\textrm{ren}}
\rangle
=\Cases{1,&\text{ ���� $\sum_i\alpha_i=0$}\\
0,&\text{ ���� $\sum_i\alpha_i\ne0$}}.
$$


\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf ������}
\medskip

{\bf 1.}~������� �������~(\ref{2dcoulomb}).

{\bf 2.}~��������, ��� ��� ���������� ���� $\phi$ �
��������� $S_0[\phi]$ ������ �������������� ������� �����
$$
\langle\phi(x)\phi(y)\rangle=\log{R^2\over(x-y)^2}
$$
� ��������� ��������� ������������� ��������� $R$.

{\bf 3.}~������� �������~(\ref{expLRcorr}).

{\bf 4.}~�����������, ��� ���� $\phi(x)$ � ��������� $S_0[\phi]$
���������� �� ���������� ������� $R$ ($\phi\sim\phi+2\pi R$) � ����� ��
���������������� ���������� ($x^1\sim x^1+2\pi$) � ��������������
���������� ���������. ��������, ��� ������ ������������ ������ ����
$\tphi(x)$, ������������� �� ���������� ������� $2/R$ ({\it
$T$-����������\/}). ��� ������� ������ ����� ������������ ���������� ��
����� � ������������� ����������. ��� ���� ������� ������, ��� ���
������ �� ����������������� ����� ���� ����� ���������� �� ����� �����
�������� ��������������� $2\pi R$ (����� �������). ��� ��������������
���������� ����� ������� � ��������� ����� �������� �������� �������.





\end{document}
